初中數(shù)學(xué)中分式函數(shù)最值問(wèn)題求解策略

【摘要】本文以分式最值的求解為切入點(diǎn)，探討初中數(shù)學(xué)中分式函數(shù)最值問(wèn)題求解策略，以提高解題效率和正確率.通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的分析，呈現(xiàn)這些策略的應(yīng)用效果，并提出進(jìn)一步的研究方向.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；分式函數(shù)；最值

分式函數(shù)最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，涉及函數(shù)的性質(zhì)、圖象、不等式等多個(gè)知識(shí)點(diǎn).由于其綜合性強(qiáng)、難度較大，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).因此，研究初中數(shù)學(xué)中分式函數(shù)最值問(wèn)題的求解策略，對(duì)于提高學(xué)生的解題能力具有重要意義.

1分式最值的求解

例1已知a，b，c是不全相等的正整數(shù)，且5a+b5b+c為有理數(shù)，求a2+b2+c2a+b+c的最小值．

解析因?yàn)閎，c是正整數(shù)，5是無(wú)理數(shù)，

故5b－c≠0．

而5a+b5b+c=5a+b5b－c5b2－c2

=5ab－bc+5b2－ac5b2－c2為有理數(shù)，

所以b2－ac=0，故b2=ac，

又a，b，c不全相等，

不妨設(shè)a>b>c．

又a2+b2+c2=a2+2ac+c2-b2=a+c2－b2=a+c+ba+c－b，

所以a2+b2+c2a+b+c=a+c－b為整數(shù)．

當(dāng)c=1時(shí)，a=b2為完全平方數(shù)，

則a≥4，

a+c－b=a+c－ac=c－a22+3a4≥0+3=3；

當(dāng)c≥2時(shí)，a+c－b≥1+c≥3．

所以a+c－b≥3，

且當(dāng)a=4，b=2，c=1時(shí)，

a+c－b=3．

因此，a2+b2+6d196873823d290b8b01373c66279b28c2a+b+c的最小值為3．

點(diǎn)評(píng)本題為求解分式最值的問(wèn)題，而分式函數(shù)的最值問(wèn)題的本質(zhì)是在函數(shù)定義域范圍內(nèi)求解分式的最值.5a+b5b+c為有理數(shù)，而5是無(wú)理數(shù)，這就需要在分式5a+b5b+c中分離出5，找到a，b，c的關(guān)系，將分式a2+b2+c2a+b+c化簡(jiǎn)后求最值.

2根據(jù)新定義求解分式函數(shù)最值

例2已知x，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，因x+y－2xy=x2+y2－2x·y=x－y2≥0，所以x+y≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)，等號(hào)成立．

（1）當(dāng)x>0時(shí)，求y=x2+x+1x的最小值.

（2）隨著人們生活水平的快速提高，小轎車已成為越來(lái)越多家庭的交通工具，假設(shè)某種小轎車的購(gòu)車費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年應(yīng)繳保險(xiǎn)費(fèi)等各類費(fèi)用共計(jì)0.4萬(wàn)元，n年的保養(yǎng)、維護(hù)費(fèi)用總和為n2+n10萬(wàn)元．問(wèn)：這種小轎車使用多少年報(bào)廢最合算（即：使用多少年的年平均費(fèi)用最少，年平均費(fèi)用=所有費(fèi)用之和年數(shù)n）？最少年平均費(fèi)用為多少萬(wàn)元？

解析（1）因?yàn)閥=x2+x+1x

=x+1x+1

≥2x·1x+1

=3，

所以當(dāng)x=1x，

即x=1時(shí)，y的最小值為3.

（2）年平均費(fèi)用=（n2+n10+0.4n+10）÷n

=n10+10n+12

≥2n10·10n+12

≥2+0.5

≥2.5，

所以當(dāng)n10=10n，即n=10時(shí)，報(bào)廢最合算，且最少年平均費(fèi)用為2.5萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)本題給出了新定義（當(dāng)x，y為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，x+y≥2xy），將y=x2+x+1x轉(zhuǎn)化為y=x+1x+1，然后根據(jù)上述新定義求解最值問(wèn)題；第（2）問(wèn)就是將這個(gè)規(guī)律應(yīng)用于實(shí)際生活中，考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．

3根據(jù)函數(shù)圖象探究分式函數(shù)最值

例3給定一個(gè)函數(shù)：y=x+1x+1（x>0），為了研究它的圖象與性質(zhì)，并運(yùn)用它的圖象與性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)行了探索，先取值并列表（如表1）.

將表1中的點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，并用平滑的曲線畫(huà)出該函數(shù)的圖象，如圖1所示．

請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，寫(xiě)出當(dāng)x=，y有最小值為.

解析觀察圖象知，圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），

即當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值3.

點(diǎn)評(píng)本題是函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，考查了函數(shù)圖象的畫(huà)法、性質(zhì)及函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用所學(xué)函數(shù)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，由函數(shù)圖象找到了分式函數(shù)最值并靈活應(yīng)用于日常生活中．

4結(jié)語(yǔ)

本文研究了初中數(shù)學(xué)中部分分式函數(shù)最值問(wèn)題的求解策略，并通過(guò)典型問(wèn)題分析展示了這些策略的應(yīng)用效果.分式函數(shù)的類型非常多，給出的條件也很靈活，需要進(jìn)一步研究如何將更多解題技巧應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中，以提高解題效率和正確率.同時(shí)，也要關(guān)注分式函數(shù)最值問(wèn)題在中考、競(jìng)賽等考試中的趨勢(shì)和變化，為教師和學(xué)生提供更有針對(duì)性的指導(dǎo).

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