對一道牽連速度問題的分析與拓展

摘要：本文通過“數(shù)理結(jié)合”方式分析求解牽連速度問題，由淺入深，從易到難，夯實基本方法，培養(yǎng)關鍵能力，并應用幾何畫板繪圖，優(yōu)化創(chuàng)新思維，深度理解牽連問題的潛在物理本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學知識在物理問題中的重要作用。

關鍵詞：數(shù)理結(jié)合；牽連速度；數(shù)學方法；系統(tǒng)機械能守恒

我國《普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出的課程目標要求增強學生創(chuàng)新意識和實踐能力。［1］可見，優(yōu)化和提升學生的創(chuàng)新思維是當前高中物理教育教學的重要目標。本文旨在通過探討牽連問題來闡述學生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)與優(yōu)化途徑，并從問題的發(fā)現(xiàn)與討論中探索促進學生素養(yǎng)提升的形式。

牽連問題通常需要求解速度（加速度）關系或功能關系，要求學生具有正確的運動觀、能量觀。然而，一些學生僅僅通過記住一些結(jié)論來解決此類問題，對相關物理量的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系缺乏深刻理解，陷入了“知其然而不知其所以然”的境地。這種狀況導致他們在模型變化時不會變通，這顯然并不利于學科思維的培養(yǎng)。因此，教師要讓學生通過解題樹立正確的物理觀念、掌握常用的數(shù)學方法、培養(yǎng)科學思維。［2］

1問題呈現(xiàn)與解題分析

1.1問題呈現(xiàn)

如圖所示，帶孔物塊A穿在豎直固定的細桿上，不可伸長的輕質(zhì)柔軟細繩一端連接物塊A，另一端跨過輕質(zhì)定滑輪連接物塊B。用手將物塊A向上移動到與定滑輪等高處，由靜止釋放后，兩物塊開始在豎直方向上做往復運動。已知物塊A的質(zhì)量為m，物塊B的質(zhì)量為2m，定滑輪到細桿的距離為L，細繩的長度為2L，重力加速度大小為g，忽略一切阻力，定滑輪大小不計，兩物塊均可視為質(zhì)點。求：

（1）物塊B與定滑輪間的最小距離d；

（2）物塊A、B處于同一高度時系統(tǒng)的總動能Ek；

（3）物塊A、B的總動能最大時物塊B的動能EkB。

1.2第（3）問的解析

本文主要分析第（3）問的解法以及必要的拓展。在第（2）問的基礎上，大部分學生都能寫出系統(tǒng)總動能的表達式。但是對于怎么求解系統(tǒng)總動能何時達到最大值，很多學生毫無頭緒，主要問題表現(xiàn)為：第一，對牽連速度問題理解不透，不能正確寫出A與B的速度關系；第二，認為A沿著繩子分解的加速度等于B的加速度，則A所受合力為零時，B所受合力也為零；第三，能從物理學角度正確寫出表達式，但是缺乏數(shù)學方法的應用與討論。

學生出現(xiàn)以上問題的原因主要有兩方面：首要的是基礎知識不牢固，只會“死記硬背”，對繩端關聯(lián)的內(nèi)在本質(zhì)理解不透，導致沒有形成正確的物理觀念，模型構(gòu)建與規(guī)律應用素養(yǎng)能力不夠；其次是數(shù)學知識薄弱，缺乏“數(shù)理結(jié)合”的意識。立足于提升學科素養(yǎng)的角度，下面將展示第（3）問的三種不同解法。

1.2.1解法一

構(gòu)建三角函數(shù)求最值，求解過程具體論述如下。

當系統(tǒng)機械能最大時，設繩子與水平方向的夾角為θ，系統(tǒng)的動能Ek＝mgLtanθ－2mgLcosθ－L，化簡得Ek＝mgLsinθ－2cosθ＋2.令k＝sinθ－2cosθ，由于sinθ和cosθ都是大于零的值，故k即為單位圓第一象限上的某點與定點（0，2）連線的斜率，如圖1所示.當Ek最大時，k＝－3，此時θ＝30°。

由于Ek＝12mv2A＋122mv2B，且vB＝vAsinθ，則機械能守恒的表達式為12mvBsinθ2＋12×2mv2B＝（2－3）mgL。因此mv2B＝2－33mgL，即當系統(tǒng)的動能最大時物塊B的動能EkB＝2－33mgL。

1.2.2解法二

導數(shù)法求解極值，求解過程具體論述如下。

假設物塊A下滑的高度為hA，物塊B上升的高度為hB，由幾何關系有hA＝（hB＋L）2－L2，則系統(tǒng)的動能為Ek＝mg（hB＋L）2－L2－2mghB，化簡得Ek＝mg（h2B＋2hBL）12－2mghB。

對Ek求導，得Ek′＝mg（h2B＋2hBL）－12（hB＋L）－2mg。當Ek′＝0時，系統(tǒng)動能取極值，所以mg（h2B＋2hBL）－12（hB＋L）－2mg＝0，即3h2B＋6LhB－L2＝0，解得hB＝－3±233L。

由于hBgt;0，則hB＝23－33L，同時可得此時繩子與水平方向夾角θ=30°。

由12mvBsinθ2＋12×2mv2B＝mghA－2mghB，可得EkB＝2－33mgL。

1.2.3解法三

利用“質(zhì)心降落最低系統(tǒng)動能最大”求解，求解過程具體論述如下。

建立直角坐標系如圖2所示，系統(tǒng)質(zhì)心坐標為

剛開始釋放物塊A時，yC1＝23L，當系統(tǒng)質(zhì)心最低時，有yC2＝y(tǒng)A＋2yB3，則系統(tǒng)減少的重力勢能ΔEp＝3mg（yC1－yC2）。由幾何關系有yA＝（2L－yB）2－L2，可求得當質(zhì)心最低時yB＝2L－233L，此時繩子與水平方向的夾角θ＝30°。由機械能守恒可知，系統(tǒng)減少的重力勢能等于系統(tǒng)增加的動能，12mvBsinθ2＋12×2mv2B＝3mgyC－23L，當系統(tǒng)質(zhì)心最低時，系統(tǒng)動能最大，EkB＝2－33mgL。

1.3對三種解法的評價

以上三種解法都是立足于促進學生對物理模型與規(guī)律的理解，提升學生數(shù)學應用的能力。解法一和解法二是學生常用的數(shù)學方法，通過構(gòu)建單位圓上某點與定點連線斜率的最值和求導法進行求解。有的學生能列出表達式，卻不知道怎么去求解，說明他們基本能掌握物理模型與規(guī)律，但是缺乏利用數(shù)學知識求解物理問題的素養(yǎng)。這就要求教師在教學中強化學生對“數(shù)理結(jié)合”能力的培養(yǎng)。解法三，應用系統(tǒng)質(zhì)心最低時系統(tǒng)動能最大這一原理進行求解，從物理的角度上來講學生容易接受。雖然質(zhì)點系質(zhì)心坐標的求解在高中階段不做要求，但是適當滲透這一概念是有意義的；這種處理能使以后的彈性碰撞等問題的研究更簡單，同時也能很好地體現(xiàn)物理的內(nèi)在本質(zhì)規(guī)律。對于無法正確地寫出動能公式的學生來說，他們對牽連速度問題理解不夠透徹或未能掌握系統(tǒng)機械能守恒的數(shù)學表達，導致出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象；說明這部分學生的模型構(gòu)建與科學思維素養(yǎng)能力有所欠缺，同時也缺乏模型遷移應用的能力。

2基于提高科學思維素養(yǎng)的牽連問題拓展分析

2.1牽連速度分解方式的內(nèi)在本質(zhì)

在上述題目的條件下，如圖3所示，當物塊A從c點滑到d點時，物塊A滑動的距離為ΔyA，對應的物塊B上升的距離為ΔyB，由幾何關系可知，當Δθ趨近于0時，有ΔyB＝ΔyAsinθ，等式兩邊同時除以Δt，得ΔyBΔt＝ΔyAΔtsinθ；當Δt趨近于0時，使ΔyAΔt＝vA，同理得ΔyBΔt＝vB，則vB＝vAsinθ。

將物塊A的速度分兩個分量可以從兩個角度來理解。如果物塊A的一個速度分量為vAsinθ，則按照矢量合成可知另一個速度分量為v1＝vAcosθ，根據(jù)瞬時速度的定義及幾何關系可得vB＝vAsinθ，則任意時刻繩端關聯(lián)物體的速度可以分解到沿繩子方向與垂直于繩子方向（見圖4）。另外，以滑輪為參考點，滑輪左側(cè)繩子具有伸長與轉(zhuǎn)動的趨勢，則繩端關聯(lián)的物體也具有沿繩子伸長與繞滑輪轉(zhuǎn)動的趨勢，則物塊A的速度可以分解為沿繩子方向與垂直繩子兩個方向。

2.2繩端牽連的物體加速度的分解

有部分學生認為加速度的分解與速度分解一樣，當物塊A的加速度為零時，物塊B的加速度也為零，則此時物塊A、B的速度都達到最大，即系統(tǒng)總動能也最大。當物塊A的速度最大時，加速度為零，有Tsinθ＝mg，認為此時物塊B的速度也是最大，則T＝2mg，所以sinθ＝12，即θ＝30°。由12mvBsinθ2＋12×2mv2B＝mghA－2mghB，其中vB＝vAsinθ，結(jié)合幾何關系可得EkB＝2－33mgL。結(jié)果與參考答案完全相同，但是此解法是錯誤的。

正確的解法是，把物塊A的速度分解為v1和v2，由于v1和v2的大小和方向都在變化（見圖5）。在v1和v2大小都在增加的過程中，a1為v1大小變化對應的加速度，a1′為v1方向變化對應的加速度；a2為v2大小變化對應的加速度，a2′為v2方向變化對應的加速度（見圖6）。則a1′＝v21x，得a1′＝v2Acos2θx。由于cosθ＝Lx，則a1′＝v2Acos3θL；而a2＝dv1dt，由于v2＝vAsinθ＝vB，因此有a2＝aB，而物塊A的實際加速度aA沿著桿豎直向下，即a2－a1′＝aAsinθ，得a2＝aAsinθ＋v2Acos3θL，則aB＝aAsinθ＋v2Acos3θL，所以當物塊A的加速度為零時，物塊B的加速度為aB＝v2Acos3θL，物塊A、B的速度不可能同時達到最大。

2.3用幾何畫板分析牽連問題的速度和加速度關系

由系統(tǒng)的機械能守恒，有

根據(jù)牽連速度關系有vB＝vAsinθ，聯(lián)立求解得

取L＝2m，g＝10m/s2，通過幾何畫板畫出物塊A、B的速度大小與θ的關系圖像（見圖7），可見物塊A、B的速度最大值不是對應同一個θ角，所以認為物塊A、B同時達到最大速度求解系統(tǒng)的最大動能，得到的結(jié)果與參考答案相同只是一個巧合。

圖7物塊A、B的速度大小與θ的關系圖像

由牛頓第二定律有mg－Tsinθ＝maA，T－2mg＝2maB，

結(jié)合物塊A的速度公式化簡得

取g＝10m/s2，利用幾何畫板繪出物塊A、B的加速度大小與θ的關系圖像（見圖8），由于θ的余弦值cosθ＝Lx，其中x的最大值為2L，則θ的最大值為π3，結(jié)合圖8可知，θ＜π3。從圖8可知，在系統(tǒng)動能最大時，物塊A、B速度不可能都最大。

2.4模型遷移應用，促進思維提升

當θ＝0時，物塊A的加速度為10m/s2，結(jié)合受力分析，說明在θ＝0時，物塊A受到的合外力等于重力mg，加速度a＝g。而物塊B加速度為零，說明此時繩子對物塊B的拉力等于物塊B的重力。當夾角θ＝π2時，物塊A與物塊B的加速度相等，結(jié)合物塊A、B的加速度公式，得aB＝aA＝－13g。從受力與模型分析，當θ＝π2時，物塊A、B組成系統(tǒng)的實際模型如圖9所示。通過模型的遷移應用可以促進學生思維提升，讓學生對問題的理解更加透徹，達到“做一道題會一類題”的效果。

3總結(jié)

牽連問題是高中階段常見的物理問題，很好地體現(xiàn)了系統(tǒng)機械能守恒定律的應用。該類問題的分析與拓展在培養(yǎng)學生的思維拓展能力與優(yōu)化學生的創(chuàng)新思維方面具有促進作用。對于此類問題的分析應該注重模型的理解與遷移，要理論與實際相結(jié)合，通過受力分析理解模型的本質(zhì)及其遵循的規(guī)律，抓住模型規(guī)律的統(tǒng)一性與普遍性，讓學生在解決問題中真正提升個人的素養(yǎng)能力。［3］

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：61.

［2］羅緒凱.一道輕繩連接體典型例題的深入剖析［J］.物理教學，2022，44（2）：56-59，62.

［3］葉晟波，方潤根.在發(fā)現(xiàn)和解決物理問題中培養(yǎng)創(chuàng)新思維［J］.物理教學，2022，44（6）：7-11.