初中數(shù)學(xué)最短路徑問(wèn)題探討

【摘要】最短路徑問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)中是一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題，它涉及作圖和幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，常常出現(xiàn)在路線選擇等問(wèn)題中．本文以案例的形式對(duì)初中數(shù)學(xué)中將軍飲馬等問(wèn)題的解決辦法進(jìn)行探討，拋磚引玉．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；最短路徑；將軍飲馬模型

隨著城市化的發(fā)展，人們出行、購(gòu)物等活動(dòng)都需要選擇最佳路徑，最短路徑問(wèn)題因此變得日益重要．在初中數(shù)學(xué)教材中，最短路徑問(wèn)題通常以路線選擇的形式出現(xiàn)，需要學(xué)生運(yùn)用作圖的辦法和幾何知識(shí)來(lái)解決．

1將軍飲馬模型

例1如圖1，直線a是一條公路，M，N是公路a同側(cè)的兩個(gè)居民區(qū)，現(xiàn)計(jì)劃在公路a上修建一個(gè)公交候車亭O，及修建兩居民區(qū)M，N之間的道路，為了使OM+ON+MN最短，請(qǐng)?jiān)趫D1中標(biāo)出點(diǎn)O的位置．

解析作M關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接NM′與直線a交于點(diǎn)O，點(diǎn)O的位置如圖2所示．

點(diǎn)評(píng)本題考查將軍飲馬模型，作M關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接NM′與直線a交于點(diǎn)O，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到OM+ON+MN最短．

2數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題中的最短路徑問(wèn)題

例2已知m－1x3+mx2－5－mx+3=0為一元二次方程，x1，x2為此方程的解，且x1<x2，若Ax1，－1，Bx2，1為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)．

（1）求m的值；

（2）求直線AB的表達(dá)式；

（3）若M，N分別是直線AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN=AB，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，點(diǎn)C－1，2，D3，3，當(dāng)四邊形MNDC周長(zhǎng)最小時(shí)，寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解析（1）因?yàn)閙－1x3+mx2－（5－m）x+3=0為一元二次方程，

所以m－1=0且m≠0，

所以m=1．

（2）由（1）可知原方程為：x2－4x+3=0，

即：x－3x－1=0，

因?yàn)閤1，x2為此方程的解，且x1<x2，

所以x1=1，x2=3，

則A1，－1，B3，1，

設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，

代入A1，－1，B3，1，

得：k+b=－13k+b=1，

解得：k=1b=－2，

所以直線AB的表達(dá)式為y=x－2.

（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=－2，

當(dāng)y=0時(shí)，x=2，

則P0，－2，Q2，0，

所以O(shè)P=OQ=2，則∠PQO=45°，

因?yàn)镸，N分別是直線AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN=AB，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，A1，－1，B3，1，

所以點(diǎn)M可由點(diǎn)N向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，MN=AB=22，

則將點(diǎn)D3，3，向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得E1，1，

由平移可知：DN=EM，

過(guò)點(diǎn)E作EX⊥x軸，連結(jié)EQ，如圖3所示，

則EX=XQ=1，EQ=2，

則∠EQX=45°，

所以∠EQP=90°，

延長(zhǎng)EQ，使得EQ=FQ，過(guò)點(diǎn)F作FY⊥x軸，

則直線PQ為EF的垂直平分線，∠FQY=45°，

所以ME=MF，

因?yàn)椤螰QY=45°，F(xiàn)Q=EQ=2，

所以△FQY為等腰直角三角形，

則EX=XQ=1，QY=1，

所以F3，－1.

四邊形MNDC周長(zhǎng)為CD+DN+NM+CM=CD+EM+MN+CM，而CD與MN為定值不變，則要使得四邊形MNDC周長(zhǎng)最小，只須使得CM+EM最小，即CM+MF最小.

由兩點(diǎn)之間線段可知，當(dāng)C，M，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線時(shí)，CM+MF取得最小值，即四邊形MNDC周長(zhǎng)取得最小值.

此時(shí)點(diǎn)M為直線CF與直線AB的交點(diǎn)，

設(shè)直線CF的表達(dá)式為y=mx+n，

代入C－1，2，F(xiàn)3，－1，

得－m+n=23m+n=－1，

解得m=－34n=54，

所以直線CF的表達(dá)式為y=－34x+54，

可得y=x－2y=－34x+54，

解得x=137y=－17，

所以四邊形MNDC周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為137，－17．

點(diǎn)評(píng)本題考查一元二次方程的定義及解法，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、最短路徑問(wèn)題，畫(huà)出圖形，利用平移和兩點(diǎn)之間線段最短是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

3結(jié)語(yǔ)

最短路徑問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，它涉及作圖和幾何知識(shí)．通過(guò)深入探討模型的來(lái)源以及構(gòu)建過(guò)程，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際應(yīng)用、數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題的解決等經(jīng)歷，歸納總結(jié)數(shù)學(xué)建模的策略，可以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力．同時(shí)，也為教師提供了教學(xué)參考，有助于提高教學(xué)質(zhì)量．