小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用探究

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)學(xué)科的兩大重要組成元素，且兩者之間存在較為緊密的聯(lián)系，也是數(shù)學(xué)研究中的兩個(gè)主要對(duì)象。所謂“數(shù)形結(jié)合”，即當(dāng)數(shù)學(xué)中的“數(shù)字”和“圖形”在一定條件下存在相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系時(shí)，“數(shù)字”與“圖形”的聯(lián)系性即“數(shù)形結(jié)合”?！皵?shù)形結(jié)合”是一種學(xué)科思想，將其運(yùn)用于數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，有助于發(fā)展學(xué)生的思維，使其形成良好的思維認(rèn)知模式和思維習(xí)慣，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。小學(xué)階段是學(xué)生智力開發(fā)和思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，教師應(yīng)基于學(xué)科教學(xué)理念的創(chuàng)新，以學(xué)生能力培養(yǎng)為本位，重視小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，使學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力和問題解決能力同步得到提升。

文章結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用價(jià)值和原則，提出在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)、問題探究、問題解決、總結(jié)環(huán)節(jié)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，以期轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，提高其問題分析與解決能力，并形成良好的思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)意識(shí)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用價(jià)值

（一）優(yōu)化概念教學(xué)

概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是學(xué)生用以理解數(shù)學(xué)問題、學(xué)習(xí)解題技巧的基礎(chǔ)工具，可以說概念教學(xué)質(zhì)量決定著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量。就小學(xué)階段學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況來看，概念學(xué)習(xí)的難點(diǎn)在于知識(shí)內(nèi)容的抽象性，導(dǎo)致學(xué)生難以理解知識(shí)的本質(zhì)，從而出現(xiàn)學(xué)習(xí)熱情衰退，學(xué)習(xí)效率降低的問題。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，教師能夠以具象化方式呈現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)概念，既能降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，又可以轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，從根本上優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)方式。

（二）發(fā)散數(shù)學(xué)思維

多數(shù)小學(xué)生會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中陷入同樣的誤區(qū)，即只能夠從單一方向思考問題，這便是思維固化的體現(xiàn)。眾所周知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)思維培養(yǎng)，許多數(shù)學(xué)習(xí)題包含多種解法，能否發(fā)掘數(shù)學(xué)習(xí)題的多樣化解題，關(guān)鍵在于學(xué)生是否具備發(fā)散性思維。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生將形成透過問題看本質(zhì)的思維方式，將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的數(shù)量關(guān)系或者圖像模型，從而探尋多個(gè)問題解決思路，不僅能活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，也能幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)與技巧。

（三）提升數(shù)學(xué)認(rèn)知

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生的綜合能力為目標(biāo)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以解決傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中忽略學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力和自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的問題。小學(xué)是啟蒙學(xué)生數(shù)學(xué)思想的階段，學(xué)生需要具備良好的數(shù)學(xué)語言認(rèn)知能力，準(zhǔn)確理解題目內(nèi)涵，確定正確的解題思路，選擇合適的解答方法。同時(shí)，高效完成解題過程所帶來的成就感和體驗(yàn)感，也是激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)熱情的主要因素。數(shù)形結(jié)合思想具有轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)理論的作用，使學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想的指引下，真正理解數(shù)學(xué)語言的意義，提升其學(xué)科認(rèn)知水平。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用原則

（一）可行性

在解決數(shù)學(xué)問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想需要滿足一定條件，即“數(shù)”與“形”之間能夠相互轉(zhuǎn)化。換而言之，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用必須滿足代數(shù)的數(shù)量關(guān)系與幾何圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系之間存在內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，且這種關(guān)系是等價(jià)的，如此才可以在解題中發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值。教師應(yīng)認(rèn)識(shí)到，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題，實(shí)際上是引導(dǎo)學(xué)生掌握更為高效的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生根據(jù)具體的題目條件和信息，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。運(yùn)用這一思想，學(xué)生需要正確理解數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵，避免刻意而為之，干擾解題思路。

（二）獨(dú)立性

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的過程也是學(xué)生獨(dú)立思考和自主判斷的過程。通過教師簡單引導(dǎo)，向?qū)W生傳授數(shù)形結(jié)合的用法，使其能夠具備獨(dú)立完成知識(shí)學(xué)習(xí)和問題解答的能力，這是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)形結(jié)合思想的最終目的。學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握情況各不相同，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解答問題時(shí)，也會(huì)存在思路和方法的差異。為此，教師應(yīng)遵循獨(dú)立性原則，尊重不同學(xué)生的思考方式和解題方法，使學(xué)生能夠形成完善、獨(dú)立、具有個(gè)人特色的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用思路。

（三）生本性

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是優(yōu)化教學(xué)服務(wù)的一種表現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)教師要尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)想法，將學(xué)生作為教學(xué)主體，通過引導(dǎo)，轉(zhuǎn)變學(xué)生思考問題的方式，使其逐步接受并掌握數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用方法，提高問題解決能力，助力學(xué)科素養(yǎng)提升。從這一點(diǎn)出發(fā)，教師應(yīng)基于生本性原則，將“以學(xué)生為本，為學(xué)生服務(wù)”作為運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想開展教學(xué)活動(dòng)的宗旨，創(chuàng)新學(xué)習(xí)指導(dǎo)方式，提高學(xué)生綜合素質(zhì)。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用方法

（一）轉(zhuǎn)抽象為具體，創(chuàng)新概念講解方式

概念不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的重要組成，也是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)。數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，應(yīng)從概念教學(xué)入手，通過轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，提升數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，使其能夠化抽象為具體，理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，如此可為學(xué)生高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)提供支持?；谛W(xué)階段學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，教師應(yīng)善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想調(diào)動(dòng)其多項(xiàng)感官，利用言語講解與圖形展示結(jié)合的方式，使學(xué)生在視覺與聽覺上，全面、深入地理解數(shù)學(xué)概念，并將概念知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榫呦蠡?hào)，長時(shí)間“停留”在學(xué)生頭腦中，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的印象。這樣，數(shù)學(xué)教師可以改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使他們脫離死記硬背的模式，提高學(xué)科教學(xué)效率。

以人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“公頃和平方千米”為例，本節(jié)課程的主要概念為“公頃”和“平方千米”兩個(gè)面積單位，需要學(xué)生了解“一公頃”和“一平方千米”有多大，且知道其含義。在以往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生接觸過其他的面積單位，如平方厘米、平方米等。在講解這些面積單位時(shí)，教師通常會(huì)采用教具輔助的方式，向?qū)W生展示邊長為1cm的正方形卡片，使學(xué)生直觀了解“一平方厘米”有多大。同理，在本節(jié)課程教學(xué)中，教師同樣可以將“一公頃”“一平方千米”這些抽象概念的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^的圖形，便于學(xué)生理解概念含義，并認(rèn)識(shí)不同面積單位之間的換算規(guī)律，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)量與圖形關(guān)系，形成數(shù)形結(jié)合思想。

譬如，在講解“一公頃有多大？”這一問題時(shí)，教師首先指出“邊長是100米的正方形面積為一公頃”。隨后，引導(dǎo)學(xué)生思考并嘗試計(jì)算：此正方形的面積是多少平方米？通過計(jì)算，學(xué)生可得出10000平方米這一結(jié)果。此時(shí)，教師可以利用教學(xué)白板，按照一定的比例，分別繪制邊長為1m和100m的正方形，并將邊長為100m的正方形等分為10000個(gè)小正方形。通過這種直觀的對(duì)比，幫助學(xué)生感受一公頃有多大，建立關(guān)于一公頃的表象。同理，在講解“一平方千米有多大？”時(shí)，教師可以采用同樣的圖形演示法，并指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合不同圖形內(nèi)小正方形的數(shù)量關(guān)系，推算不同面積單位的進(jìn)位關(guān)系，這樣，在數(shù)形結(jié)合思想的引領(lǐng)下，深化學(xué)生對(duì)本節(jié)課相關(guān)概念的理解。

（二）注重思維培養(yǎng)，引導(dǎo)探究數(shù)學(xué)問題

從總體上來說，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程可以概括為兩個(gè)階段，一為“認(rèn)知”，二為“應(yīng)用”。“認(rèn)知”即獲取知識(shí)的過程，“應(yīng)用”即解決問題的過程。學(xué)生經(jīng)歷獲取知識(shí)、理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)等學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，也是思維轉(zhuǎn)變的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，主要目的是提高學(xué)生的問題解決能力。因此，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想開展教學(xué)的著力點(diǎn)在于，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維。在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)嘗試將數(shù)形結(jié)合思想融入一些簡單的數(shù)學(xué)知識(shí)中，由此設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合思想，體會(huì)其在解決數(shù)學(xué)問題中的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生在探究中逐步形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的思路，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

以人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”為例，解決雞兔同籠問題的關(guān)鍵在于，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中蘊(yùn)含的特殊數(shù)量規(guī)律，使學(xué)生從不同的角度分析問題，深化學(xué)生對(duì)題目信息和已知數(shù)據(jù)的認(rèn)識(shí)。因此，教師可指導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想探究雞兔同籠問題。以下面題目為例：雞兔同籠，有5個(gè)頭，14條腿，問雞兔各幾只？首先引導(dǎo)學(xué)生思考問題：雞兔分別有幾個(gè)頭？幾條腿？根據(jù)常識(shí)，學(xué)生確定雞兔都有一個(gè)頭，而雞有兩條腿，兔有四條腿。接下來，教師組織學(xué)生以畫圖的方式，探索雞兔同籠的數(shù)量關(guān)系。根據(jù)題目中的“有5個(gè)頭”這一條件，學(xué)生先畫出一只兔子和四只雞，并數(shù)出雞腿和兔腿的總數(shù)，得出共有18條腿，不符合已知條件；學(xué)生嘗試另一種情況，畫出兩只兔子三只雞，查數(shù)后發(fā)現(xiàn)共有16條腿，依然不符合已知條件；直至學(xué)生畫出三只兔兩只雞時(shí)，發(fā)現(xiàn)雞兔腿的總數(shù)剛好為14只，至此便可解出正確答案。

這一解題過程雖然為猜想過程，但是學(xué)生在利用圖示法表示數(shù)量關(guān)系的過程中，能夠直觀感受數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中的作用，有助于學(xué)生歸納同類型習(xí)題的解題思路。

（三）探索知識(shí)規(guī)律，鍛煉問題解決能力

掌握教材知識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本要求。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生還需要進(jìn)一步探索學(xué)科知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，幫助學(xué)生找到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“捷徑”，掌握更多高效的解題技巧。教師需要轉(zhuǎn)變?cè)械闹R(shí)講解方式，嘗試將數(shù)形結(jié)合思想與數(shù)學(xué)知識(shí)規(guī)律相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)探索數(shù)學(xué)規(guī)律。教師需要以數(shù)學(xué)問題為載體，通過整合課程知識(shí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)具有關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)問題，組織學(xué)生開展自主探究活動(dòng)，在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)問題共性，進(jìn)而掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律解決實(shí)際問題的方法。這樣的練習(xí)可以幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，擴(kuò)充知識(shí)儲(chǔ)備，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

以人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”為例，本節(jié)課程的教學(xué)重點(diǎn)為使學(xué)生通過觀察長方形與平行四邊形的轉(zhuǎn)化過程，理解平行四邊面積公式的推導(dǎo)過程，理解該公式并掌握計(jì)算平行四邊形面積的方法。因此，教師可以利用長方形與平行四邊形之間的關(guān)聯(lián)性設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，并引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算兩者的面積，在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，形成數(shù)形結(jié)合思想。

在教學(xué)中，教師提出數(shù)學(xué)問題：已知一個(gè)長方形的長為10厘米，寬為6厘米，現(xiàn)有一個(gè)平行四邊形面積與該長方形面積相等，你能畫出這個(gè)平行四邊形嗎？教師設(shè)置該問題的目的在于引導(dǎo)學(xué)生通過思考和動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)長方形與平行四邊形之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的幾何規(guī)律。學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的長方形面積計(jì)算公式，求出該長方形面積為60平方厘米，且根據(jù)“二者面積相等”這一關(guān)系，借助裁剪拼接的方式，將長方形轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫兴倪呅巍４藭r(shí)，教師繼續(xù)追問：兩者的面積有何關(guān)系？學(xué)生通過操作演示，發(fā)現(xiàn)長方形的長等于平行四邊形的底，寬等于其高，通過長方形面積公式“長乘寬”也能夠推導(dǎo)出平行四邊形面積公式為“底乘高”。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生在自主探究中，可以推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，同步提高數(shù)學(xué)思維與問題解決能力。

（四）構(gòu)建知識(shí)框架，培養(yǎng)學(xué)后反思習(xí)慣

學(xué)生能否形成數(shù)形結(jié)合思想，或熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問題，關(guān)鍵在于其對(duì)課程知識(shí)的回顧、復(fù)習(xí)與總結(jié)。學(xué)后反思是“再學(xué)習(xí)”的過程，在反思中，引導(dǎo)學(xué)生梳理課程知識(shí)脈絡(luò)，通過總結(jié)，形成完善系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。這不僅能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效，也為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想創(chuàng)造有利條件。具體來說，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用思維導(dǎo)圖整理課程所學(xué)內(nèi)容，將圖形與數(shù)字結(jié)合起來，結(jié)合實(shí)際教學(xué)內(nèi)容構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，將知識(shí)點(diǎn)以網(wǎng)格化、立體化的方式呈現(xiàn)出來，鍛煉學(xué)生讀圖能力、繪圖能力，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用效果，并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展其學(xué)科綜合素養(yǎng)。

以人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”為例，在課后復(fù)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生需要回顧關(guān)于“單位1”的概念以及分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，從而加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義與性質(zhì)的印象。教師可以指導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)應(yīng)的圖形，并在圖形之間建構(gòu)聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想繪制課程知識(shí)的思維導(dǎo)圖，促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化。

譬如，“單位1”是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)知識(shí)時(shí)，必須掌握的基礎(chǔ)概念。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)個(gè)人喜好，用一個(gè)正方形或一個(gè)圓形以及其他平面圖形代替。隨后，將表示“單位1”的圖形平均分為若干份，表示除法計(jì)算的過程。如，將表示“單位1”的正方形平均分為4份，學(xué)生應(yīng)在該圖下方標(biāo)記“1÷4”，確定數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生選擇被均分的“單位1”圖形中若干份，并用特殊顏色標(biāo)記，并寫出對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)。如，學(xué)生標(biāo)記兩份，則對(duì)應(yīng)地寫出，若標(biāo)記出3份，則需要寫出。通過繪制這種特殊的導(dǎo)圖，學(xué)生在理解“單位1”這一概念的基礎(chǔ)上，直觀認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，并通過除法的意義正確理解分?jǐn)?shù)的意義。

四、結(jié)語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合作為一種重要且實(shí)用的數(shù)學(xué)思想，將其融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，既可以引導(dǎo)學(xué)生從全新的角度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，思考數(shù)學(xué)問題，創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維模式，又能夠演化出多種新型教學(xué)方法，豐富學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。數(shù)形結(jié)合思想在轉(zhuǎn)變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意識(shí)、鍛煉數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、培養(yǎng)良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和提升學(xué)科綜合素養(yǎng)等方面具有積極影響作用。教師應(yīng)遵循數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用原則，以該思想為指導(dǎo)，優(yōu)化數(shù)學(xué)概念講解方法，改進(jìn)數(shù)學(xué)問題講解形式，并在學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，通過解題訓(xùn)練和反思總結(jié)，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的水平，促進(jìn)其學(xué)科能力的全面提升。