小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中兒童的關(guān)系思維及其表現(xiàn)

摘 要 對(duì)關(guān)系的尋找、表達(dá)和推理就是關(guān)系思維。數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)教與學(xué)的核心內(nèi)容之一，在對(duì)關(guān)系的關(guān)注、概括和表達(dá)的過(guò)程中必然涉及關(guān)系思維。兒童有比較的本能，有尋找相等關(guān)系的直覺(jué)。關(guān)系思維包括尋找關(guān)系、表達(dá)關(guān)系、從一個(gè)關(guān)系推理出新的關(guān)系等。關(guān)注關(guān)系思維的數(shù)學(xué)教學(xué)就是關(guān)注本能、培養(yǎng)直覺(jué)的教學(xué)。

關(guān) 鍵 詞 關(guān)系思維；兒童；數(shù)學(xué)教學(xué)

引用格式 薛春波.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中兒童的關(guān)系思維及其表現(xiàn)[J].教學(xué)與管理，2024（26）：42-45.

在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程中，弄清關(guān)系是關(guān)鍵。數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)教與學(xué)中的重要對(duì)象，其核心是多和少，具體數(shù)量的多與少抽象符號(hào)化之后，就變成了數(shù)的大與小。隨著數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)體系的建立，這種大小關(guān)系推演為順序關(guān)系[1]。比較、判斷并描述數(shù)量之間的大小關(guān)系，自然成為數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容。特別是相等關(guān)系，借助相等關(guān)系，通過(guò)逆向思維尋找問(wèn)題的解就是算術(shù)思維，通過(guò)順向思維建立相等關(guān)系，借助代數(shù)運(yùn)算得到未知數(shù)的值就是代數(shù)思維。對(duì)關(guān)系的關(guān)注、表達(dá)、概括和推理等不同層次的思維活動(dòng)所涉及的就是關(guān)系思維，在比較中把握關(guān)系的表達(dá)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常重要的。在課堂教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的關(guān)系思維，可以使教學(xué)獲得無(wú)限廣闊的空間[2]。

一、兒童有關(guān)注關(guān)系的直覺(jué)

1.兒童有比較的本能

將自己和他人比較，將他們看到的、想到的、思考的不同類(lèi)的事物進(jìn)行比較，是人類(lèi)的本能。學(xué)生對(duì)數(shù)量的多少是比較敏感的，他們樂(lè)于去比較，也經(jīng)常提出一些與比較有關(guān)的問(wèn)題。比較的結(jié)果就是對(duì)關(guān)系的梳理、表達(dá)和概括。

在根據(jù)信息提問(wèn)題的時(shí)候，兒童喜歡提出“誰(shuí)比誰(shuí)多？多多少？”等問(wèn)題。一年級(jí)教材中有很多看圖列式的情境，相對(duì)于“從總體中減去部分等于另一部分”的減法關(guān)系而言，他們更喜歡寫(xiě)成“一部分比另一部分多多少”的減法算式。舉個(gè)例子，下面是北師版《數(shù)學(xué)》一年級(jí)下冊(cè)的一道課后練習(xí)題（如圖１）。這個(gè)題目的本意肯定是按照加減法的互逆關(guān)系寫(xiě)出一組加法和減法算式，就像上邊的瓢蟲(chóng)圖一樣。下邊的小雞圖對(duì)應(yīng)的算式就應(yīng)該是6+8=14，14-8=6。但大部分學(xué)生會(huì)寫(xiě)成8-6=2，即使有上邊的例子，也阻止不了學(xué)生按照比多少的關(guān)系寫(xiě)出減法算式。如果沒(méi)有上邊的示例，那么會(huì)有更多的學(xué)生用比較的思路來(lái)列減法算式，而不是“總體減去部分”。

兒童的數(shù)學(xué)啟蒙最初就是從比較開(kāi)始的，多了還是少了？大了還是小了？這些都是兒童最初“斤斤計(jì)較”過(guò)的問(wèn)題。

2.兒童有找到相等關(guān)系的直覺(jué)

比較的結(jié)果就是相等或者不等的關(guān)系，不等關(guān)系是生活中比較常見(jiàn)的，但相等關(guān)系卻是讓人著迷的東西。相等關(guān)系可以從已知探索未知，可以聚焦到那個(gè)唯一的答案，這如同秘境探險(xiǎn)一樣有魅力。特別是關(guān)于分東西的事情，兒童往往只認(rèn)可“公平”的“平均分”，盡管他們不知道什么是“平均”，但生活中的分享經(jīng)歷，特別是那些兒時(shí)經(jīng)歷中因?yàn)椴黄骄l(fā)的爭(zhēng)執(zhí)，讓他們只對(duì)“公平的平均分”一往情深。

關(guān)于“公平”的經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生形成了“平均分”的直覺(jué)，而這一直覺(jué)應(yīng)該成為學(xué)生最初認(rèn)識(shí)除法的起點(diǎn)。先讓學(xué)生隨意分東西，從少量物體分給少數(shù)人開(kāi)始，通過(guò)這樣的情境能夠迅速幫助學(xué)生提取記憶中關(guān)于“公平分”的記憶。教師從這樣的分為2份的“公平的分”開(kāi)始，再慢慢過(guò)渡到分成3份，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到“公平的分”就是數(shù)學(xué)中的“平均分”，也就是認(rèn)識(shí)“什么是平均分”。接下來(lái)，再?gòu)妮^少量的分過(guò)渡到較多量的分，從分幾個(gè)東西到分幾十個(gè)東西，使學(xué)生慢慢體會(huì)“怎么分才能平均”，也就是學(xué)習(xí)平均分的方法。平均分是學(xué)生最熟悉的除法問(wèn)題情境，整數(shù)除法的意義主要是在平均分的過(guò)程中建構(gòu)起來(lái)的，所以平均分理解得好，整數(shù)除法的意義的建構(gòu)自然就能夠水到渠成。

即使是一年級(jí)小朋友，也能夠直覺(jué)到一些相等關(guān)系的存在，雖然無(wú)法用準(zhǔn)確的語(yǔ)言去表達(dá)，但他們會(huì)不自覺(jué)地運(yùn)用這些相等關(guān)系幫助他們找到“捷徑”。北師版《數(shù)學(xué)》一年級(jí)下冊(cè)第一單元退位減法的第一個(gè)例題是15-9=？教材中呈現(xiàn)三種主要方法：第一種方法是10-9=1，1+5=6；第二種方法15-5=10，10-4=6；第三種方法9+（6）=15。在用這三種方法計(jì)算15-9=6之后，在計(jì)算14-8=？的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)學(xué)生另辟蹊徑，選擇第四種方法：因?yàn)?5-9=6，所以14-8=6。理由是14比15少1，8比9少1。這就是兒童對(duì)相等關(guān)系的直覺(jué)，是他們關(guān)注關(guān)系的最好例子。在中年級(jí)學(xué)習(xí)平面圖形面積的時(shí)候，這種關(guān)注關(guān)系的習(xí)慣實(shí)際上幫了學(xué)生的大忙。并不是每個(gè)平面圖形都需要重新建構(gòu)一個(gè)面積計(jì)算公式，實(shí)際上長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形的面積公式都是建立在基礎(chǔ)關(guān)系之上的，發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系就可以變特殊為一般，關(guān)注關(guān)系，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就簡(jiǎn)單得多了。

生活中經(jīng)歷的事情、積累的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)兒童的學(xué)習(xí)是非常重要的。這些經(jīng)驗(yàn)是他們學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，讓他們產(chǎn)生了對(duì)知識(shí)最初的萌芽認(rèn)識(shí)，這些萌芽認(rèn)識(shí)表現(xiàn)為他們的一些直覺(jué)，而這些直覺(jué)就成為他們認(rèn)識(shí)一個(gè)新概念的前提。教師要善于利用學(xué)生的學(xué)前經(jīng)驗(yàn)，巧妙地架構(gòu)舊經(jīng)驗(yàn)和新知識(shí)之間的聯(lián)系，而不是對(duì)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)視而不見(jiàn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原本就是你中有我，我中有你的，沒(méi)有絕對(duì)不相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

二、兒童關(guān)系思維的進(jìn)階及其表現(xiàn)

關(guān)注關(guān)系的教學(xué)至關(guān)重要，思維是數(shù)學(xué)的靈魂，而關(guān)系就是思維的內(nèi)容。對(duì)于關(guān)系的關(guān)注，包括尋找關(guān)系、表達(dá)關(guān)系、從此關(guān)系推理出新的關(guān)系。對(duì)關(guān)系的關(guān)注可以從低年級(jí)開(kāi)始，隨著年級(jí)的升高循序漸進(jìn)。

1.關(guān)系的尋找

尋找關(guān)系就是能夠找到什么和什么是相關(guān)的，隨之判斷這種相關(guān)是有意義的，還是無(wú)意義的。在尋找關(guān)系的初始階段，無(wú)需過(guò)多地從成人的視角去思考兒童所尋找的關(guān)系是否有意義，主要是鼓勵(lì)他們對(duì)關(guān)系的關(guān)注。

如在用3+4+2=9編故事的時(shí)候，大部分學(xué)生會(huì)把相同事物加在一起，但也有學(xué)生會(huì)編成：我去商場(chǎng)買(mǎi)了3個(gè)棒棒糖、4個(gè)面包、2杯牛奶，一共買(mǎi)了9樣?xùn)|西。六年級(jí)認(rèn)識(shí)比的意義之后，在生活中找比，有的學(xué)生會(huì)提出男生和女生的比是17：19，桌子和椅子的比是1：1，也有的學(xué)生會(huì)提出書(shū)和椅子的比是3：4。哪些量是相關(guān)的量，而這些相關(guān)量中哪些相關(guān)是有意義的？這對(duì)學(xué)生是有一定難度的，因?yàn)槭欠裼幸饬x需要借助生活經(jīng)驗(yàn)去評(píng)判，而學(xué)生缺少的就是生活經(jīng)驗(yàn)，他們只能在自己的經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)思考。

在找關(guān)系的時(shí)候，讀題或讀圖只是第一步，有感情、有重點(diǎn)地讀題也是對(duì)關(guān)系的一種梳理。教師還可以借助一些策略來(lái)梳理關(guān)系，如將題目重復(fù)給別人聽(tīng)，對(duì)題目的復(fù)述能夠看出讀題者對(duì)問(wèn)題的概括程度。對(duì)題目理解好的學(xué)生，能夠概括出問(wèn)題中的量，并對(duì)這些量與量的關(guān)系進(jìn)行初步的概括。畫(huà)圖或畫(huà)表格，同樣能夠讓無(wú)形的關(guān)系有形地顯現(xiàn)出來(lái)。兒童是天生喜歡找關(guān)系的，只不過(guò)他們的視角和成人會(huì)有些不一樣，教師切記不要在找關(guān)系的時(shí)候，過(guò)于強(qiáng)調(diào)對(duì)錯(cuò)，只要他們能夠說(shuō)清楚判斷的理由即可。

2.關(guān)系的表達(dá)

對(duì)關(guān)系的表達(dá)就是在找到關(guān)系之后，對(duì)關(guān)系進(jìn)行符號(hào)化表達(dá)。語(yǔ)言是常用的表達(dá)方式，借助學(xué)具操作同樣是對(duì)關(guān)系的探索和表達(dá)，畫(huà)圖也是一種表達(dá)，寫(xiě)成等式或不等式還是對(duì)關(guān)系的量化。一年級(jí)就需要強(qiáng)調(diào)對(duì)關(guān)系的語(yǔ)言表達(dá)，而不是只停留在會(huì)列式計(jì)算的層面。例如“乘車(chē)”問(wèn)題，能夠用3+4-2=5列式計(jì)算并不是唯一的目標(biāo)，教師還要鼓勵(lì)學(xué)生用“車(chē)上原來(lái)有3人，上車(chē)4人就加上4，下車(chē)2人就減去2，現(xiàn)在車(chē)上還有5人”這樣的語(yǔ)言表達(dá)對(duì)運(yùn)算意義的理解和應(yīng)用。通過(guò)畫(huà)圖將“量”畫(huà)出來(lái)是對(duì)關(guān)系的二次表達(dá)，對(duì)一些較復(fù)雜的問(wèn)題，畫(huà)圖能夠?qū)㈥P(guān)系顯性化地表達(dá)出來(lái)。日常教學(xué)中，教師往往過(guò)于注重畫(huà)得是否標(biāo)準(zhǔn)，其實(shí)圖只是一種表達(dá)方式，是一個(gè)個(gè)性化的過(guò)程。畫(huà)圖的目的不單純是為了解決問(wèn)題，而要將畫(huà)圖等同于語(yǔ)言表達(dá)。表格與畫(huà)圖的功能是一樣的，當(dāng)涉及的量開(kāi)放度比較高的時(shí)候，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)表格有序地將所有可能的假設(shè)呈現(xiàn)出來(lái)。用字母表達(dá)是一種一般化的表達(dá)，拋卻了個(gè)性化的外衣，直指關(guān)系一般性的表達(dá)方式。這對(duì)低年級(jí)學(xué)生而言，還是有難度的。比如一年級(jí)的時(shí)候，即使學(xué)生已經(jīng)認(rèn)可4+5=9，5+4=9，所以4+5=5+4，教師提出：可以用a+b=b+a來(lái)表示這個(gè)發(fā)現(xiàn)嗎？他們齊齊的回答：不可以?？梢?jiàn)，對(duì)關(guān)系的符號(hào)化表達(dá)，并不能急于求成。字母表達(dá)關(guān)系是一個(gè)一般化的過(guò)程，從個(gè)別到一般并不是一蹴而就的，一年級(jí)學(xué)生能夠接受個(gè)別，但卻不可以接受一般。

3.關(guān)系的推理

數(shù)學(xué)關(guān)系的概括是一個(gè)從已知到未知的不斷網(wǎng)絡(luò)化的過(guò)程，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的形成需要推理能力。兒童對(duì)推理天生感興趣，在對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查的時(shí)候，推理情境是他們最喜歡的故事情境。如果把成為一個(gè)好的偵探作為學(xué)習(xí)推理的目標(biāo)，那么會(huì)有更多的孩子愛(ài)上數(shù)學(xué)的。從一個(gè)關(guān)系推理出新的關(guān)系，這是對(duì)關(guān)系的泛化，更是建立關(guān)系與關(guān)系之間聯(lián)系的過(guò)程，是一個(gè)序列化的過(guò)程。學(xué)生能夠輕松理解“吃掉的+剩下的=全部的”“全部的-吃掉的=剩下的”這組關(guān)系。關(guān)系推理較好的學(xué)生對(duì)比較晦澀的關(guān)系“商店銷(xiāo)售額-成本=盈利”也是可以理解的。一旦找到了關(guān)系，并能夠建立這些關(guān)系之間的聯(lián)結(jié)，就能夠?qū)崿F(xiàn)九九歸一的概括。關(guān)系的推理對(duì)一年級(jí)小朋友而言是很難的。他們的思維是敘事性思維，有就事論事的特點(diǎn)，而關(guān)系的推理是需要對(duì)舊關(guān)系有一般性理解的，只有對(duì)個(gè)別關(guān)系的一般化，才能夠從一個(gè)關(guān)系得到另一個(gè)關(guān)系。

三、發(fā)展兒童關(guān)系思維的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

關(guān)系思維強(qiáng)調(diào)用關(guān)系去看待世界，看到事物與事物之間的相互關(guān)系[3]。注重發(fā)展關(guān)系思維的課堂教學(xué)，重點(diǎn)關(guān)注以下幾個(gè)方面。

1.注重說(shuō)理，讓學(xué)生講清楚為什么

說(shuō)理就是講清楚來(lái)龍去脈，這是對(duì)關(guān)系的表達(dá)。表達(dá)必然涉及邏輯，有邏輯的表達(dá)是循序漸進(jìn)的，不能急于求成。否則會(huì)淡化對(duì)關(guān)系的關(guān)注，而陷入形式的僵化。

2.不刻意背誦，延長(zhǎng)學(xué)生理解的時(shí)間

這是很多教師會(huì)陷入的誤區(qū)，認(rèn)為將公式牢牢地記住了，就是強(qiáng)調(diào)關(guān)系。公式、定理只是關(guān)系的表達(dá)形式，并非關(guān)系思維的本質(zhì)，關(guān)系思維是一種思維習(xí)慣，表現(xiàn)出的典型特征是對(duì)關(guān)系的敏感度。在面對(duì)一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，學(xué)生應(yīng)該更多地關(guān)注關(guān)系，而不是被是否有公式所限制。延長(zhǎng)對(duì)公式的理解時(shí)間，具體體現(xiàn)在不急于概括公式，甚至不必概括公式。比如長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)公式就大可不必呈現(xiàn)，周長(zhǎng)就是所有邊長(zhǎng)之和，多余的公式反而會(huì)限制兒童對(duì)關(guān)系本質(zhì)的關(guān)注和思考。

3.多提問(wèn)題，敢于質(zhì)疑

善于提問(wèn)和質(zhì)疑的學(xué)生，必然關(guān)注關(guān)系，關(guān)注自我前后思維邏輯的關(guān)系，也關(guān)注“我—你”“我—他”之間的關(guān)系，關(guān)系思維有助于學(xué)生質(zhì)疑精神和批判精神的滋養(yǎng)和發(fā)展，對(duì)關(guān)系的關(guān)注能夠激發(fā)兒童的問(wèn)題意識(shí)，不斷在變化中尋找不變。

4.多角度思考問(wèn)題，通過(guò)多樣化途徑解決問(wèn)題

從發(fā)展關(guān)系思維的角度來(lái)看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)解題途徑的多樣化，而不是單純追求解題路徑的優(yōu)化。多樣化的解題途徑是要被積極鼓勵(lì)的，實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師為了追求課堂效率，往往急于總結(jié)“簡(jiǎn)便”方法或一般方法，然而成人的“一般”并非是兒童的“一般”，過(guò)早地杜絕兒童原初的思維沖動(dòng)，會(huì)讓兒童直奔學(xué)習(xí)的結(jié)果而不是關(guān)系。

忽視了關(guān)系的數(shù)學(xué)教學(xué)將對(duì)學(xué)生以后的數(shù)學(xué)發(fā)展造成障礙，對(duì)關(guān)系的關(guān)注能夠讓思維變得開(kāi)闊，特別是代數(shù)思維，是用更抽象的方式對(duì)關(guān)系的一般化。在教材研讀和教學(xué)重構(gòu)的過(guò)程中，教師要有意識(shí)地運(yùn)用關(guān)系思維，打通知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，讓教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化與深刻化[4]。對(duì)關(guān)系的理解、描述和概括是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。只有當(dāng)學(xué)生把對(duì)關(guān)系的尋找、概括和表達(dá)貫穿于他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中時(shí)，他們才能夠?yàn)槠浜罄m(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是代數(shù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

參考文獻(xiàn)

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[3] 吳曉娟.馬克思辯證法的存在基礎(chǔ)——從實(shí)體思維向關(guān)系思維轉(zhuǎn)變[J].現(xiàn)代交際，2021（13）：211-213.

[4] 孫娜，趙國(guó)防.“關(guān)系思維”視域下的教材解構(gòu)策略[J].小學(xué)教學(xué)參考，2021（23）：1-4.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]