Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)滑模同步兩個(gè)方案

摘 要：文章研究了Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)的滑模同步問(wèn)題，以李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和同步控制相關(guān)理論為基礎(chǔ)，得出了同步控制的研究結(jié)論，并給出實(shí)現(xiàn)Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)同步的兩種方案。最后用MATLAB做出數(shù)值仿真，畫(huà)出了吸引子相圖和系統(tǒng)的誤差曲線，對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證，確定了同步方案的可行性與有效性.

關(guān)鍵詞：混沌系統(tǒng)；滑模；同步

中圖分類(lèi)號(hào)： TV213.4" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A" 文章編號(hào)：1007 - 9734 （2024） 03 - 0104 - 04

0 引 言

混沌系統(tǒng)包含復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，從而引起了控制界眾多學(xué)者的高度關(guān)注［1-5］，關(guān)于混沌理論及其應(yīng)用的研究已成為非線性科學(xué)研究中最重要的前沿課題之一?；煦缤綄儆诨煦缈刂频姆懂?，目前，有關(guān)混沌系統(tǒng)同步控制的研究已取得了豐富的研究成果［6-10］?；瑒?dòng)模態(tài)控制方法的引入，使得復(fù)雜的非線性混沌同步控制問(wèn)題變得迎刃而解。例如：文獻(xiàn)［11］利用比例積分滑模研究了分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)的同步；文獻(xiàn)［12-14］研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步；文獻(xiàn)［15］研究了Victor-Carmen分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)比例積分滑模同步；文獻(xiàn)［16］基于新型滑模同步方法研究了Victor-Carmen分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題；文獻(xiàn)［17］研究了不確定R[o]ssler分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步；文獻(xiàn)［18］基于三個(gè)控制方案研究了金融分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)滑模同步。另一方面Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)因其十分豐富的密匙參數(shù)與系統(tǒng)信息受到高度關(guān)注，文獻(xiàn)［19］研究了Jafari-Sprott整數(shù)階混沌系統(tǒng)的信息熵、李亞普諾夫指數(shù)譜、吸引子與分岔等動(dòng)力學(xué)行為；本文根據(jù)穩(wěn)定性理論和同步控制方法研究Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)的滑模同步，得出了實(shí)現(xiàn)Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)同步的兩種方案。

1 數(shù)學(xué)模型與主要結(jié)果

1994年，美國(guó)學(xué)者Sprott J C通過(guò)計(jì)算機(jī)窮舉法發(fā)現(xiàn)了19個(gè)混沌系統(tǒng)［19］，這19個(gè)系統(tǒng)被稱(chēng)為Sprott系統(tǒng)，編號(hào)為Sprott A到Sprott S。這些系統(tǒng)可以寫(xiě)出或是包含一個(gè)二次非線性項(xiàng)的六項(xiàng)式，或是包含兩個(gè)二次非線性項(xiàng)的五項(xiàng)式，這19個(gè)系統(tǒng)不能通過(guò)變量替換而相互轉(zhuǎn)換。Sprott系統(tǒng)方程簡(jiǎn)單，便于電路實(shí)現(xiàn)，在混沌擴(kuò)頻通信和混沌保密通信中有著很好的應(yīng)用前景。Jafari S 和Sprott J C在2013年提出了Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)［20］，對(duì)整數(shù)階Jafari-Sprott系統(tǒng)方程做出動(dòng)力學(xué)分析，方程如下：

[x=yy=-x+yzz=-x-axy-bxz] （1）

選取系統(tǒng)參數(shù)[a=15，b=1] ，系統(tǒng)（1）呈現(xiàn)出混沌態(tài)，其吸引子相圖如圖1所示。初始值設(shè)置為[（x（0），y（0），z（0））=（0，0.5，0.5）]。

以系統(tǒng)（1）作為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)從系統(tǒng)如下：

[x1=y1y1=-x1+y1z1+u1z1=-x1-ax1y1-bx1z1+u2] （2）

定義誤差變量[e1=x1-x，e2=y1-y，e3=z1-z，]系統(tǒng)（2）與系統(tǒng)（1）中對(duì)應(yīng)方程相減得誤差系統(tǒng)：

[e1=e2e2=-e1+y1z1-yz+u1e3=-e1-ax1y1-xy-bx1z1-xz+u2] （3）

李雅普諾夫指數(shù)[λ1=0.7394，λ2=-0.9070，λ3=-0.2922]，李雅普諾夫指數(shù)圖譜如圖2所示，分岔圖如圖3所示。

引理1[21]若函數(shù)[f（t）]在[[0，+∞）]上一致連續(xù)，并且[0+∞f（t）dt]存在，則有[limt→∞f（t）=0]。

定理1 設(shè)計(jì)滑模函數(shù)[s（t）=ke1+e2+e3]，其中[kgt;2]為常數(shù)，

[u1=-ke2-y1z1+yzu2=2e1+ax1y1-xy+bx1z1-xz-ηssgns]

則主系統(tǒng)（1）與從系統(tǒng)（2）是滑模混沌同步的。

證明：當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)落在滑模面上時(shí)，[s=0]。根據(jù)系統(tǒng)（3）第一個(gè)方程有

[e1=e2] （4）

將[u1=-ke2-y1z1+yz]代入系統(tǒng)（3）第二個(gè)方程有

[e2=-e1-ke2] （5）

由式（4）和式（5）得[e2=-e1-ke2=-e2-ke2]，求解[e2]作為未知函數(shù)的微分方程，對(duì)應(yīng)的特征方程為[λ2+kλ+1=0]，特征值為[λ=-k±k2-42]；由[kgt;2]，[λ]具有負(fù)實(shí)部，可知[e2→0]；結(jié)合式（5）得到[e1→0]；再由[s=0]，即[ke1+e2+e3=0]，可得到[e3→0]。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不在滑模面上時(shí)，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)[V（t）=12s（t）2]，求導(dǎo)得

[V（t）=ss=ske1+e2+e3]

[=s[ke2-e1+y1z1-yz+u1-e1-ax1y1-xy-bx1z1-xz+u2]=-ηs2lt;0。]

兩端積有分[0lt;0tηs（τ）2dτlt;-0tVdτlt;V0-Vtlt;V0-V∞lt;0]。根據(jù)引理1，有[s→0]。主系統(tǒng)（1）與從系統(tǒng)（2）滑?；煦缤?。

定理2 設(shè)計(jì)滑模函數(shù)[s（t）=e1+e2+e3]，其中[ηgt;0]為常數(shù)，設(shè)計(jì)控制器

[u1=-2e2-y1z1+yz-ηssgnsu2=e1+ax1y1-xy+bx1z1-xz-e3]

則主系統(tǒng)（1）與從系統(tǒng)（2）滑模混沌同步。

證明：當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)落在滑模面上時(shí)，有[s=0]。將[u2=e1+ax1y1-xy+bx1z1-xz-e3]代入系統(tǒng)（3）第三個(gè)方程得[e3=-e3]，從而有[e3→0]。由[s=0]，即[e1+e2+e3=0]，可知[e1→-e2]，代入系統(tǒng)（3）第一個(gè)方程[e1=e2]，得到[e2=-e2]，從而[e2→0]。再由[s=0]可得[e1→0]。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不在滑模面上時(shí)，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)[V（t）=12s（t）2]，求導(dǎo)得

[V=ss=se1+e2+e3]

[=s[ke2-e1+y1z1-yz+u1-e1-ax1y1-xy-bx1z1-xz+u2]=s-e1-e2-e3-ηssgns=-s2-ηs2≤-（1+η）s2lt;0。]

兩端積分[0lt;0t1+ηs（τ）2dτlt;-0tVdτlt;V0-Vtlt;V0-V∞lt;0]。

根據(jù)引理1，有[s→0]，主系統(tǒng)（1）與從系統(tǒng)（2）滑?；煦缤?。

2 數(shù)值仿真

選取系統(tǒng)參數(shù)[a=15，b=1]，[k=3，η=2]。系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（2）狀態(tài)變量初始值分布取為[（0，0.5，0.5）]和[（1，-1，-1）]。利用MATLAB軟件，采用預(yù)估校正算法進(jìn)行數(shù)值仿真。

系統(tǒng)的誤差曲線如圖4和圖5所示，從圖中可以看出，初始時(shí)刻誤差相差較大，隨時(shí)間推移誤差逐漸縮小并在一段時(shí)間后最終趨于原點(diǎn)，主從系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步。將兩種方案進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)同步的時(shí)間相差不大，定理2提出的同步方案相對(duì)要快一些，如果改變初始值或是控制器中參數(shù)值，同步時(shí)間的長(zhǎng)短可能會(huì)互換。兩種方案的主要區(qū)別在于符號(hào)函數(shù)分別在各自的第二和第三個(gè)方程中，用同步時(shí)間長(zhǎng)短難于區(qū)分哪個(gè)方案更具有優(yōu)勢(shì)。定理給出的方案都是充分而非必要條件，因此，在數(shù)值仿真過(guò)程中，即使控制器不滿(mǎn)足方案條件，也有可能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)同步。

3 結(jié) 論

文章研究了Jafari-Sprott混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，根據(jù)混沌同步控制相關(guān)理論給出了同步控制的兩種同步方案。與我們過(guò)去的滑模同步方案進(jìn)行比較，優(yōu)化了過(guò)去因?yàn)榭刂破髦邪?hào)函數(shù)而造成誤差變量振幅比較大的問(wèn)題，優(yōu)化后的誤差系統(tǒng)可以很好地穩(wěn)定在零點(diǎn)。最后用MATLAB仿真算例對(duì)結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證。

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責(zé)任編校：劉 燕，田 旭

Two Schemes for Sliding Mode Synchronization of Jafari -Sprott Chaotic System

WANG Dongxiao

（School of Mathematics， Zhengzhou University of Aeronautics， Zhengzhou 450046， China）

Abstract： The sliding mode synchronization problem of Jafari-Sprott chaotic system was studied， and based on Lyapunov stability theory and synchronization control related theories， we had provided research conclusions on synchronization control. Two schemes for implementing synchronization of Jafari-Sprott chaotic system had been proposed. The phase diagram of the attractor and the error curve of the system were drawn using MATLAB simulation technology， and the results obtained were verified numerically to determine the feasibility and effectiveness of the synchronization scheme.

Key words： chaotic system; sliding mode ;synchronization

收稿日期：2023-05-19

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)青年基金（11801528，41906003）

作者簡(jiǎn)介：王東曉，男，河北威縣人，副教授，研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)與混沌同步。