非線性BBMB方程能量穩(wěn)定有限元方法高精度分析

摘 要：文章主要研究非線性 Benjamin-Bona-Mahony-Burgers（BBMB）方程的能量穩(wěn)定全離散有限元格式的高精度分析。首先，證明了后向Euler全離散格式的能量穩(wěn)定性，得到了[H1]模意義下有限元解的有界性。其次，利用上述有界性和Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理證明了離散問(wèn)題解的存在唯一性。再次，利用協(xié)調(diào)雙線性元的特殊性質(zhì)，得到了相應(yīng)的超逼近和整體超收斂結(jié)果。最后，通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的有效性。

關(guān)鍵詞：BBMB 方程；能量穩(wěn)定格式；超逼近和超收斂分析

中圖分類號(hào)：O242.21" "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 文章編號(hào)：1007 - 9734 （2024） 03 - 0108 - 05

0 引 言

非線性偏微分方程如 Navier-Stokes 方程、反應(yīng)擴(kuò)散方程、KdV方程等，可以用來(lái)描述許多自然現(xiàn)象和工程技術(shù)問(wèn)題。BBMB方程是非線性偏微分方程的一種，它結(jié)合了Benjamin-Bona-Mahony（BBM）方程和Burgers方程的特點(diǎn)。其中， BBM方程可以用來(lái)描述長(zhǎng)波在淺水層或等離子體中的傳播，Burgers方程則用來(lái)描述非線性擴(kuò)散過(guò)程。因此，BBMB方程可用于描述具有非線性色散和耗散效應(yīng)的物理系統(tǒng)。

本文考慮如下的BBMB方程：

[ut-αΔut-βΔu=??f（u）， （X，t）∈Ω×（0，T]u（X，t）=0， （X，t）∈?Ω×（0，T] u（X，0）=u0（X）， X∈Ω] （1）

其中，[Ω∈R2]為開有界凸多邊形區(qū)域[，]邊界記為[?Ω][；][ X=（x，y）；" αgt;0， βgt;0；][ 0lt;Tlt;∞；][" f（u）=（12u2+u，12u2+u）]；[Δ 和 ??]分別表示二維拉普拉斯算子和散度算子；[u0（X）]是已知的光滑函數(shù)。

關(guān)于BBMB方程，由于其非線性性質(zhì)，真解往往很難求出，故近年來(lái)人們?cè)絹?lái)越多地專注于其數(shù)值模擬方法的研究，如有限差分法［1-3］、有限元法［4-5］、無(wú)網(wǎng)格法［6］等。在這些方法中，有限元法被認(rèn)為是求解偏微分方程的重要方法。然而，對(duì)于BBMB方程，目前大多數(shù)的研究只關(guān)注于一維情況下的收斂性，對(duì)二維情況下的超收斂分析還很少涉及。

眾所周知，能量穩(wěn)定的數(shù)值方法既可以保證數(shù)值解的穩(wěn)定性又能防止數(shù)值振蕩。這種方法有助于提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和可靠性，也適合模擬具有長(zhǎng)時(shí)間特性的非線性問(wèn)題。針對(duì)BBMB方程，目前大多數(shù)的能量穩(wěn)定格式都是基于有限差分方法，關(guān)于該方程的能量穩(wěn)定有限元方法，還少有報(bào)道。

此外，在求解非線性偏微分方程時(shí)，有限元解在某一種模意義下的一致有界性在收斂和超收斂分析中起著至關(guān)重要的作用［7-10］。例如，文獻(xiàn)[7]采用數(shù)學(xué)歸納法得到了[W1，∞]模下數(shù)值解的有界性；文獻(xiàn)[8]利用誤差分裂技術(shù)給出了[W0，∞]模下近似解的有界性。隨后，上述兩種方法被應(yīng)用于各種非線性偏微分方程（見文獻(xiàn)[9-10]等）。本文通過(guò)對(duì)離散格式能量穩(wěn)定性的證明，得到了模意義下有限元解的有界性，所采用的方法較以往文獻(xiàn)更為簡(jiǎn)單、直接。

基于以上思想，本文的主要目的是建立方程（1）能量穩(wěn)定的向后Euler全離散格式，并研究其超逼近和超收斂誤差估計(jì)。后面的安排如下： 第二部分引入了有限元空間和向后Euler全離散格式，然后證明了該離散格式的能量穩(wěn)定性和[H1]模意義下數(shù)值解的有界性；第三部分證明了該離散格式解的存在唯一性；第四部分利用協(xié)調(diào)雙線性元的高精度性質(zhì)，得到了[H1]模意義下的超逼近和超收斂結(jié)果；最后給出數(shù)值算例說(shuō)明方法的有效性。

1 有限元空間構(gòu)造和能量穩(wěn)定格式

令[Wk，p（Ω）]為標(biāo)準(zhǔn)的Sobolev空間，其范數(shù)為

[vWk，p（Ω）=（|m|≤kΩ|Dmv|pdX）1p， 1≤p≤+∞max |m|≤kess supX∈Ω |Dmv|， p=+∞ ]

和[HK（Ω）=Wk，2（Ω）， H0（Ω）=Lk，2（Ω），]其中[dX=dxdy]。

接下來(lái)我們引入帶時(shí)間的Sobolev空間的定義[11]。

[Wk，p（t1，t2；Φ）={v：‖?mv?tm（?，t）‖Φ∈Lp（t1，t2），0≤m≤k，1≤p≤+∞}，]其上的模定義為

[‖v‖Wk，p（t1，t2；Φ）=（m=0kt1t2‖?mv?tm‖pΦdt）1p，1≤plt;+∞max0≤m≤kesssupt∈[t1，t2]‖?mv?tm（?，t）‖Φ，p=+∞ ]。

令[Ω]是一個(gè)邊界平行于坐標(biāo)軸的多邊形區(qū)域，[Th]是[Ω]的一個(gè)矩形剖分，不需要滿足正則性條件[11]。" "對(duì)任意的[ K∈Th，hK=diamK，h=maxK∈ThhK]，定義如下的協(xié)調(diào)雙線性有限元空間[Vh]：

[Vh={vh∈H10（Ω）：vh|K∈span{1，x，y，xy}，vh|?Ω=0，?K∈Th}，]相應(yīng)的插值算子定義為[Ih：v∈V=H10（Ω）→Ihv∈Vh]。

則方程（1）的變分形式為：求[u∈V]，使得

[（ut，v）+α（?ut，?v）+β（?u，?v）=-（f（u），?v），?v∈Vu（X，0）=u0（X）] （2）

令[{tn|tn=nΔt ；n=0， 1，…，N}]為[[0，T]]上的一個(gè)剖分，時(shí)間步長(zhǎng)定義為[Δt=T/N]。對(duì)任意的[[0，T]]上的函數(shù)[u]，定義[un=u（X，tn），?tun=un-un-1Δt]，則形式（2）的向后Euler全離散格式為：求[Unh∈Vh]，使得

[（?tUnh，vh）+α（??tUnh，?vh）+β（?Unh，?vh）=-（f（Unh），?vh），?vh∈VhU0h=Ihu0（X）] （3）

我們有如下的能量穩(wěn)定性和有界性。

定理1 設(shè)[Unh]為格式（3）的解，[En=‖Unh‖20+α|Unh|21（n=0，1，…，N）]為離散能量，有

[En≤En-1" （ n=1， 2，…，N）] （4）

特別地，

[‖Unh‖1≤K" （ n=1， 2，…，N）] （5）

其中，[K=max{1，α}min{1，α}‖U0h‖1。]

證明：在格式（3）中令[vh=Unh]，則有

[（?tUnh，Unh）+α（??tUnh，?Unh）+β（?Unh，?Unh）]

[=-（f（Unh），?Unh）] （6）

易知

[（?tUnh，Unh）≥12Δt（‖Unh‖20-‖Un-1h‖20）] （7）

[α（??tUnh，?Unh）≥α2Δt（|Unh|21-|Un-1h|21）] （8）

且非線性項(xiàng)可化為

[-（f（Unh），?Unh）" " " " =Ω（12（Unh）2+Unh）[（Unh）x+（Unh）y]dxdy=Ω12（Unh）2[（Unh）x+（Unh）y]dxdy+" " " " " " " " " " " ΩUnh[（Unh）x+（Unh）y]dxdy" " " " " " " " " " " " " （9）]

利用Green公式以及[Unh|?Ω=0]，可得[Ω（Unh）2[（Unh）x+（Unh）y]dxdy" " " " " " " "=-Ω（Unh）[2Unh（Unh）x+2Unh（Unh）y]dxdy+?ΩUnh（Unh）2?（nx+ny）ds =-Ω2（Unh）2[（Unh）x+（Unh）y]dxdy，]

其中，[n=（nx，ny）]為邊界上外法向量，故

[Ω（Unh）2[（Unh）x+（Unh）y]dxdy=0] （10）

同理，

[ΩUnh[（Unh）x+（Unh）y]dxdy=0] （11）

將式（10）和式（11）代入式（9），我們有

[（f（Unh），?Unh）=0] （12）

由式（7）、式（8）及式（12）可知，有如下式子成立：

[12Δt[（‖Unh‖20-‖Un-1h‖20）+α（|Unh|21-|Un-1h|21）]≤0] （13）

故[En≤En-1]，（4）式得證。

最后，（13）式兩邊同時(shí)乘以[2Δt]，并關(guān)于[n]求和，可得

[min{1，α}‖Unh‖21≤max{1，α}‖U0h‖21，]

令[K=max{1，α}min{1，α}‖U0h‖1]，則（5）式成立，結(jié)論得證。

2 能量穩(wěn)定格式解的存在唯一性

本節(jié)我們主要給出格式（3）解的存在唯一性。

引理1[[12]] 已知 H 是一個(gè)有限維Hilbert空間，內(nèi)積和模分別定義為[（? ，?）H]和[‖?‖H]，[F：H→H]是一個(gè)連續(xù)映射，若對(duì)任意的[?∈H]且[‖?‖H=kgt;0]時(shí)，成立[（F（?），?）H≥0]，則存在[?*∈H]且[‖?*‖H≤k]使得[F（?*）=0]。

定理2 設(shè)[U0h，U1h， … ，Un-1h]已知，則存在唯一的[Unh]滿足格式（3）。

證明： 首先，我們給出如下的存在性證明。定義如下的映射[F：Vh→Vh]滿足

[[（F（?），qh）=（?，qh）+α（??，?qh）+βΔt（??，?qh）]

[+Δt（f（?），?qh）-（Un-1h，qh）-][α（?Un-1h，?qh），??]，

[qh∈Vh]] （14）

容易驗(yàn)證[F]是連續(xù)映射。

在式（14）中令[qh=?]，注意到[（f（?），??）=0]，則有[（F（?），?）=（?，?）+α（??，??）+βΔt（??，??）+Δt（f（?），??）-（Un-1h，?）-α（?Un-1h，??） ≥min{1，α}‖?‖21-（Un-1h，?）-α（Un-1h，?） ≥min{1，α}‖?‖21-‖Un-1h‖0‖?‖0-α‖?Un-1h‖0‖??‖0 ≥min{1，α}‖?‖21-（1+α）‖Un-1h‖1‖?‖1 ≥‖?‖1（min{1，α}‖?‖1-（1+α）‖Un-1h‖1） ，]

令[|?‖1=1+αmin{1，α}‖Un-1h‖1+1]，則有[（F（?），?）≥0]。由引理1可知存在[?*∈Vh]使得[F（?*）=0]，顯然，[Unh=?*]即為所求，則存在性得證。

其次，我們證明唯一性。

假設(shè)[Un1]和[Un2]分別為格式（3）的兩個(gè)解，令[Un=Un1-Un2]，則有

[（?tUn，vh）+α（??tUn，?vh）+β（?Un，?vh）]

[=-（f（Un1）-f（Un2），?vh）] （15）

在式（15）中令[vh=Un]，由式（5）、式（7）及式（8）， 可得

[12Δt[（‖Un‖20-‖Un-1‖20）+α（|Un|21-|Un-1|21）]]

[≤-（f（Un1）-f（Un2），?Un）≤‖f（Un1）-f（Un2）‖0‖?Un‖0]

[≤‖f（Un1）-f（Un2）‖0‖?Un‖0][≤C‖Un1-Un2‖0，4‖Un1][+][Un2‖0，4‖Un‖1+][C‖Un1-Un2‖0‖Un‖1][≤C‖Un‖0，4‖Un‖1][+C‖Un‖0‖Un‖1≤C‖Un‖21，]

不等式兩邊同時(shí)乘以[2Δt]并求和，由離散的Gronwall引理[13-14][U0=0]，可得[‖Un‖21=0，]結(jié)論得證。

值得注意的是，本文中[C]表示一個(gè)和網(wǎng)格尺寸[h]以及時(shí)間步長(zhǎng)[Δt]均無(wú)關(guān)的正常數(shù)，不同的地方取值不一樣。

3 超逼近和超收斂分析

本節(jié)我們討論能量穩(wěn)定格式下的超逼近和整體超收斂結(jié)果。

首先，給出雙線性元的一些高精度結(jié)果。

引理2[[15]] 對(duì)任意的[vh∈Vh]，有

[‖u-Ihu‖0，p≤Ch2‖u‖2，p，u∈W2，p（Ω）]" [（16）]

[（?（u-Ihu），?vh）≤Ch2‖u‖3‖vh‖1，][u∈H3（Ω） ] [ （17）]

其次，我們可以證明如下的超逼近性質(zhì)。

定理3 設(shè)[un]和[Unh]分別為方程（2）和（3）的解，當(dāng)[u∈L∞（0，T；H3（Ω）），][ut∈L2（0，T；H3（Ω）），][utt∈L2（0，T；H1（Ω））]時(shí)，有

[‖Ihun-Unh‖1≤C（h2+Δt）] [（18）]

證明： 令[un-Unh=un-Ihun+Ihun-Unh=ξn+ηn。]則由方程（2）和（3）可得誤差方程為：

[（?tηn，vh）+α（??tηn，?vh）+β（?ηn，?vh） =-（?tξn，vh）-α（??tξn，?vh）-β（?ξn，?vh）+" " " "（f（Unh）-f（un），?vh）-（Rn1，vh）-α（?Rn1，?vh）" " （19） ]

其中，[Rn1=unt-?tun=1Δttn-1tn（τ-tn-1）utt（τ）dτ]。

在式（19）中令[vh=ηn]，則有

[（?tηn，ηn）+α（??tηn，?ηn）+β（?ηn，?ηn） =-（?tξn，ηn）-α（??tξn，?ηn）-β（?ξn，?ηn）+（f（Unh）-f（un），?ηn）-（Rn1，ηn）-α（?Rn1，?η）" " " " " " " =i=16Ai" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（20）]

容易驗(yàn)證

[（?tηn，ηn）≥12Δt（‖ηn‖20-‖ηn-1‖20）α（??tηn，?ηn）≥α2Δt（|ηn|21-|ηn-1|21）] （21）

利用泰勒公式展開，截?cái)嗾`差可估計(jì)為

[|A5+A6|=|（Rn1，ηn）+α（?Rn1，?ηn）|]

[≤CΔttn-1tn‖utt‖21dτ+C‖ηn‖21] （22）

由引理2可得

[|A1+A2+A3|" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "=|（?tξn，ηn）+α（??tξn，?ηn）+β（?ξn，?ηn）|" ≤Ch4（1Δttn-1tn‖ut‖23dτ+‖un‖23）+C‖ηn‖21" " "（23）]

下面我們主要估計(jì)非線性項(xiàng)[A4]。

[|A4|=|（f（Unh）-f（un），?ηn）|][=|（12（（un）2-（Unh）2），?ηn）+（un-Unh，?ηn）|][≤C‖un-Unh‖0，4‖un+Unh‖0，4‖ηn‖1+C‖un-Unh‖0‖ηn‖1]

[≤C‖ξn+ηn‖0，4‖ηn‖1+C（‖ξn‖0+‖ηn‖0）‖ηn‖1≤Ch4‖un‖22，4+C‖ηn‖21≤Ch4‖un‖23+C‖ηn‖21" " " " " （24）]

將式（21）—（24）代入式（20），可得

[12Δt[（‖ηn‖20-‖ηn-1‖20）+α（|ηn|21-|ηn-1|21）]≤Ch4（‖un‖23+1Δttn-1tn‖ut‖23dτ）+" " " " " " " " " CΔttn-1tn‖utt‖21dτ+C‖ηn‖21" " " " " " " " " " " （25）]

不等式兩邊同時(shí)乘以[2Δt]并求和，注意到[η0=0]，則有

[‖ηn‖21≤Ch4（Δti=1n‖ui‖23+0T‖ut‖23dτ）+C（Δt）20T‖utt‖21dτ+CΔti=1n‖ηi‖21] （26）

選取足夠小的[Δt]使得[1-CΔtgt;0]，并利用離散的Gronwall引理[13-14]，可得

[‖ηn‖21≤Ch4（‖u‖2L∞（0，T；H3（Ω））+0T‖ut‖23dτ）+C（Δt）20T‖utt‖21dτ≤C（h4+（Δt）2），]

結(jié)論得證。

為了得到整體超收斂結(jié)果，利用文獻(xiàn)[14]中的思想，我們將相鄰的四個(gè)小單元[K1，K2，K3，K4]合并為一個(gè)大單元[K]，即[K=i=14Ki]，相應(yīng)的剖分記為[T2h]，相應(yīng)的插值算子[I2h]滿足如下性質(zhì)：

[I2hIhu=I2hu， ‖I2hu-u‖1≤Ch2‖u‖3，‖I2hvh‖1≤C‖vh‖1， ? vh∈Vh] （27）

令[un-I2hUnh=un-I2hIhun+I2hIhun-I2hUnh]，利用式（18）、式（27）和三角不等式，我們有下面的整體超收斂結(jié)果：

定理4 在定理3的假設(shè)下，有下列式子成立：

[‖un-I2hUnh‖1≤C（h2+Δt）] （28）

4 數(shù)值例子

本節(jié)我們考慮如下的BBMB方程：

[ut-Δut-Δu-??f（u）=g（t，X）， （X，t）∈Ω×（0，T]，u（X，t）=0， （X，t）∈?Ω×（0，T]，u（X，0）=u0（X）， X∈Ω，]

其中，[Ω=[0，1]×[0，1]，]將[Ω]剖分為[m×n]矩形網(wǎng)格，精確解定義為[u（x，y，t）=（1+e-t）xy（x-1）（y-1）]。

首先，在圖1中給出能量[En]的曲線圖，這里[t∈[0，0.1]，h=120，Δt=1.0e-05，]從圖1 中我們可以看出能量是穩(wěn)定的，和定理1的結(jié)論相吻合。

其次，我們分別在表1—表3中給出[t=0.1、 0.5]和[1.0]時(shí)刻下的收斂性、超逼近和超收斂結(jié)果，為了得到收斂階，我們?nèi)Δt=h2]。

從表1—表3中可以看出[‖un-Unh‖1]的收斂階為[O（h），‖Ihun-Unh‖1]和[‖un-I2hUnh‖1]的收斂階為[O（h2）]，和我們的理論分析相吻合。

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責(zé)任編校：劉 燕，田 旭

High Accuracy Analysis of an Energy-Stable Fem for Nonlinear Benjamin-Bona-Mahony-Burgers Equation

WANG Lele

（School of Mathematics， Zhengzhou University of Aeronautics， Zhengzhou" 450046， China）

Abstract： In this paper， the high accuracy analysis of an energy-stable fully discrete finite element （FE） scheme for the Benjamin-Bona-Mahony-Burgers （BBMB） equation is studied. Firstly， the stability of energy of backward-Euler （B-E） fully discrete scheme is proved which leads to the boundedness of the FE solution in [H1]-norm. Secondly， the existence and uniqueness of solution for approximation problem are proved by employing the above boundedness and Brouwer fixed-point theorem.Thirdly， by use of the special property of bilinear element， the superclose and global superconvergence results are derived. Finally， a numerical test is given to verify the validity of the theoretical analysis.

Key words： BBMB equation; energy-stable scheme; superclose and superconvergence analysis

收稿日期：2023-12-06

基金項(xiàng)目：河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目 （22A110025）；河南省科技攻關(guān)項(xiàng)目（222102320266）

作者簡(jiǎn)介：王樂樂，女，河南南陽(yáng)人，博士，講師，研究方向?yàn)橛邢拊椒ā?/p>