數(shù)形結(jié)合研究代數(shù)最值問題例談

【摘要】本文以豐富的實例，說明數(shù)形結(jié)合能使一些代數(shù)最值問題的研究更加直觀、形象，研究過程更簡便、快捷，更容易被學(xué)生理解和接受，有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本身，形成運用跨領(lǐng)域知識解決問題的意識，提升核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，通過與其他學(xué)科領(lǐng)域的聯(lián)系，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本身，培養(yǎng)學(xué)生更加全面地解決問題的能力.這既是落實數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的需要，也有利于學(xué)生形成運用跨領(lǐng)域知識解決問題的意識，逐步提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，同時在某些情況下還能獲得意想不到的教學(xué)效果[1].

在初中階段，有些代數(shù)最值問題純粹用代數(shù)方法解決起來非常困難，甚至無法實施有效的教學(xué).利用數(shù)形結(jié)合思想將它轉(zhuǎn)化成幾何問題，有“豁然開朗，一點就透”的直觀體驗.

1利用數(shù)軸轉(zhuǎn)化成線段和差

例1x－2+x－6的最小值為；當(dāng)x－3+x－8+x－12的值最小時，x的值為.

簡析a的幾何意義是在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，x=x－0也就是數(shù)軸上表示數(shù)x與數(shù)0的兩點間的距離，m－n是數(shù)軸上表示數(shù)m與數(shù)n的兩點間的距離.由此可知，x－2可以表示數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)2的兩點間的距離，x－6可以表示數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)6的兩點間的距離.畫一條數(shù)軸，在數(shù)軸上找到表示數(shù)2與數(shù)6的兩個點，任選一點表示數(shù)x，結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)表示數(shù)x的點在表示數(shù)2與數(shù)6的兩個點之間，即2≤x≤6時，x－2+x－6的值最小，且x－2+x－6的最小值為4.

當(dāng)表示數(shù)x的點在表示數(shù)3與數(shù)8的兩個點之間，即3≤x≤8時，x－3+x－8的值最?。划?dāng)表示數(shù)x的點在表示數(shù)8與數(shù)12的兩個點之間，即8≤x≤12時，x－8+x－12的值最小.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=8時，x－3+x－8+x－12的值最小.

2利用平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成線段和差

例2已知：a + b =3，求∣b2+16-a2+4a+5∣的最大值.

簡析因為a + b =3，

所以b =3-a ，則原式可以變形為：

∣a－32+0－42－

a+22+0－12∣.

畫出平面直角坐標(biāo)系，令x軸上點A（a，0），點B（3，4），點C（-2，1），利用兩點間的距離公式，

AB=（a－3）2+（0－4）2，

AC =（a+2）2+（0－1）2，那么只需求出|AB- AC|的最大值.

由圖1可知，當(dāng)點B，C，A在同一直線上時，|AB- AC|的值最大，最大值為線段BC的長，易求最大值為34[2].

例3當(dāng)x2+y2－4x－2y+5+x2+y2+6x+2y+10的值最小時，求出y與x的關(guān)系式并直接寫出x的取值范圍.

簡析原式可以變形為x－22+y－12+ x+32+y+12.畫出平面直角坐標(biāo)系，令坐標(biāo)平面內(nèi)點P（x，y），點A（2，1），點B（-3，-1），

由兩點間的距離公式知，

AP =x－22+y－12，

PB =x+32+y+12，

即x2+y2－4x－2y+5+

x2+y2+6x+2y+10的最小值為AP +PB的最小值.

由圖2可知，當(dāng)點P在線段AB上時，AP +PB的值最小，易求y與x的關(guān)系式為y=25x+15，x的取值范圍為-3≤x≤2.

3利用勾股定理轉(zhuǎn)化成線段和差

例4已知：正數(shù)x，y，z滿足x +y +z=6，求x2+1+y2+4+z2+9的最小值.

簡析構(gòu)造如圖3的圖形，其中AB =FH =x，BC =MN =y，x +y +z=6，CD =z，EF =1，F(xiàn)G =HM =2，AG =CN =3，∠EAD =90°，△EFH，△HMN，△CDN為直角三角形.

由勾股定理可知，EH =x2+1，

HN =y2+4，DN =z2+9.

依據(jù)兩點之間線段最短，EH +HN +DN≥ED，易求ED =62，

即x2+1+y2+4+z2+9的最小值為62.

4數(shù)形結(jié)合解決部分代數(shù)最值問題的策略

通過上述實例，數(shù)形結(jié)合解決部分代數(shù)最值問題的策略如下：

求單個字母的一次整式的絕對值的和的最小值時，可以利用數(shù)軸結(jié)合絕對值的幾何意義，構(gòu)造線段和來解決.

當(dāng)二次根式中被開方數(shù)為完全平方式的和，求相應(yīng)二次根式和差最值問題時，可以利用平面直角坐標(biāo)系中的兩點間距離公式，或利用勾股定理構(gòu)造直角三角形的斜邊，將二次根式和差轉(zhuǎn)化成線段和差，再利用兩點之間線段最短的方法來解決.

5結(jié)語

數(shù)形結(jié)合，利用數(shù)軸上絕對值的幾何意義，平面直角坐標(biāo)系中兩點間距離公式，直角三角形勾股定理，構(gòu)造線段的和差，能使一些代數(shù)最值問題的研究更加直觀、形象，研究過程更簡便、快捷，更容易被學(xué)生理解和接受，有時能起到“四兩撥千斤”的作用，較大幅度地提高課堂教學(xué)效果.

【基金項目：重慶市江津區(qū)教育科學(xué)規(guī)劃2022年度重點課題“初中構(gòu)建共生課堂的實踐研究”（項目編號：2022ZD3015）的研究成果】

參考文獻：

[1]黃樹明.“胡不歸”問題的跨學(xué)科領(lǐng)域解決策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2024（02）：47-49.

[2]黃樹明.跨學(xué)科知識融合，巧妙解決幾類數(shù)學(xué)難點問題[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2022（11）：16-17.