上下偏量及其單調(diào)性

摘 要：

上/下偏量算子的性質(zhì)是廣義量詞理論中研究的重要對(duì)象，但對(duì)它們的單調(diào)性計(jì)算尚無(wú)系統(tǒng)的討論。當(dāng)句子中只有一個(gè)算子時(shí)，廣義量詞理論較好地描寫(xiě)了其語(yǔ)義，也即上偏量算子左右單調(diào)上升，下偏量算子左右單調(diào)下降。但是，廣義量詞理論沒(méi)有注意到下偏量與全稱量化的單調(diào)下降有一個(gè)重要的差異：下偏量可能出現(xiàn)“空集反例”。另外，也沒(méi)有注意到左單調(diào)是直接量化，右單調(diào)是間接量化，右單調(diào)的成分可以自由地加上新的算子。更為重要的是，當(dāng)句中有兩個(gè)算子套疊的時(shí)候，廣義量詞理論沒(méi)有給出解決方案。實(shí)際上，外層成分的單調(diào)性由外層算子的左單調(diào)決定；內(nèi)層成分則必須經(jīng)歷兩步計(jì)算：先按照內(nèi)層算子的左單調(diào)性質(zhì)計(jì)算，再將計(jì)算結(jié)果輸入外層算子的右單調(diào)，才能得到最終結(jié)果。

關(guān)鍵詞：

上偏量； 下偏量； 單調(diào)性； 單一算子句； 算子套疊

中圖分類號(hào)： H03A010911

一、 引 言

在廣義量詞理論中，有一些以往很少研究的量化算子。其中，“上偏量”指對(duì)論元集合X來(lái)說(shuō)，參與事件的量“大于”或“大于或等于”特定的數(shù)值或量N，如英語(yǔ)的more than N、at least N，漢語(yǔ)的“至少N、最少N、多于N、不少于N、不低于N、比N多、超過(guò)N、N以上”等；“下偏量”指“小于”或“小于或等于”N，如英語(yǔ)的fewer than（under）N、at most N，漢語(yǔ)的“至多（只）N、最多（只）N、少于N、低于N、不多于N、（只）不超過(guò)N、比N少、不到N、沒(méi)（到/有）N、沒(méi)（有）VN、（只）N以下”等。

這些算子的性質(zhì)對(duì)我們理解自然語(yǔ)言非常重要，已經(jīng)有很多研究成果，如 Barwise、Cooper［1］，Johan van Benthem［2-3］，Kamareddine［4］，蔣嚴(yán)、潘海華［5］242-288都對(duì)其做了介紹。其中一個(gè)重要的性質(zhì)就是它們對(duì)論元的“單調(diào)性”的影響。

限于篇幅，本文只討論〈1，1〉類型量詞的單調(diào)性?！皢握{(diào)性”（monotonicity）是一個(gè)來(lái)自數(shù)學(xué)的概念。設(shè)有集合{Xi}，它用于函數(shù)F之中，即“F（Xi）”。如果對(duì)于任意的自然數(shù)i、j，并且Xi≥Xj，其函數(shù)的大小也保持相同的順序，也就是F（Xi）≥F（Xj），則稱為單調(diào)上升；反之，如果函數(shù)的大小順序相反，也就是得到F（Xj）≥F（Xi），則稱為單調(diào)下降；如果函數(shù)無(wú)法確定大小關(guān)系，則稱為“不具有單調(diào)性”。

廣義量詞理論用集合論來(lái)反映邏9eef149cff957445cd7abce6f47a8e16a28008fa8a6c27d7c02e14aa366e013e輯關(guān)系，例如“若Xi為真，則Xj為真”（XiXj），也就是邏輯上的簡(jiǎn)單蘊(yùn)涵關(guān)系（也有文獻(xiàn)稱為衍推關(guān)系，本文暫不討論蘊(yùn)涵與衍推的區(qū)別），用集合來(lái)表達(dá)，就是“XiXj”，意為“Xi是Xj的子集”。例如“是女同學(xué)，則一定是同學(xué)”，既可以用“女同學(xué)（x）同學(xué)（x）”表達(dá)，也可以用“女同學(xué)同學(xué)”來(lái)表達(dá)。為了理論的一致性，在下面的例句中，不論是實(shí)體關(guān)系還是謂詞關(guān)系，都用“”表示，不再使用“”符號(hào)。

現(xiàn)在用集合關(guān)系來(lái)代替大小關(guān)系，就得到有關(guān)蘊(yùn)涵的單調(diào)性定義：設(shè)有集合XiXj，那么當(dāng)它們作為另一個(gè)更大的謂詞F的論元或成分時(shí)，有函數(shù)關(guān)系“F（Xi）、F（Xj）”，是否也有蘊(yùn)涵關(guān)系（子集關(guān)系）存在？這包括三種情況。

i. 依然有順序相同的蘊(yùn)涵關(guān)系，即F（Xi）F（Xj），這稱為“單調(diào)上升”（monotone increasing）。例如“三班有位女同學(xué)來(lái)了三班有位同學(xué)來(lái)了”（前者為真時(shí)，后者一定為真，下同）。

ii. 有順序相反的蘊(yùn)涵關(guān)系，即F（Xj）F（Xi），這稱為“單調(diào)下降”（monotone decreasing）。例如“三班的同學(xué)都來(lái)了三班的女同學(xué)都來(lái)了”。

iii. 不再具有蘊(yùn)涵關(guān)系，既沒(méi)有F（Xi）F（Xj），也沒(méi)有F（Xj）F（Xi），也就是不具有單調(diào)性。此時(shí)，F(xiàn)（Xi）和F（Xj）一定存在不相交的部分。例如“只有兩個(gè)女同學(xué)來(lái)了”當(dāng)數(shù)值“兩個(gè)”是焦點(diǎn)成分時(shí)，無(wú)法推出“只有兩個(gè)同學(xué)來(lái)了”，因?yàn)榭赡軄?lái)的還有男同學(xué)，所以同學(xué)來(lái)的比兩個(gè)多；反之亦然，只有兩個(gè)同學(xué)來(lái)了，可能一個(gè)女同學(xué)也沒(méi)有來(lái)，或者其中只有一個(gè)是女同學(xué)。

上述第i、ii種情況，一些學(xué)者分別稱之為“向上衍推”（upward entailing，UE）和“向下衍推”（downward entailing，DE）［6］。第iii種則是非單調(diào)的。在國(guó)內(nèi)，張喬［7］73-76等學(xué)者對(duì)單調(diào)性問(wèn)題做了引介，張曉君［8］84-110、陳振宇［9］387-433等還做了自己的探索與闡述。

廣義量詞理論基本采用“量化三分結(jié)構(gòu)”來(lái)刻畫(huà)句子的量化意義，有兩個(gè)集合與算子有關(guān)，可以寫(xiě)成：Oper（X）（F）。量化算子Oper就像一個(gè)處理器，它約束X，并將集合X中的成員X1、X2、……Xi處理為謂詞（predicate）F的論元，可記為F（Xi）；算子不約束F。參看潘海華關(guān)于三分結(jié)構(gòu)的介紹［10］163-184，X稱為限定部分（restrictor），或稱“量化域、論域、定義域、變域、個(gè)體域”。在語(yǔ)法學(xué)和邏輯學(xué)中，集合X的成員也稱為argument，譯為“論元、主目”，也稱為variable，譯為“變項(xiàng)”；F稱為核心部分（nuclear scope），或稱“值域”。

我們?nèi)绻袴中除了X以外的論元記為Y（Y可以是多組，因?yàn)榭赡苡卸鄠€(gè)論元），則算子雖在句法上只約束X，不約束Y，但是在語(yǔ)義上既可以決定X部分的單調(diào)性，也可以決定Y部分的單調(diào)性。與X有關(guān)的稱為“左單調(diào)”，與Y有關(guān)的稱為“右單調(diào)”。按照這一理論，前人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，對(duì)上偏量算子，如more than等而言，既是“左單調(diào)上升”，又是“右單調(diào)上升”；對(duì)下偏量算子，如fewer than等而言，則正好相反，既是“左單調(diào)下降”，又是“右單調(diào)下降”。這一規(guī)則不受具體語(yǔ)言符號(hào)的制約，具有普遍性。本文主要討論這一普遍性質(zhì)，對(duì)同類算子的差異，如“少于N”和“沒(méi)VN”（如“沒(méi)買(mǎi)三本”，V指動(dòng)詞或動(dòng)詞結(jié)構(gòu)）的區(qū)別，將另文討論。

本文要解決的問(wèn)題如下：

（1）上述規(guī)則為什么成立？也就是在一個(gè)單一算子的句子中，集合X和Y的關(guān)系是什么，而具有這樣的單調(diào)性？

（2）廣義量詞中，還有其他算子也可以產(chǎn)生單調(diào)下降，例如全稱量化算子和否定算子，它們與下偏量的單調(diào)下降有什么本質(zhì)的不同？

（3）左右單調(diào)為什么不對(duì)稱？也就是所謂直接量化和間接量化的區(qū)別是什么？

（4）更為重要的是，當(dāng)句中有多個(gè)算子（X和Y都有各自的直接約束的算子）套疊時(shí)，這些成分的量化性質(zhì)如何確定？其單調(diào)性如何計(jì)算？

對(duì)于上述4個(gè)問(wèn)題，尚沒(méi)有看到系統(tǒng)的論述。尤其是第4條，這是一個(gè)需要在語(yǔ)義研究中解決的問(wèn)題，其復(fù)雜性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出想象。

二、 簡(jiǎn)單情況下的上下偏量單調(diào)性

一個(gè)句子中只有一個(gè)量化算子和有兩個(gè)或兩個(gè)以上算子是不同的問(wèn)題，后者顯然更為復(fù)雜。廣義量詞理論很好地描寫(xiě)了單一算子量化句，但對(duì)多算子的計(jì)算，卻有局限性。本節(jié)先考察單一算子，即只有上偏量或下偏量算子的句子，目的是考察直接約束的論元和間接影響的論元的關(guān)系。

假設(shè)有一個(gè)二元的事件F（x、y），其中x為算子約束的那個(gè)論元，而y是F中除了x以外的論元。假設(shè)集合X、Y分別參與事件F，并且分別充當(dāng)其中的x、y論元（x、y分別是集合X、Y中的元素）。顯然二者是不對(duì)稱的，算子直接規(guī)定了X的數(shù)量，但對(duì)Y的數(shù)量的影響是間接的（如例1所示，加下劃線的為算子，加粗的成分就是現(xiàn)在考察其單調(diào)性的那個(gè)成分）。

例1 三班同學(xué) 至少喝了十瓶啤酒 三班同學(xué)至少喝了十瓶酒（單調(diào)上升）

三班的男同學(xué)至少喝了十瓶酒 三班的同學(xué)至少喝了十瓶酒（單調(diào)上升）

三班同學(xué) 最多喝了十瓶酒 三班同學(xué)最多喝了十瓶啤酒（單調(diào)下降）

三班同學(xué) 最多喝了十瓶酒 三班的男同學(xué)最多喝了十瓶酒（單調(diào)下降）

YFX

上偏量“至少”和下偏量“最多”約束后面的數(shù)量名成分“十瓶（啤）酒”，所以這一數(shù)量名成分為論元x；前面的“三班的同學(xué)”為論元y，不受算子的約束。由本例可知，“左/右單調(diào)”的“左右”是算子約束的成分與非約束的成分的區(qū)分，與句子中實(shí)際的左右位置無(wú)關(guān)，如上例中，x論元在句子的右邊（低位），y在句子的左邊（高位）。也可能順序相反，如“三班至少/最多五個(gè)（男）同學(xué)喝了（?。┚啤?。

在考察x與y的關(guān)系之前需要說(shuō)明一下：本文是語(yǔ)言學(xué)的研究，不是數(shù)學(xué)邏輯的研究，因此為了方便讀者，我們盡量不做邏輯運(yùn)算，多用具體的例子來(lái)說(shuō)明。

（1）左單調(diào)性質(zhì)

設(shè)X1={啤酒}，X2={酒}，Y={三班的同學(xué)}，F(xiàn)={喝}

有：X1X2 啤酒酒

則：三班同學(xué)喝的啤酒三班同學(xué)喝的酒

這一步稍做證明，根據(jù)集合的添加公式，當(dāng)X1X2時(shí)，有（M∩X1）（M∩X2），“∩”為交集運(yùn)算，故：（三班同學(xué)喝的東西∩啤酒）（三班同學(xué)喝的東西∩酒）。而（三班同學(xué)喝的東西∩啤酒）就是“三班同學(xué)喝的啤酒”，下同。

有：三班同學(xué)喝的啤酒三班同學(xué)喝的酒

則有數(shù)量關(guān)系：|三班同學(xué)喝的啤酒|≤|三班同學(xué)喝的酒|

“| |”指集合元素的數(shù)量。根據(jù)傳遞律，我們有：【上偏量】當(dāng)三班同學(xué)喝的啤酒大于或等于十瓶時(shí)，三班同學(xué)喝的酒也大于或等于十瓶；【下偏量】當(dāng)三班同學(xué)喝的酒小于或等于十瓶時(shí)，三班同學(xué)喝的啤酒也小于或等于十瓶。

這樣的例句有很多，如例2所示。

例2 上偏量：

他至少拿走了兩斤蘋(píng)果 他至少拿走了兩斤水果

籃子里的蘋(píng)果多于/超過(guò)10斤 籃子里的水果多于/超過(guò)10斤

我們廠的單身漢比結(jié)了婚的人還多 我們廠沒(méi)有結(jié)婚的人比結(jié)了婚的人還多

他們一次就買(mǎi)了1 000斤以上的大米 他們一次就買(mǎi)了1 000斤以上的糧食

下偏量：

籃子里的水果少于/不到10斤 籃子里的蘋(píng)果少于/不到10斤

我們廠沒(méi)有結(jié)婚的人比辦公室的人還少 我們廠的單身漢比辦公室的人還少

他沒(méi)買(mǎi)10斤水果 他沒(méi)買(mǎi)10斤蘋(píng)果

他們只買(mǎi)了100斤以下的水果 他們只買(mǎi)了100斤以下的蘋(píng)果

（2）右單調(diào)性質(zhì)

右單調(diào)的計(jì)算要復(fù)雜得多。因?yàn)樗阕幼饔迷趚上，而不是y上，所以要考察y，需要做一個(gè)意義（sense）上的轉(zhuǎn)化。

設(shè)：Y1={三班的男同學(xué)}，Y2={三班的同學(xué)}，X={酒}，F(xiàn)={喝}

有：Y1Y2 三班的男同學(xué)三班的同學(xué)

則：三班男同學(xué)喝的酒三班同學(xué)喝的酒

這一步稍做證明：每一個(gè)三班男同學(xué)在喝什么，也就是三班同學(xué)在喝什么，也即：三班男同學(xué)喝的東西三班同學(xué)喝的東西。再根據(jù)添加公式得到：（三班男同學(xué)喝的東西∩酒）（三班同學(xué)喝的東西∩酒）。而（三班男同學(xué)喝的東西∩酒）就是“三班男同學(xué)喝的酒”，下同。

有：三班男同學(xué)喝的酒三班同學(xué)喝的酒

則有數(shù)量關(guān)系：|三班男同學(xué)喝的酒|≤|三班同學(xué)喝的酒|

根據(jù)傳遞律有：【上偏量】當(dāng)三班男同學(xué)喝的酒大于或等于十瓶時(shí)，三班同學(xué)喝的酒也大于或等于十瓶；【下偏量】當(dāng)三班同學(xué)喝的酒小于或等于十瓶時(shí)，三班男同學(xué)喝的酒也小于或等于十瓶。

例3 上偏量：

廣東出口了100億元以上的貨物 華南地區(qū)出口了100億元以上的貨物

紅星廠買(mǎi)的大米超過(guò)1 000千克 本地三所釀酒廠買(mǎi)的大米超過(guò)1 000千克（紅星廠是本地三所釀酒廠之一）

下偏量：

全組一起沒(méi)有10塊錢(qián) 她（全組成員之一）沒(méi)有10塊錢(qián)

偵察班全班只能搜索5個(gè)以下的地塊 偵察班長(zhǎng)只能搜索5個(gè)以下的地塊

三、 下偏量與全稱量化的單調(diào)下降性的區(qū)別

根據(jù)廣義量詞邏輯理論，全稱量化肯定句有左單調(diào)下降和右單調(diào)上升，如例4a所示；而否定句一般既有左單調(diào)下降，也有右單調(diào)下降，如例4b所示。

例4 a 三班所有的同學(xué)都喝了酒 三班所有的男同學(xué)都喝了酒（單調(diào)下降）

三班所有的同學(xué)都喝了啤酒三班所有的同學(xué)都喝了酒（單調(diào)上升）

XFY

b 三班同學(xué)沒(méi)有喝酒三班同學(xué)沒(méi)有喝啤酒（單調(diào)下降）

三班同學(xué)沒(méi)有喝酒 三班的男同學(xué)沒(méi)有喝酒（單調(diào)下降）

YFX

以否定句為例（肯定的全稱量化另行討論），可以看到它的全稱量化否定意義的獲得：

（1）左單調(diào)性質(zhì)

有：|三班同學(xué)喝的啤酒|≤|三班同學(xué)喝的酒|

否定：當(dāng)三班同學(xué)喝的酒等于0時(shí)，三班同學(xué)喝的啤酒小于或等于0，又因?yàn)椴豢赡苄∮?，所以這樣一來(lái)三班同學(xué)喝的啤酒也等于0。

（2）右單調(diào)性質(zhì)

有：|三班男同學(xué)喝的酒|≤|三班同學(xué)喝的酒|

否定：當(dāng)三班同學(xué)喝的酒等于0時(shí)，三班男同學(xué)喝的酒小于或等于0，又因?yàn)椴豢赡苄∮?，所以這樣一來(lái)三班男同學(xué)喝的酒也等于0。

從上述證明過(guò)程就可以看到：當(dāng)沒(méi)有喝酒時(shí)，一定沒(méi)有喝啤酒；當(dāng)三班有男同學(xué)，且三班同學(xué)沒(méi)有喝酒時(shí)，則三班的男同學(xué)也一定沒(méi)有喝酒，這一點(diǎn)不能為假。但是，對(duì)下偏量來(lái)說(shuō)，就會(huì)有“例外”，因?yàn)榱枯S本身是不對(duì)稱的。

一般來(lái)說(shuō)，量軸的下端是有終點(diǎn)的，就是0量；而上端是沒(méi)有終點(diǎn)的，開(kāi)放的，所以上偏量上升規(guī)則總是成立的，如“至少兩個(gè)三班的同學(xué)來(lái)過(guò)至少兩個(gè)同學(xué)來(lái)過(guò)”，一定是有同學(xué)來(lái)過(guò)。但是下偏量下降卻有一個(gè)例外，即可能觸及0（見(jiàn)圖1）。

三班同學(xué)最多只喝了十瓶酒，有可能沒(méi)有喝紅酒，喝的都是白酒或黃酒，等等，這時(shí)說(shuō)“三班同學(xué)最多喝了十瓶紅酒”就不合適了，因?yàn)檫@句話必須理解成“三班同學(xué)喝了紅酒”。

三班同學(xué)最多只喝了十瓶酒，即使三班有男同學(xué)，但也有可能男生都沒(méi)有喝酒，喝酒的都是女生，這時(shí)說(shuō)“三班男同學(xué)最多喝了十瓶酒”就不合適了，因?yàn)檫@句話必須理解成“三班男同學(xué)喝了酒”。

下偏量的這一“反例”，可以稱為“空集反例”；而全稱量化沒(méi)有空集反例。

“空集反例”對(duì)我們判定句中成分的量化性質(zhì)非常重要。例如，學(xué)界近來(lái)開(kāi)始提出一個(gè)問(wèn)題：“只”字句有多個(gè)成分，雖然“只”所約束的焦點(diǎn)成分一般是不具有單調(diào)性的，但是“只”字句中其他的成分（也即“只”所不約束的成分），是具有單調(diào)下降性質(zhì)的。這一點(diǎn)由陳莉、潘海華［11］提出，不過(guò)他們認(rèn)為這些成分是全稱量化的。如例5所示。

例5 三班的同學(xué)只買(mǎi)書(shū) 三班的男同學(xué)只買(mǎi)書(shū)（單調(diào)下降）

“只”只約束“買(mǎi)”和“書(shū)”，“三班的（男）同學(xué)”不在它的管轄范圍之內(nèi)，但是，這一論元是單調(diào)下降的。我們來(lái)看看其獲得單調(diào)性的過(guò)程：

設(shè)Y1={三班的男同學(xué)}，Y2={三班的同學(xué)}，X={書(shū)}，F(xiàn)={買(mǎi)}

有：Y1Y2三班的男同學(xué)三班的同學(xué)

則：三班的男同學(xué)買(mǎi)東西三班的同學(xué)買(mǎi)東西

則：三班的男同學(xué)買(mǎi)的東西三班的同學(xué)買(mǎi)的東西

“只”字句：當(dāng)三班的同學(xué)買(mǎi)的東西屬于書(shū)的時(shí)候，則根據(jù)傳遞律有：三班的男同學(xué)買(mǎi)的東西也屬于書(shū)。

存在“空集反例”：有可能三班的男同學(xué)一點(diǎn)東西也不買(mǎi)，那么這時(shí)說(shuō)“三班的男同學(xué)只買(mǎi)書(shū)”就不合適了，因?yàn)檫@意味著三班的男同學(xué)是買(mǎi)了書(shū)的。

由此可見(jiàn)，需要對(duì)陳莉、潘海華的觀點(diǎn)做部分修正：“只”字句中不受“只”約束的成分獲得的是下偏量解讀（而不是全稱量化解讀），由下偏量獲得單調(diào)向下的性質(zhì)。

四、 左右單調(diào)的不對(duì)稱性

陳振宇根據(jù)量化三分結(jié)構(gòu)，提出直接量化和間接量化的區(qū)別：算子對(duì)直接約束的X成分（左量化），是直接量化；而對(duì)其不約束的Y成分（右量化），是間接量化［12］88-104。上/下偏量算子，其左單調(diào)是直接量化，右單調(diào)是間接量化，二者的不對(duì)稱性表現(xiàn)在：直接量化具有強(qiáng)制性，量化性質(zhì)都由該算子決定，并遵循“一個(gè)算子一個(gè)變項(xiàng)”的規(guī)則，不能自由地添加新的算子，如例6所示。

例6 三班的同學(xué)至少喝了十瓶啤酒

*三班的同學(xué)至少喝了十瓶大多數(shù)啤酒

*三班的同學(xué)至少喝了十瓶部分啤酒

*三班的同學(xué)至少喝了十瓶所有啤酒

……

但是間接量化具有可刪除性，可以自由地加上新的算子，并且由新算子改變?cè)械膯握{(diào)性，如例7所示。

例7 三班所有的同學(xué)至少喝了十瓶啤酒（肯定全稱量化“所有”）

三班沒(méi)有一個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶啤酒（否定全稱量化“沒(méi)有一個(gè)”）

三班有的同學(xué)至少喝了十瓶啤酒（部分量化“有的”）

三班部分同學(xué)至少喝了十瓶啤酒（部分量化“部分”）

三班大多數(shù)的同學(xué)至少喝了十瓶啤酒（比例“大多數(shù)”）

三班五個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶啤酒（數(shù)值“五個(gè)”）

三班至少有五個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶啤酒（上偏量“至少五個(gè)”）

三班最多只有五個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶啤酒（下偏量“最多五個(gè)”）

……

從句子結(jié)構(gòu)關(guān)系可以看到，上例中“（三班）同學(xué)”受到新加的量化算子“所有、沒(méi)有（一個(gè)）、有的、部分、大多數(shù)、五個(gè)、至少有五個(gè)、最多只有五個(gè)”的句法管轄，也就是被這些算子直接量化（左單調(diào)）；“（三班）同學(xué)”在量化算子“至少十瓶”的句法管轄之外，是間接量化（右單調(diào)）。但是，我們也可以倒過(guò)來(lái)說(shuō)，“（?。┚啤笔堋爸辽偈俊钡闹苯恿炕ㄗ髥握{(diào)），同時(shí)受“所有”的間接量化（右單調(diào)）。根據(jù)廣義量詞理論，每一個(gè)算子都有左單調(diào)和右單調(diào)，如果兩個(gè)算子在句中共現(xiàn)，如上所述，那么可能互相出現(xiàn)左右單調(diào)“編插”的情況。

與之相反，也可以有以下的配置：

例8 三班最多有五位同學(xué)做完了所有的作業(yè)（肯定全稱量化“所有”）

三班最多有五位同學(xué)沒(méi)有做完作業(yè)（否定全稱量化“沒(méi)有”）

三班最多有五位同學(xué)做完了部分的作業(yè)（部分量化“部分”）

三班最多有五位同學(xué)做完了大多數(shù)的作業(yè)（比例“大多數(shù)”）

三班最多有五位同學(xué)做完了兩天的作業(yè)（數(shù)值“兩天”）

三班最多有五位同學(xué)至少做完了兩天的作業(yè)（上偏量“至少兩天”）

三班最多有五位同學(xué)最多做完了兩天的作業(yè)（下偏量“最多兩天”）

……

請(qǐng)注意，漢語(yǔ)中有的算子放在謂語(yǔ)后不大自然，如“有的”，“他看見(jiàn)了有的人”在一些母語(yǔ)者那里是不能接受的，所以我們這里不討論“三班最多有五位同學(xué)做完了有的作業(yè)”。

廣義量詞理論沒(méi)有提供這種情況下的計(jì)算辦法，但是在語(yǔ)言中，這是常見(jiàn)的現(xiàn)象，我們不得不加以思考。在漢語(yǔ)語(yǔ)法研究中，迄今只有陳振宇［12］提及：直接量化可以和間接量化共現(xiàn)，作用在同一個(gè)成分上；并且，直接量化算子占優(yōu)勢(shì)，也就是相應(yīng)的間接量化意義被刪除，該成分的量化性質(zhì)受到直接量化的制約。根據(jù)這一原則，一個(gè)成分的量化性質(zhì)應(yīng)該由約束它的直接量化算子來(lái)決定，只有它沒(méi)有直接量化算子時(shí)，才會(huì)受到其他算子的間接量化影響。

但是通過(guò)更多的例句，作者發(fā)現(xiàn)上述觀點(diǎn)并不完全正確，因?yàn)槠浜雎粤艘粋€(gè)重要的因素：句中的兩個(gè)算子是不平衡的。我們可以看到，句中的兩個(gè)算子在句法上可以分為上下兩層，或者用邏輯學(xué)的術(shù)語(yǔ)，稱為“寬域”和“窄域”，如表1中的例7、例8所示：

陳文主要考察的是外層算子所直接量化的部分，對(duì)內(nèi)層算子的例句考察不足。從本文的研究對(duì)象出發(fā)，我們認(rèn)為必須分別對(duì)內(nèi)、外層成分分別進(jìn)行討論。

五、 內(nèi)外套疊算子所約束的成分的單調(diào)性計(jì)算

先看外層算子約束的成分，這里陳振宇［12］是正確的：由直接量化的外層算子的左單調(diào)性決定該成分的量化性質(zhì)，與內(nèi)層的算子無(wú)關(guān)。

先來(lái)看看例7，這些“新加”的算子都在外層，可以直接決定其直接量化的成分的單調(diào)性。例如直接量化算子是左單調(diào)下降的，如全稱量化和否定，得到單調(diào)下降：

例9 三班所有的同學(xué)至少喝了十瓶酒 三班所有的男同學(xué)至少喝了十瓶酒

三班沒(méi)有一個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶酒 三班沒(méi)有一個(gè)男同學(xué)至少喝了十瓶酒

直接量化算子是左單調(diào)上升的，如部分量化，得到單調(diào)上升：

例10 三班有的男同學(xué)至少喝了十瓶酒 三班有的同學(xué)至少喝了十瓶酒

三班部分男同學(xué)至少喝了十瓶酒 三班部分同學(xué)至少喝了十瓶酒

直接量化算子是非單調(diào)的，如具體的比例（大多數(shù)，即多于半數(shù)）和數(shù)值（五個(gè)），都不具有單調(diào)性。例如“三班有五個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶酒”，當(dāng)“五個(gè)”重讀，強(qiáng)調(diào)這一數(shù)值時(shí)，可能其中男同學(xué)少于五個(gè)，不能推知“三班有五個(gè)男同學(xué)至少喝了十瓶酒”；“三班有五個(gè)男同學(xué)至少喝了十瓶酒”，可能還有女同學(xué)也至少喝了十瓶酒，所以也不能推知“三班有五個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶酒”，實(shí)際上可能比五個(gè)多。

甚至還可以“新加”上/下偏量，也是按照左邊的那個(gè)偏量計(jì)算：

例11 三班至少有五個(gè)男同學(xué)至少喝了十瓶啤酒 三班至少有五個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶啤酒

三班最多只有五個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶啤酒 三班最多只有五個(gè)男同學(xué)至少喝了十瓶啤酒

其次來(lái)看看例8，“最多”在外層，不管內(nèi)層是什么算子，“最多”都決定著約束成分具有單調(diào)下降性質(zhì)：

例12 三班最多有五位同學(xué)做完了所有的作業(yè) 三班最多有五位男同學(xué)做完了所有的作業(yè)

三班最多有五位同學(xué)沒(méi)有做完作業(yè) 三班最多有五位男同學(xué)沒(méi)有做完作業(yè)

三班最多有五位同學(xué)做完了部分的作業(yè) 三班最多有五位男同學(xué)做完了部分的作業(yè)

三班最多有五位同學(xué)做完了大多數(shù)的作業(yè) 三班最多有五位男同學(xué)做完了大多數(shù)的作業(yè)

三班最多有五位同學(xué)做完了兩天的作業(yè) 三班最多有五位男同學(xué)做完了兩天的作業(yè)

三班最多有五位同學(xué)至少做完了兩天的作業(yè) 三班最多有五位男同學(xué)至少做完了兩天的作業(yè)

三班最多有五位同學(xué)最多做完了兩天的作業(yè) 三班最多有五位男同學(xué)最多做完了兩天的作業(yè)

之所以外層算子具有如此規(guī)律，是因?yàn)榫渥雍竺娴牟糠植还苁欠裼袃?nèi)層算子，都可以看成一個(gè)整體命題。下面用例7的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明：

三班的男同學(xué) 三班的同學(xué)

喝啤酒的三班男同學(xué) 喝啤酒的三班同學(xué)

至少喝了十瓶啤酒的三班男同學(xué) 至少喝了十瓶啤酒的三班同學(xué)

|至少喝了十瓶啤酒的三班男同學(xué)|≤ |至少喝了十瓶啤酒的三班同學(xué)|

當(dāng)“三班沒(méi)有一個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶啤酒”為真時(shí)：

因?yàn)閨至少喝了十瓶啤酒的三班同學(xué)|=0，根據(jù)傳遞律，|至少喝了十瓶啤酒的三班男同學(xué)|=0，也就是三班沒(méi)有一個(gè)男同學(xué)至少喝了十瓶啤酒。

再?gòu)睦?的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明：

三班的男同學(xué) 三班的同學(xué)

做完作業(yè)的三班男同學(xué) 做完作業(yè)的三班同學(xué)

做完兩天作業(yè)的三班男同學(xué) 做完兩天作業(yè)的三班同學(xué)

|做完兩天作業(yè)的三班男同學(xué)|≤ |做完兩天作業(yè)的三班同學(xué)|

當(dāng)“三班最多有五位同學(xué)做完了兩天的作業(yè)”為真時(shí)：

因?yàn)閨做完兩天作業(yè)的三班同學(xué)|≤ 5，根據(jù)傳遞律，|做完兩天作業(yè)的三班男同學(xué)|≤ 5，也就是說(shuō)，三班最多有五位男同學(xué)做完了兩天的作業(yè)。

再來(lái)看內(nèi)層算子約束的成分，相比而言，這會(huì)復(fù)雜得多，因?yàn)樗坏艿皆搩?nèi)層算子的影響，而且也受到外層算子的影響。從邏輯層次出發(fā)，它需要經(jīng)歷兩次邏輯運(yùn)算：先由內(nèi)層算子計(jì)算一遍，獲得蘊(yùn)涵關(guān)系，再在此關(guān)系的基礎(chǔ)上，由外層算子計(jì)算，得到最終的結(jié)果。這樣的過(guò)程稱為“算子套疊”（operator superposition），指外層算子在句法和語(yǔ)義上都套疊在內(nèi)層算子的外面，因此后者必須將計(jì)算結(jié)果輸入外層算子，再次運(yùn)算，如圖2所示。

先看看例7中的算子套疊：

啤酒 酒

喝啤酒 喝酒

至少喝了十瓶啤酒 至少喝了十瓶酒

至少喝了十瓶啤酒的三班同學(xué) 至少喝了十瓶酒的三班同學(xué)

|至少喝了十瓶啤酒的三班同學(xué)| ≤ |至少喝了十瓶酒的三班同學(xué)|

當(dāng)“三班所有同學(xué)至少喝了十瓶啤酒”為真時(shí)：

因?yàn)閨至少喝了十瓶啤酒的三班同學(xué)|=|三班同學(xué)|，根據(jù)傳遞律，|三班同學(xué)| ≤ |至少喝了十瓶酒的三班同學(xué)|，因?yàn)椴豢赡艽笥?，所以只能是等于，也就是三班所有的同學(xué)都至少喝了十瓶酒（單調(diào)上升）。

當(dāng)“三班沒(méi)有一個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶酒”為真時(shí)：

因?yàn)閨至少喝了十瓶酒的三班同學(xué)|=0，根據(jù)傳遞律，|至少喝了十瓶啤酒的三班同學(xué)|=0，也就是三班沒(méi)有一個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶啤酒（單調(diào)下降）。

當(dāng)“三班最多只有五個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶酒”為真時(shí)：

因?yàn)閨至少喝了十瓶酒的三班同學(xué)|≤5，根據(jù)傳遞律，|至少喝了十瓶啤酒的三班同學(xué)|≤5，也就是三班最多只有五個(gè)同學(xué)至少喝了十瓶啤酒（單調(diào)下降）。

再如：

啤酒 酒

喝啤酒 喝酒

最多喝了十瓶酒 最多喝了十瓶啤酒（注意此處順序顛倒一次）

最多喝了十瓶酒的三班同學(xué) 最多喝了十瓶啤酒的三班同學(xué)

|最多喝了十瓶酒的三班同學(xué)| ≤ |最多喝了十瓶啤酒的三班同學(xué)|

當(dāng)“三班所有同學(xué)最多喝了十瓶酒”為真時(shí)：

因?yàn)閨最多喝了十瓶酒的三班同學(xué)|=|三班同學(xué)|，根據(jù)傳遞律，|三班同學(xué)| ≤ |最多喝了十瓶啤酒的三班同學(xué)|，因?yàn)椴豢赡艽笥冢灾荒苁堑扔?，也就是三班所有的同學(xué)最多喝了十瓶啤酒（單調(diào)下降）。

當(dāng)“三班最多五個(gè)同學(xué)最多喝了十瓶啤酒”為真時(shí)：

因?yàn)閨最多喝了十瓶啤酒的三班同學(xué)|≤5，根據(jù)傳遞律，|最多喝了十瓶酒的三班同學(xué)|≤5，也就是三班最多五個(gè)同學(xué)最多喝了十瓶酒（單調(diào)上升）（注意此處順序再顛倒一次）。

再看看例8中的算子套疊：

數(shù)學(xué)作業(yè) 作業(yè)

做完了所有作業(yè) 做完了所有數(shù)學(xué)作業(yè)（注意此處全稱量化要顛倒順序）

做完了所有作業(yè)的三班同學(xué) 做完了所有數(shù)學(xué)作業(yè)的三班同學(xué)

|做完了所有作業(yè)的三班同學(xué)| ≤ |做完了所有數(shù)學(xué)作業(yè)的三班同學(xué)|

當(dāng)“三班最多有五位同學(xué)做完了所有數(shù)學(xué)作業(yè)”為真時(shí)：

因?yàn)閨做完了所有數(shù)學(xué)作業(yè)的三班同學(xué)|≤5，根據(jù)傳遞律，|做完了所有作業(yè)的三班同學(xué)|≤5，也就是三班最多有五位同學(xué)做完了所有作業(yè)（單調(diào)上升）（注意此處順序再顛倒一次）。

當(dāng)“三班至少有五位同學(xué)做完了所有作業(yè)”為真時(shí)：

因?yàn)?≤|做完了所有作業(yè)的三班同學(xué)|，根據(jù)傳遞律，5≤|做完了所有數(shù)學(xué)作業(yè)的三班同學(xué)|，也就是三班至少有五位同學(xué)做完了所有數(shù)學(xué)作業(yè)（單調(diào)下降）。

通過(guò)以上案例的分析，可以發(fā)現(xiàn)：

（1）所考察的成分的蘊(yùn)涵關(guān)系如為I0；

（2）先是內(nèi)層算子將自己的左單調(diào)性加在其所約束的成分上，得到一個(gè)新的蘊(yùn)含關(guān)系I1；

（3）將I1輸入外層算子的右單調(diào)性中進(jìn)行第二次計(jì)算，也就是圖2中虛線框內(nèi)的內(nèi)容。兩次計(jì)算的規(guī)則如表2所示，陰影的四格就是算子套疊后的結(jié)果。

單調(diào)上升就是保持輸入的蘊(yùn)涵順序，單調(diào)下降就是顛倒輸入的蘊(yùn)涵順序。如果一個(gè)上升一個(gè)下降，那就顛倒一次，最終得到單調(diào)下降，如表2中②③所示；如果兩個(gè)上升，那就一直保持單調(diào)上升，如①所示；如果兩個(gè)下降，那就顛倒兩次，顛倒來(lái)顛倒去，從而恢復(fù)到原來(lái)的順序，也就是最終結(jié)果為單調(diào)上升，如④所示。

我們可以將外層算子約束成分的計(jì)算規(guī)則與這里的規(guī)則合并起來(lái)，綜合如下：

（1）從所考察的成分的直接量化算子開(kāi)始計(jì)算，取該算子的左單調(diào)性；

（2）如果在該算子的外層沒(méi)有其他算子，則此結(jié)果就是最終結(jié)果；

（3）如果外層還有其他算子，則將此結(jié)果輸入外層算子的右單調(diào)性繼續(xù)計(jì)算，得到最終結(jié)果。

六、 結(jié) 語(yǔ)

廣義量詞理論是現(xiàn)代邏輯學(xué)、理論語(yǔ)言學(xué)、計(jì)算語(yǔ)言學(xué)等交叉領(lǐng)域的重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容之一，如今又是形式語(yǔ)義學(xué)的語(yǔ)言計(jì)算和信息處理的重要方面，其中單調(diào)性又是最為重要的語(yǔ)義性質(zhì)之一，不但需要確定和證明各種量詞的左/右單調(diào)性，而且需要對(duì)句子中各種成分的單調(diào)性給出具體的計(jì)算操作，尤其是對(duì)多個(gè)算子共現(xiàn)的情況進(jìn)行分析，后者正是已有研究的弱點(diǎn)。

廣義量詞長(zhǎng)期以來(lái)不為漢語(yǔ)學(xué)界所重視，單調(diào)性研究更幾乎是空白。本文所研究的上/下偏量，在漢語(yǔ)語(yǔ)法和語(yǔ)義學(xué)中都比較容易被忽略，缺乏漢語(yǔ)句子研究的文獻(xiàn)。

本文首先引入廣義量詞理論關(guān)于“上偏量算子是左單調(diào)上升和右單調(diào)上升”“下偏量算子是左單調(diào)下降和右單調(diào)下降”的觀點(diǎn)，用漢語(yǔ)的句子進(jìn)行了論證。然后指出，下偏量會(huì)有“空集例外”的現(xiàn)象，而（肯定/否定）全稱量化雖然也可以得到單調(diào)下降，但是不會(huì)產(chǎn)生“空集例外”。接著論證左右單調(diào)是不對(duì)稱的，左單調(diào)指算子直接約束的成分的單調(diào)性，是直接量化，一切由該算子決定，一般不能加入新的算子；但是右單調(diào)的成分在算子的管轄范圍之外，算子對(duì)它只有間接的量化影響，可以自由地加上新的算子，并且新的算子會(huì)起到關(guān)鍵的作用。

到這里已經(jīng)超出了廣義量詞理論和漢語(yǔ)語(yǔ)義學(xué)研究迄今所達(dá)到的研究深度，而本文還進(jìn)一步提出“算子套疊”的計(jì)算方法：當(dāng)句子中有兩個(gè)量化算子分別各自有自己的直接量化成分時(shí)，由于句法位置或邏輯關(guān)系的差異會(huì)產(chǎn)生套疊，即一個(gè)在外層（寬域），一個(gè)在內(nèi)層（窄域），內(nèi)層對(duì)外層沒(méi)有影響，外層算子的左單調(diào)決定其所約束成分的單調(diào)性；外層對(duì)內(nèi)層卻有重大影響，內(nèi)層算子所約束的成分，先由內(nèi)層算子的左單調(diào)計(jì)算，計(jì)算結(jié)果再輸入外層算子的右單調(diào)進(jìn)行計(jì)算，才能得到最終的單調(diào)性。

句中有多個(gè)算子時(shí)，有“算子并列”（如“很多男生和少數(shù)女生看過(guò)這種電影”）、“算子套疊”（如“很多同學(xué)不看電影”）和“算子融合”（兩個(gè)算子必須先進(jìn)行一步邏輯計(jì)算，如“表演班的同學(xué)不只看這種電影”，“不、只”融合后等于“看了，并看了這種電影以外的電影”）三種情況。上下偏量算子主要是和其他算子套疊，下偏量有時(shí)會(huì)和“只”類算子融合，如“最多只有五個(gè)同學(xué)來(lái)了”，其中“最多”和“只”融合后還是下偏量，沒(méi)有什么意義改變，因此本文主要研究了算子套疊的規(guī)律，至于并列和融合將另外討論。

（感謝潘海華、張曉君教授以及陳莉老師的寶貴意見(jiàn)。）

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AT-LEAST/AT-MOST and Their Monotonicity： Direct/Indirect Quantization

and Operator-overlapping

CHEN Zhenyu

Department of Chinese Language and Literature， Fudan University， Shanghai 200433， China

The properties of AT-LEAST/AT-MOST operators are important research objects in the theory of generalized quantifiers， but there is no systematic discussion on their monotonicity calculation. When there is only one operator in a sentence， the generalized quantifier theory describes its meaning well， that is， the AT-LEAST operator is left and right monotone increasing， while the AT-MOST operator is left and right monotone decreasing. However， it was not noticed that there is an important difference in the monotone decreasing between the AT-MOST operator and the universal quantization operator： the AT-MOST operator may exhibit “empty-set counterexamples”. Furthermore， it was not noticed that left-monotony is directly quantified and right-monotony is indirectly quantified. The right monotonic component can be freely added with new operators. More importantly， when two operators overlap in a sentence， the generalized quantifier theory does not provide a solution. In fact， the monotonicity of the outer components is determined by the left-monotonicity of the outer operator. The inner component must go through two steps of calculation： first， calculating according to the left monotonic property of the inner operator， and then inputting the calculation result into the right monotonic property of the outer operator to obtain the final result.

AT-LEAST; AT-MOST; monotonicity; sentence with single operator; operator-overlapping