畫(huà)數(shù)學(xué)，助力思維拔節(jié)

摘 要：畫(huà)數(shù)學(xué)中的“畫(huà)”指的是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，蘊(yùn)含滲透著幾何直觀。從對(duì)比、實(shí)踐、辨析三個(gè)角度闡述了將“畫(huà)”運(yùn)用于數(shù)學(xué)解題，發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)的方法，并配以具體實(shí)例，剖析了“畫(huà)”如何幫助學(xué)生開(kāi)拓思維，解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題，旨在通過(guò)“畫(huà)”，使每一位學(xué)生的“想”躍然紙上，助力學(xué)生的思維拔節(jié)。

關(guān)鍵詞：畫(huà)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維；幾何直觀；小學(xué)數(shù)學(xué)

作者簡(jiǎn)介：劉慧（1996—），女，江蘇省蘇州市楊枝小學(xué)校。

畫(huà)數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“畫(huà)概念”“畫(huà)計(jì)算”“畫(huà)模型”“畫(huà)思路”“畫(huà)結(jié)構(gòu)”等，有效地提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［1］250-255。小學(xué)生的思維主要是直觀思維與形象思維，他們?cè)诶斫飧拍?、?jì)算以及解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)使用簡(jiǎn)單符號(hào)或幾何圖形作為輔助，也會(huì)使用“畫(huà)”法來(lái)表達(dá)思維路徑［2］。

一、畫(huà)數(shù)學(xué)之“何意”

所謂“畫(huà)數(shù)學(xué)”，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，通過(guò)符號(hào)或簡(jiǎn)單的圖形來(lái)表達(dá)題意，或以“畫(huà)”的方式來(lái)表達(dá)思維過(guò)程［3］67。所謂畫(huà)數(shù)學(xué)之“何意”，即畫(huà)數(shù)學(xué)于思維的價(jià)值。

（一）激趣

數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象的特點(diǎn)，對(duì)于許多學(xué)生而言是枯燥的，但“畫(huà)”是具象且直觀的，有助于學(xué)生接受和理解數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生可以借助“畫(huà)”產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，由興趣出發(fā)，自發(fā)地進(jìn)行思考。例如，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)”的教學(xué)中，有這樣一個(gè)問(wèn)題：50更接近48還是53呢？教師可引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出數(shù)線圖，在數(shù)線圖上逐一標(biāo)出40～60，然后讓學(xué)生在48、53處畫(huà)上兩座小房子，同時(shí)提問(wèn)：“50這數(shù)字更愛(ài)去誰(shuí)的家？”借助數(shù)線圖，學(xué)生可以將數(shù)和形聯(lián)系起來(lái)，以確定數(shù)的范疇，同時(shí)借助繪制小房子的方式，在腦海中形成直觀的幾何表象，產(chǎn)生探究問(wèn)題的欲望?？梢?jiàn)，畫(huà)數(shù)學(xué)能夠在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的前提下，切實(shí)提高他們的數(shù)學(xué)思維水平。

（二）促解

“畫(huà)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“腳手架”，學(xué)生在“畫(huà)”的過(guò)程中能促進(jìn)自身的數(shù)學(xué)理解表達(dá)。通過(guò)將思考轉(zhuǎn)變?yōu)椤爱?huà)”的行為，學(xué)生的學(xué)習(xí)將變得有序，“畫(huà)”的好習(xí)慣為學(xué)生形成更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)思維奠定了基礎(chǔ)［3］69。

例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)中的“排隊(duì)問(wèn)題”時(shí)，教師通常會(huì)給出小明在隊(duì)列中從前往后數(shù)和從后向前數(shù)分別排在第幾位的條件，并由此要求學(xué)生推算出隊(duì)列成員的總數(shù)。在教學(xué)過(guò)程中，教師可以使用畫(huà)圖法，通過(guò)畫(huà)一個(gè)圈或其他圖示，幫助學(xué)生理解為什么在計(jì)算時(shí)需要將總和減去1—這是因?yàn)樾∶鞯奈恢帽恢貜?fù)計(jì)算了兩次。通過(guò)這種方法，學(xué)生可以透過(guò)現(xiàn)象看到問(wèn)題的本質(zhì)，迅速找到問(wèn)題的解決方案。適時(shí)使用畫(huà)圖法，將抽象的解題過(guò)程置于直觀的情境中，有助于學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，從而有效提升他們的比較、分析、綜合等思維能力。

（三）致用

為了構(gòu)建完整且系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，有計(jì)劃的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。然而，傳統(tǒng)的教學(xué)方式往往只能使學(xué)生獲得碎片式的數(shù)學(xué)知識(shí)。為了彌補(bǔ)這一不足，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材精心設(shè)計(jì)了練習(xí)課環(huán)節(jié)，旨在幫助學(xué)生將分散的知識(shí)點(diǎn)整合起來(lái)，形成系統(tǒng)化的理解。這些練習(xí)課不僅能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)已學(xué)內(nèi)容的記憶，還能促進(jìn)單元間知識(shí)點(diǎn)的相互關(guān)聯(lián)，為學(xué)生構(gòu)建了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。思維導(dǎo)圖以數(shù)學(xué)知識(shí)為核心脈絡(luò)，通過(guò)圖形化、結(jié)構(gòu)化的方式展現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生搭建直觀、立體且易于記憶的知識(shí)體系。這種學(xué)習(xí)方式不僅讓復(fù)習(xí)過(guò)程變得條理清晰，還能有效提升學(xué)生的邏輯思維能力和自主學(xué)習(xí)能力。

例如，在帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“年月日”時(shí)，教師以年、月、日三大板塊為主線，分別梳理年的分支—平年和閏年；月的分支—大月、小月和特殊月；日的分支—計(jì)時(shí)法和時(shí)間的計(jì)算。學(xué)生回憶、交流，教師相機(jī)板書(shū)，形成思維導(dǎo)圖。這一過(guò)程融合了美術(shù)元素，通過(guò)“畫(huà)”提煉重要知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生的思維得以外顯，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、畫(huà)數(shù)學(xué)之“何為”

在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“畫(huà)”將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)利用多樣的圖像展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生的思維外顯。這樣，教師便能看到學(xué)生的思維軌跡。畫(huà)數(shù)學(xué)之“何為”即“如何做”。

（一）畫(huà)概念：讓本質(zhì)得以揭示

“畫(huà)概念”是指畫(huà)出有助于理解某一數(shù)學(xué)概念的圖畫(huà)?！爱?huà)概念”的關(guān)鍵在于完成由抽象到具象的過(guò)渡，這樣學(xué)生才能抓住概念實(shí)質(zhì)。

例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生用手里的正方形紙片來(lái)表達(dá)1/2，并提問(wèn)：“為什么每個(gè)人的分法不同，但都可以用1/2來(lái)表達(dá)？”由此學(xué)生認(rèn)識(shí)到，無(wú)論分的形狀如何，只需將一整體平均分成兩份，其中每份皆為整體的二分之一。教師可繼續(xù)追問(wèn)：“還有多少類(lèi)分法？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要過(guò)正方形的中心點(diǎn)即可將正方形平均分成兩部分，過(guò)中心點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)條線，因此有無(wú)數(shù)種分法。學(xué)生通過(guò)多樣的“畫(huà)”感悟出了分?jǐn)?shù)表達(dá)的是整體和它所分成的部分之間的關(guān)系?？梢?jiàn)，畫(huà)數(shù)學(xué)重視數(shù)學(xué)概念實(shí)質(zhì)，能提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

（二）畫(huà)計(jì)算：讓算理得以理解

對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)計(jì)算枯燥乏味，算理深?yuàn)W難懂，他們需要將計(jì)算過(guò)程轉(zhuǎn)化為腦海中可表達(dá)、可操作、可探究的具體情景。所謂“畫(huà)計(jì)算”，是指在計(jì)算教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生將算理、計(jì)算方法跟形象的圖畫(huà)進(jìn)行勾連，使之易于觀察、便于對(duì)比，從而讓學(xué)生感悟算理、掌握算法。

例如，在學(xué)習(xí)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，對(duì)于12×14這道算式，很多學(xué)生雖不會(huì)用豎式正確計(jì)算得數(shù)，也不明白算理，但能用拆分法得出正確結(jié)果。基于此，教師可利用點(diǎn)子圖，引導(dǎo)學(xué)生把算式和拆分法聯(lián)系起來(lái)，幫助學(xué)生直觀地理清每一步計(jì)算對(duì)應(yīng)的圖示，滲透幾何直觀，使學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，從而能深度理解算理。在深入理解拆分法后，學(xué)生可以嘗試用豎式表示分步計(jì)算的過(guò)程和結(jié)果，將豎式計(jì)算的每一步都與橫式對(duì)應(yīng)起來(lái)，打通豎式與橫式的聯(lián)系，感受豎式與橫式是同“理”而不同“法”，豎式僅是橫式的另一種表達(dá)，其中的算理是一致的。

（三）畫(huà)思路：讓難點(diǎn)得以突破

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，通過(guò)理清解題思路，學(xué)生能夠提升解題能力?！爱?huà)思路”一般有四個(gè)步驟：第一，仔細(xì)讀題，明確題意；第二，分析題目，理清數(shù)量關(guān)系；第三，畫(huà)數(shù)量關(guān)系圖，直觀體現(xiàn)關(guān)系；第四，看圖，列式解決問(wèn)題。

在學(xué)習(xí)倍數(shù)問(wèn)題時(shí)，畫(huà)線段圖是一種重要的解題方法。例如，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”的教學(xué)中，有這樣一個(gè)問(wèn)題：“小紅和媽媽的年齡之和是40歲，媽媽的年齡是小紅的4倍，請(qǐng)問(wèn)媽媽和小紅各多少歲？”像這樣的問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，便能一目了然。如果把小紅的年齡作為1倍，媽媽的年齡是小紅年齡的4倍，那么小紅和媽媽的年齡和就相當(dāng)于小紅年齡的1+4=5（倍），即40歲是小紅年齡的5倍，這樣就可以求出1倍的量是多少，進(jìn)而求出幾倍的量（4倍）。繪制線段圖的方法，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考有依據(jù)，為他們分析題中的數(shù)量關(guān)系打下基礎(chǔ)。對(duì)于和差問(wèn)題、和倍問(wèn)題、差倍問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，多數(shù)學(xué)生理解起來(lái)會(huì)有些困難。若是將題中的數(shù)量關(guān)系變成線段圖，學(xué)生便能對(duì)數(shù)量關(guān)系產(chǎn)生直觀的認(rèn)識(shí)，他們的解題思路也會(huì)變得清晰。

（四）畫(huà)模型：讓結(jié)論得以凝練

數(shù)學(xué)模型是從數(shù)學(xué)對(duì)象中提煉并歸納出來(lái)的，揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)?！爱?huà)模型”可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的概念、法則等等，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)結(jié)論得到凝練［4］。

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)有一道思考題：“小紅做了9朵紅花，小明比小紅多做了3朵。小明做了多少朵？”根據(jù)題意，學(xué)生可用圓形表示小紅的花朵，三角形表示小明的花朵（如圖1所示），先畫(huà)出小紅的花朵數(shù)量，再通過(guò)一一對(duì)應(yīng)，把小紅做的朵數(shù)加上小明比小紅多做的3朵就能求出小明做的朵數(shù)，從而得出該類(lèi)問(wèn)題的一般模型：較多的量=較少的量＋相比多出的部分。通過(guò)先畫(huà)點(diǎn)子圖再寫(xiě)算式，學(xué)生解題的步驟變得更加具體，學(xué)生的思維也更具體化，學(xué)生所得到的結(jié)論也得以凝練。

（五）畫(huà)結(jié)構(gòu)：讓體系得以構(gòu)建

在龐大的數(shù)學(xué)知識(shí)體系當(dāng)中，知識(shí)點(diǎn)之間存在著一定的聯(lián)系，學(xué)生的學(xué)習(xí)最終需要由點(diǎn)及面，形成橫向與縱向共同生長(zhǎng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)。教師如果能用顏色、線條、圖形、聯(lián)想和想象組成一張張充滿想象力與創(chuàng)造力、獨(dú)具巧思、色彩艷麗的思維導(dǎo)圖，就可以結(jié)合數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，使他們尋找知識(shí)之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)體系和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)［1］252-253。

例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”的復(fù)習(xí)課時(shí)，教師一開(kāi)始就拋出兩個(gè)問(wèn)題：本單元學(xué)了什么？如何探究的？要求學(xué)生帶著問(wèn)題4人一組進(jìn)行單元知識(shí)梳理，用思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)/a/ka+VpweXPQX0YsfNYsA==，并進(jìn)行展示匯報(bào)與交流。在這節(jié)復(fù)習(xí)課中，教師啟發(fā)學(xué)生由整體到部分，又由部分匯成整體，借用“畫(huà)結(jié)構(gòu)”構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)體系，找出每個(gè)部分之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步感受“轉(zhuǎn)化”之魅力，以達(dá)到確立思維結(jié)構(gòu)之目的。

三、畫(huà)數(shù)學(xué)之“何育”

畫(huà)數(shù)學(xué)之“何育”即“如何培養(yǎng)”。借助畫(huà)數(shù)學(xué)，學(xué)生可以在對(duì)比中尋求最優(yōu)策略，在實(shí)踐中享受思考的樂(lè)趣，在辨析中感受知識(shí)的內(nèi)涵。

（一）用對(duì)比，畫(huà)出思維的價(jià)值

小學(xué)生處在具體運(yùn)算階段，他們?cè)谇斑\(yùn)算階段已經(jīng)有了充分的圖式與經(jīng)驗(yàn)積累，可以把事物發(fā)展的規(guī)律簡(jiǎn)單地抽象出來(lái)。畫(huà)數(shù)學(xué)符合這一發(fā)展規(guī)律，可以使學(xué)生抽象地考慮物體的“圖形化”。在比較同一題目的不同解法時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)畫(huà)圖法能將自己思維的全過(guò)程表達(dá)得清晰明確，能簡(jiǎn)明地表達(dá)數(shù)量關(guān)系，使審題時(shí)間大為縮短。同時(shí)，數(shù)量關(guān)系的有效理清，既加快了學(xué)生的解題速度，又大大提高了學(xué)生的解題正確率。今后再碰到這樣的題目，學(xué)生肯定首選用畫(huà)圖的方法去分析數(shù)學(xué)題目。利用畫(huà)圖將抽象變?yōu)榫唧w，學(xué)生能體驗(yàn)探索、發(fā)現(xiàn)、感悟的整個(gè)過(guò)程，學(xué)會(huì)解題的技巧，獲得更深的情感體驗(yàn)。畫(huà)圖給學(xué)生一個(gè)探索的方向、途徑，學(xué)生能主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)中去，這樣，數(shù)學(xué)課堂才會(huì)更加鮮活高效［5］221。

（二）重實(shí)踐，畫(huà)出思維的過(guò)程

畫(huà)數(shù)學(xué)可以使量與量的內(nèi)在聯(lián)系更加直觀地表現(xiàn)出來(lái)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題行之有效的途徑之一。分析題目時(shí)，學(xué)生要注意將數(shù)與形相聯(lián)系，并根據(jù)題目的具體情況，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，化繁為簡(jiǎn)，從而在提高學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，切實(shí)提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力［5］221。畫(huà)數(shù)學(xué)巧妙地將數(shù)和形結(jié)合在一起，能直觀地體現(xiàn)數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生順利而又迅速地解題，在滲透數(shù)形結(jié)合、極限思想的同時(shí)，讓學(xué)生達(dá)到心中有圖見(jiàn)數(shù)和有數(shù)見(jiàn)圖的境界。

（三）明辨析，畫(huà)出思維的深度

幾何直觀的主要理念是“數(shù)形結(jié)合”，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助“數(shù)形結(jié)合”探索數(shù)學(xué)規(guī)律。畫(huà)圖能力的發(fā)展是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，它由最初自由繪制圖形和示意圖轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)繪制圖形，進(jìn)而發(fā)展為繪制抽象樹(shù)形圖和線段圖，使學(xué)生學(xué)會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的關(guān)系并合理地加以改造，使規(guī)律探索類(lèi)題目化難為易。讓學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行畫(huà)圖可以幫助學(xué)生更好地探究規(guī)律，為學(xué)生之后的學(xué)習(xí)提供方向。這樣，既能使學(xué)生突破學(xué)習(xí)中的困難，也能讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的同時(shí)獲取探索規(guī)律的途徑，助力思維拔節(jié)。

結(jié)語(yǔ)

“數(shù)學(xué)是思維的體操?！痹谛W(xué)階段，對(duì)學(xué)生進(jìn)行畫(huà)圖能力的培養(yǎng)能夠促進(jìn)他們主動(dòng)探究知識(shí)、理解數(shù)學(xué)知識(shí)以及形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過(guò)畫(huà)數(shù)學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得以顯現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)的樂(lè)趣在于讓學(xué)生自主參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來(lái)，在提升課堂教學(xué)效率與質(zhì)量的同時(shí)，幫助學(xué)生積累更多的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知習(xí)慣，將學(xué)生內(nèi)隱的思維顯現(xiàn)出來(lái)，提高學(xué)生思維的高度和深度。

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