拋體運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)線方程及應(yīng)用

摘要：本文以斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為基礎(chǔ)，繪制了拋物線族的外包絡(luò)線，并通過分析外包絡(luò)線與拋物線族之間的相互關(guān)系，推導(dǎo)出了物體斜拋運(yùn)動(dòng)的外包絡(luò)線方程。在此基礎(chǔ)上，文章進(jìn)一步探討了外包絡(luò)線的特性，并展示了外包絡(luò)線方程在中學(xué)物理拋體運(yùn)動(dòng)問題解決中的應(yīng)用實(shí)例。

關(guān)鍵詞：斜拋運(yùn)動(dòng)；拋物線族；包絡(luò)線

拋體運(yùn)動(dòng)是指物體以一定的初速度沿不同的方向拋出，僅在重力作用下所做的曲線運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)在日常生活中十分常見，例如投籃、跳遠(yuǎn)等體育活動(dòng)。在中學(xué)物理教學(xué)中，拋體運(yùn)動(dòng)是一個(gè)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，涵蓋了如豎直上拋、豎直下拋和平拋等多種形式。不同形式拋體運(yùn)動(dòng)的主要區(qū)別在于初速度的方向。在拋體運(yùn)動(dòng)的問題中，求解某一方向上的最大位移通常是學(xué)生面臨的難點(diǎn)。然而，學(xué)生一旦充分理解了拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程，就能輕松解決這類問題。

1包絡(luò)線方程的推導(dǎo)

1.1物體斜拋的軌跡方程

一物體以初速度大小v0，沿與水平方向夾角為θ的方向斜向上拋（見圖1）。忽略空氣阻力，求該物體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程。

通過斜拋的軌跡方程可知，當(dāng)物體的初速度大小和方向都為定值時(shí)，物體的斜拋軌跡方程為y關(guān)于x的二次方程，其運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線。當(dāng)物體拋出時(shí)的速度大小不變時(shí)，其速度方向的變化會(huì)引起其軌跡的變化，且每一個(gè)角度θ所對(duì)應(yīng)的都為單一拋物線。即以大小恒定的初速度，在同一點(diǎn)沿不同方向拋出物體，將會(huì)得到一個(gè)拋物線族。［1］

若存在一根平滑的曲線與這個(gè)拋物線族中的每根拋物線相切，則這個(gè)條曲線為這個(gè)拋物線族的外包絡(luò)線（見圖2）。需要注意的是，外包絡(luò)線僅僅是拋物線族的邊界線，外包絡(luò)線與拋物線的切點(diǎn)并非拋物線的頂點(diǎn)。外包絡(luò)線所描繪的并非單一拋物線的情況，而是拋物線族的變化趨勢(shì)。另外，外包絡(luò)線是該拋物線族的邊界，也描繪了拋物線族最值的變化趨勢(shì)。對(duì)于同一拋物線族，外包絡(luò)線反映了在水平位移x相同的情況下，物體所能到達(dá)的最大豎直位移；或是在豎直高度相同的情況下，物體所能到達(dá)的最大水平位移。

1.2包絡(luò)線方程的推導(dǎo)

可采取通過水平位移x相同，尋找物體所到達(dá)的最大高度的方法。本人認(rèn)為，在推導(dǎo)斜拋運(yùn)動(dòng)的外包絡(luò)線方程時(shí)，外包絡(luò)線所描述的是拋物線族的特征，族中每個(gè)拋物線的軌跡對(duì)應(yīng)單一tanθ的圖像。故當(dāng)同族中各拋物線x坐標(biāo)相同時(shí)，物體的斜拋軌跡方程可認(rèn)為是y關(guān)于θ的函數(shù)。

則式③可化簡(jiǎn)為

該方程中，x為固定參數(shù)，此點(diǎn)處斜拋方程的豎直方向的最大值便是該點(diǎn)處外包絡(luò)線的值。

將方程式④看作關(guān)于tanθ的二次函數(shù)，則

2包絡(luò)線方程的討論

包絡(luò)線是拋物線族的邊際線，包絡(luò)線方程描述了該拋物線族的各個(gè)方向所能到達(dá)的最大位移。通過解析式可知，包絡(luò)線方程為二次函數(shù)。［2］

2.1豎直上拋運(yùn)動(dòng)

令x＝0，y＝v202g，此時(shí)豎直方向的位移為最大位移，將0，v202g代入物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡方程，得θ＝π2，此物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)。

2.2斜拋水平射程最大

令y＝0，x＝v20g，此時(shí)水平方向上的位移為最大位移，將v20g，0代入物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡方程，得tanθ＝1，θ＝π4，此拋物線對(duì)應(yīng)的發(fā)射角為θ＝π4，與我們直接通過斜拋運(yùn)動(dòng)推導(dǎo)的最大射程時(shí)的拋射角一致。

3包絡(luò)線方程的應(yīng)用

包絡(luò)線方程描述的是在初速度大小一定的情況下，通過改變拋射角，斜拋運(yùn)動(dòng)的物體能夠達(dá)到的最遠(yuǎn)位置。這個(gè)方程在計(jì)算斜拋運(yùn)動(dòng)的一些極值問題時(shí)非常有用。下文通過幾個(gè)例題加以說明。

例1公園中大都采用噴水器給草地澆水，已知噴水器噴水口水速大小恒為v0＝4m/s，其噴射方向除豎直方向外，可向空間任何方向。假設(shè)噴頭出水處高于草地所在水平面h＝1m，求每個(gè)噴水器所灌溉的最大面積。

【常規(guī)方法】

以出水口為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系（見圖3）

x＝v0cosθ·t，

－h(huán)＝v0sinθ·t－12gt2，

消掉時(shí)間t，得

此步驟的目的是求x的最大值。但題目化簡(jiǎn)到這一步后就很難處理了，如果將x解出來，變成x＝f（θ）的函數(shù)，求x隨θ變化過程中的最大值，計(jì)算過程非常繁瑣，難度很大。

將方程g（1＋tan2θ）x2－2v20tanθ·x－2v20h＝0變形為gx2·tan2θ－2v20x·tanθ＋（gx2－2v20h）＝0。

上式看成tanθ的二次函數(shù)，拋射角θ不同時(shí)，則水平射程x不同。

根據(jù)二次函數(shù)有解的條件，可知Δ＝4v40x2－4gx2（gx2－2v20h）≥0，

解得x≤v0gv20＋2gh＝2.4m。

x最大時(shí)tanθ＝－b2a＝v20gx＝23，

因此該噴水器灌溉的面積為S灌＝πx2≈18m2。

【巧用包絡(luò)線方程方法】

噴水器噴出的水流所形成的拋物線軌跡可看作不同水滴以大小相同的速度，沿不同角度的斜拋運(yùn)動(dòng)。

已知斜拋運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)線為拋物線族的最大邊界，以噴射點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，將y＝－h(huán)＝－1m，v0＝4m/s代入包絡(luò)線方程式⑤得

噴水器所能灌溉的最大面積為以2.4m為半徑的圓的面積。

在處理斜拋運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，如果我們直接使用常規(guī)方法，通常會(huì)涉及二次函數(shù)計(jì)算，這可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算過程變得更加繁瑣。特別是在求解最值問題時(shí)，如果通過二次函數(shù)的根的判別式來求解，雖然方法巧妙，但學(xué)生并不太容易想到使用這一方法。相比之下，采用包絡(luò)線方程的方法通常更為簡(jiǎn)單快捷。

例2如圖所示，某樓梯臺(tái)階的豎直高度均為h＝0.15m，水平寬度均為d＝0.30m。若臺(tái)階的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，某小球自樓梯的平臺(tái)邊緣以v0＝2m/s的速度飛出，小球的半徑可忽略，則小球最遠(yuǎn)可到達(dá)第幾節(jié)臺(tái)階？

解析：以小球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，小球斜拋的外包絡(luò)線方程式④為

臺(tái)階拐點(diǎn)所在的直線為

將上式代入包絡(luò)線方程式，得

例3軍事演習(xí)中，某導(dǎo)彈發(fā)射器想要將導(dǎo)彈命中距發(fā)射器出射口水平距離為L(zhǎng)，高度為H的目標(biāo)，則導(dǎo)彈的最小速度為多少，發(fā)射角如何？

解析：將（L，H）代入包絡(luò)線方程，得

此時(shí)的速度發(fā)射角正切值為

例4如圖所示，大炮在山腳直接對(duì)著傾角為α的山坡發(fā)射炮彈，炮彈初速度為v0。要使炮彈打到山坡上盡可能遠(yuǎn)的地方，不計(jì)空氣阻力，則大炮的瞄準(zhǔn)角為多少？打到山坡上的最遠(yuǎn)距離為多少？

解析：其實(shí)該題與例3是相同的，由包絡(luò)線方程和山坡的直線方程可求其交點(diǎn)的x坐標(biāo)。方程組為

4小結(jié)

斜拋運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)線方程在生產(chǎn)、生活和軍事等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。例如，在研發(fā)導(dǎo)彈爆炸范圍的實(shí)驗(yàn)中，包絡(luò)線是確定恒定最大爆炸范圍的關(guān)鍵因素；在體育競(jìng)技項(xiàng)目中，如鉛球、標(biāo)槍和跳遠(yuǎn)等涉及最遠(yuǎn)距離的比賽，運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)與物體或自身運(yùn)動(dòng)軌跡的外包絡(luò)線方程緊密相關(guān)。在中學(xué)物理教學(xué)中，平拋運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)的豎直上拋和豎直下拋運(yùn)動(dòng)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。斜拋運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)線方程可成為突破“各方向上最大位移”難點(diǎn)的關(guān)鍵鑰匙。

參考文獻(xiàn)

［1］宋輝武，韓溥.論包絡(luò)線在物理學(xué)中的應(yīng)用［J］.物理教學(xué)，2021，43（8）：8-10．

［2］張文理.巧借包絡(luò)線方程解斜拋中的極值問題［J］.物理通報(bào)，2012（9）：64-66．

［3］董慎行.拋體包絡(luò)線方程的推導(dǎo)及其應(yīng)用例舉［J］.物理教師，2007（12）：45-46．

**基金項(xiàng)目：本文系北京物理學(xué)會(huì)2024-2025年度教育科研立項(xiàng)重點(diǎn)課題“物理規(guī)律探究型課堂教學(xué)模式探索與實(shí)踐”（課題編號(hào)：WLXH241026）的階段性成果。