一道橢圓軌跡問題的多角度探析及其推廣

【摘要】軌跡問題是解析幾何中的常考問題，有多種解決方法，例如代入法、參數(shù)方程法、極坐標(biāo)方程法.文章結(jié)合一道橢圓軌跡問題，依次介紹這些方法的具體應(yīng)用，以期為教師日常教學(xué)提供一些參考.

【關(guān)鍵詞】解析幾何；軌跡問題；參數(shù)方程；極坐標(biāo)方程；推廣

引 言

圓錐曲線中的軌跡問題是一類難度較大、綜合性較高的題型.這類問題主要考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，需要綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.求解軌跡問題的常用方法有直接法、定義法、代入法（相關(guān)點(diǎn)法）、參數(shù)法、極坐標(biāo)方程法等，其中直接法和定義法是較基礎(chǔ)的方法.本文結(jié)合一道例題，談?wù)劥敕?、參?shù)法和極坐標(biāo)方程法在求軌跡問題中的應(yīng)用.

一、試題呈現(xiàn)

本題主要考查直線的方程、橢圓的方程及性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系、軌跡的概念和求法等解析幾何的核心知識(shí).

二、解法探析

解法一（代入法） 根據(jù)條件可知點(diǎn)Q不是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），其中x，y不同時(shí)為零.再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xP，yP），點(diǎn)R的坐標(biāo)為（xR，yR）.

當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)R在橢圓上且點(diǎn)O，Q，R共線，

以上結(jié)論也可以橫向類比到雙曲線中，不再贅述.

結(jié) 語

綜上所述，文章探究了一道橢圓軌跡問題的多種解法，通過一道例題呈現(xiàn)了代入法、參數(shù)法、極坐標(biāo)方程法等求軌跡的常用方法.可見原題是一道求解思路開闊，具備一定綜合性的優(yōu)秀試題，有效考查了學(xué)生的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).此外，原題蘊(yùn)含豐富的教學(xué)價(jià)值，可以進(jìn)行縱向推廣和橫向類比，在解題過程中，學(xué)生的抽象思維能力和發(fā)散聯(lián)想能力可以得到充分的鍛煉和提升，為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

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