基于混合策略的DBO算法對(duì)TSP的研究

摘要：旅行商問(wèn)題（Traveling Salesman Problem， TSP）是一個(gè)經(jīng)典的 NP（Non-deterministic Polynomial）問(wèn)題，具有重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。蜣螂算法（Dung Beetle Optimizer， DBO）是一種新興的啟發(fā)式算法，兼顧了全局搜索和局部開發(fā)，具有收斂速度快和求解精度高的特點(diǎn)。為了進(jìn)一步提升 DBO 算法的性能并探究其在 TSP 問(wèn)題上的表現(xiàn)，對(duì)蜣螂算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了混合策略引導(dǎo)的改進(jìn)蜣螂算法（Levy-Improved Sine Algorithm Dung Beetle Optimizer， L-MSADBO）。該算法在原始蜣螂算法的基礎(chǔ)上，增加了混沌映射策略用于初始化種群，采用正弦算法引導(dǎo)滾球蜣螂的位置更新，并使用 Levy 飛行策略引導(dǎo)偷竊蜣螂的位置更新。此后，對(duì)更新完成的最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行高斯-柯西變異擾動(dòng)，并采用貪婪原則對(duì)擾動(dòng)前后的值進(jìn)行擇優(yōu)選擇。使用改進(jìn)的 DBO 算法解決 TSP 問(wèn)題，并將其與原始 DBO 及其他廣泛研究的智能算法，如 MSADBO（Improved Sine Dung Beetle Optimizer）、GWO（Grey Wolf Optimizer）、PSO（Particle Swarm Optimization）和 Tabu（Tabu Search），進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的 DBO 在 TSP 問(wèn)題的求解效果上優(yōu)于其他算法。

關(guān)鍵詞：旅行商問(wèn)題；混沌映射；Levy飛行策略

中圖分類號(hào)：TP399 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2024）24-0019-06

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）

0 引言

TSP 問(wèn)題（旅行商問(wèn)題）是一種具有廣泛應(yīng)用背景和重要理論意義的組合優(yōu)化問(wèn)題[1]。傳統(tǒng)的算法在解決 TSP 問(wèn)題時(shí)通常通過(guò)直接處理問(wèn)題約束條件或使用暴力枚舉的方法。雖然這種傳統(tǒng)方式能夠獲得 TSP 相關(guān)問(wèn)題的精確解，但隨著問(wèn)題規(guī)模的增大（組合爆炸），計(jì)算量也顯著增加，導(dǎo)致這些方法失效。智能算法雖然不能提供精確解，但能夠?qū)⒄`差控制在很小范圍內(nèi)，并且快速給出求解結(jié)果。因此，大量智能算法被應(yīng)用于解決 TSP 問(wèn)題。

高珊等[2]提出了一種貪婪隨機(jī)自適應(yīng)灰狼優(yōu)化算法，該算法利用貪婪隨機(jī)自適應(yīng)算法生成初始解，并在局部搜索階段使用灰狼算法優(yōu)化結(jié)果。與其他算法相比，該算法在求解 TSP 問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出較高的效率和穩(wěn)定性。申曉寧等[3]在粒子群算法中引入了啟發(fā)信息，并將其應(yīng)用于低碳 TSP 模型，與 Tabu 算法等代表性算法相比，其所提出的算法具有更高的求解精度。除此之外，一些新提出的算法也用于解決 TSP 問(wèn)題。孟范立等[4]提出了增加消除機(jī)制的烏鴉優(yōu)化算法，并在 TSPLIB 數(shù)據(jù)集上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示該方法相比其他算法具有更好的優(yōu)化精度和穩(wěn)定性。王芬等[5]將獵人獵物優(yōu)化算法應(yīng)用于 TSP 問(wèn)題，結(jié)果表明該算法具有收斂速度快、尋優(yōu)能力強(qiáng)的特點(diǎn)，在解決旅行商問(wèn)題時(shí)能夠得到較好的優(yōu)化結(jié)果。

考慮到目前尚未有關(guān)于蜣螂及其改進(jìn)算法在 TSP 問(wèn)題上的研究，本文提出了用于解決 TSP 問(wèn)題的混合策略引導(dǎo)的改進(jìn)蜣螂算法，并將其求解的最短距離與 DBO、MSADBO、GWO、PSO 及 Tabu 算法進(jìn)行對(duì)比，以研究其在 TSP 問(wèn)題上的表現(xiàn)。

1 TSP 問(wèn)題概述

旅行商問(wèn)題可以描述為：一位商人需要從若干個(gè)城市集合中的某一個(gè)城市出發(fā)，經(jīng)過(guò)所有城市且每個(gè)城市只能經(jīng)過(guò)一次，最后返回到出發(fā)城市。目標(biāo)是制定一條最優(yōu)路線使總路程最短。其數(shù)學(xué)模型如下：

[mininjndijxij] （1）

[j=1nxij=1 i=1，???，n，] （2）

[i=1nxij=1 j=1，???，n，] （3）

[i，j∈Sxij≤S-1] （4）

[xij∈0，1 i，j=1，???，n.] （5）

其中：式（1）為目標(biāo)函數(shù)，[dij]表示城市[i]，[j]之間的距離；式（2）和式（3）表示旅行商經(jīng)過(guò)每個(gè)城市有且只有一次；式（4）即旅行商不能重復(fù)經(jīng)過(guò)任何一個(gè)城市；式（5）為決策變量約束，表示已經(jīng)過(guò)的城市，0表示未經(jīng)過(guò)的城市。

2 蜣螂算法

蜣螂算法是 Xue 等人[6]在 2022 年提出的一種新興算法，其靈感來(lái)源于蜣螂的滾球、跳舞、覓食、繁殖和偷竊行為。與其他算法不同的是，蜣螂算法會(huì)根據(jù)蜣螂的種類進(jìn)行生存。在蜣螂優(yōu)化算法中，每個(gè)蜣螂種群由4個(gè)不同的代表組成，即滾球蜣螂個(gè)體、孵卵蜣螂個(gè)體、小蜣螂個(gè)體和小偷蜣螂個(gè)體。

2.1 滾球蜣螂

滾球蜣螂需要在整個(gè)搜索空間中通過(guò)獲取自然界的信息（主要受光照強(qiáng)度影響）并沿著給定的方向移動(dòng)。在滾動(dòng)過(guò)程中，滾球蜣螂的位置迭代公式可以用 （6）、（7） 表示：

[xit+1=xit+α×k×xit-1+b×]

[Δx，k∈0，0.2，b∈（0，1）] （6）

[Δx=xit-XW] （7）

式中：[t]為當(dāng)前迭代次數(shù)；[xit]為第[i]只蜣螂在第[t]次迭代時(shí)的位置信息；[α]為一個(gè)取值為1或-1的變量，[Δx]用于模擬光強(qiáng)的變化；[XW]為全局最差位置。遇到障礙物時(shí)，蜣螂會(huì)爬到球的上方進(jìn)行“跳舞”，以獲取信息并找到新的移動(dòng)方向。蜣螂的跳舞行為可以通過(guò)公式（8）表示：

[xit+1=xit+tanθ][xit-xit-1，θ∈0，π] （8）

式中：[θ]是一個(gè)介于0到[π]的值，一旦蜣螂成功確定了一個(gè)新的方向，它將繼續(xù)向后滾動(dòng)。值得注意的是，當(dāng)[θ]等于0、[π2]或[π]時(shí)，蜣螂的位置將不會(huì)更新。

2.2 繁殖蜣螂

在自然界中，蜣螂會(huì)將球滾到安全的區(qū)域進(jìn)行隱藏，以為后代提供安全的環(huán)境。因此，選擇合適的產(chǎn)卵地點(diǎn)對(duì)蜣螂而言至關(guān)重要。受此啟發(fā)，使用邊界策略來(lái)模擬產(chǎn)卵區(qū)域，邊界的定義由公式 （9）、（10） 來(lái)表示：

[Lb?=maxX?×1-R，Lb] （9）

[Ub?=minX?×1+R，Ub] （10）

式中：[X*]表示當(dāng)前局部最優(yōu)位置；[Lb*]和[Ub*]分別表示產(chǎn)卵區(qū)域的下界和上界；[Lb]和[Ub]分別表示優(yōu)化問(wèn)題的下界和上界；[R=1-t/Tmax]，[Tmax]為最大迭代次數(shù)。產(chǎn)卵區(qū)的邊界范圍隨著[R]的變化而變化，因此孵化球的位置在迭代過(guò)程中也是動(dòng)態(tài)變化的，由公式（11）定義：

[Bit+1=X?+b1×Bit-Lb?+][b2×Bit-Ub?] （11）

式中：[Bit]為第[i]個(gè)育雛球在第[n]次迭代時(shí)的位置；[b1]和[b2]表示大小為[1×D]的兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)向量，[D]表示優(yōu)化問(wèn)題的維數(shù)。

2.3幼小蜣螂

一些已經(jīng)出生的蜣螂會(huì)從地下鉆出尋找食物，成為覓食蜣螂。為了模擬這一行為，我們需要建立覓食區(qū)域，覓食區(qū)域的定義由公式（12）、（13）表示：

[Lbb=maxXb×1-R，Lb] （12）

[Ubb=minXb×1+R，Ub] （13）

式中：[Xb]為全局最佳位置，[Lbb]和[Ubb]分別是覓食區(qū)域的下界和上界。因此，幼小蜣螂在覓食過(guò)程中的位置更新公式如（14）所示：

[xit+1=xit+C1×xit-Lbb+C2×xit-Ubb] （14）

式中：[C1]表示服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)；[C2]表示取值在 0到1的隨機(jī)向量。

2.4偷竊蜣螂

在眾多蜣螂中，有些蜣螂會(huì)偷走其他蜣螂的球，這在自然界中是一種常見現(xiàn)象。由公式 （12）、（13） 可知，[Xb]為最優(yōu)食物源，因此我們可以假設(shè)其周圍的[Xb]表示爭(zhēng)奪食物的最佳地點(diǎn)。在迭代過(guò)程中，小偷蜣螂的位置更新可描述為 （15）：

[xit+1=Xb+S1×g×xit-X?+xit-Xb] （15）

式中：[g]為一個(gè)大小為[1×D]的隨機(jī)向量，并服從正態(tài)分布，[S1]表示一個(gè)常數(shù)。

3 改進(jìn)蜣螂算法求解 TSP 問(wèn)題

3.1 Bernoulli 混沌映射策略

原蜣螂算法通過(guò)隨機(jī)生成位置的方式來(lái)初始化種群的位置。這種方式可能導(dǎo)致初始種群的多樣性相對(duì)較低，不能充分遍歷所有可能位置。為了增強(qiáng)種群的多樣性，本文采用 Bernoulli 映射來(lái)初始化種群。Bernoulli 映射在 0 到1的分布更加均勻，同時(shí)其周期性也更加穩(wěn)定[7]。Bernoulli 映射如公式 （16） 所示：

[Zk+1=Zk1-λ， 0≤Zk≤1-λZk-1-λλ， 1-λ≤Zk≤1 ] （16）

式中：[z=（x1，x2，x3…，xd）]表示生成的混沌序列，[d]表示維度。

3.2 改進(jìn)正弦算法引導(dǎo)和Levy飛行策略

改進(jìn)正弦算法（Improved Sine Algorithm， MSA）[8] 策略受到與正余弦算法（Sine Cosine Algorithm， SCA）相關(guān)的多種算法[9-11] 的啟發(fā)。該算法利用數(shù)學(xué)中的正弦函數(shù)進(jìn)行迭代優(yōu)化，具有較強(qiáng)的全局探索能力。在本文中，引入改進(jìn)正弦算法的同時(shí)，在位置更新過(guò)程中加入自適應(yīng)的可變慣性權(quán)重系數(shù)，使算法能夠?qū)植繀^(qū)域進(jìn)行充分搜索。這不僅彌補(bǔ)了原始 DBO 算法全局搜索能力較弱的缺點(diǎn)，還解決了全局與局部搜索不平衡的問(wèn)題。改進(jìn)正余弦算法的位置更新公式如下所示：

[xit+1=ωtxit+r1×sinr2×r3pit-xit]（17）

式中：[t]為當(dāng)前迭代次數(shù)；[ωt]為慣性權(quán)重參數(shù)，其定義如公式（18）所示；[pit]為第[t]次迭代中最佳個(gè)體位置變量的第[i]個(gè)分量，[r1]為一個(gè)非線性遞減函數(shù)，其定義如公式（19）所示，[r2]是區(qū)間[0，2π]上的隨機(jī)數(shù)，[r3]是區(qū)間[-2，2]上的隨機(jī)數(shù)。

[ωt=ωmax-ωmax-ωmin×tTmax] （18）

其中，[ωmax]和[ωmin]分別表示[ωt]的最大值和最小值；[t]表示當(dāng)前迭代次數(shù)；[Tmax]表示最大迭代次數(shù)。

[r1=ωmax-ωmin2cosπtTmax+ωmax+ωmin2] （19）

更新后的滾球蜣螂公式如下：

[xit+1=xit+α×k×xit-1+b×Δx， δ<STωtxit+r1×sinr2×r3pit-xit， δ≥ST ] （20）

式中：[δ=rand（1）]，表示0到1的隨機(jī)數(shù)，[ST∈0.5，1]。當(dāng)[δ<ST]時(shí)，表示蜣螂進(jìn)行有目標(biāo)的滾動(dòng)；[δ≥ST]時(shí)，通過(guò)正弦函數(shù)進(jìn)行引導(dǎo)。這種機(jī)制不僅改善了DBO算法在位置更新策略上過(guò)于隨機(jī)的缺陷，還通過(guò)[pit]的存在增加了種群之間的信息交流，彌補(bǔ)了原算法中個(gè)體之間缺乏交流的短板。由[r1]的公式可以看出，它控制了蜣螂方向和移動(dòng)距離。由公式（19）可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，慣性權(quán)值在不斷減小，這使得算法在前期具備較強(qiáng)的全局搜索能力，而在后期提高局部開發(fā)能力。

Levy 飛行是一種交替進(jìn)行高頻短距離探索和低頻長(zhǎng)距離探索的策略，它在大范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解的同時(shí)，可以避免陷入局部最優(yōu)解[12-13]。本文在偷竊蜣螂的位置更新公式中引入了 Levy 飛行策略，以使這部分個(gè)體探索更廣闊的搜索空間。Levy 是一種特殊的隨機(jī)游走策略，其步長(zhǎng)分布服從重尾特征[14]概率分布。Levy 飛行策略主要由公式 （21）、（22）、（23） 構(gòu)成：

[Levyβ=μv-β] （21）

其中，[Levyβ]是服從參數(shù)為[β]的Levy分布的隨機(jī)變量，[0<β<2]；[μ]服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布[N（0，σ2）]；[ν]服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布[N0，1]，[σ]可以由公式（22）計(jì)算得到：

[σ=Γ1+βsinπβ2βΓ1+β22β-12] （22）

式中，[Γ]表示Gamma分布函數(shù)。

原偷竊蜣螂的位置更新在迭代初期逼近全局最優(yōu)解時(shí)，可能導(dǎo)致搜索范圍不足，從而陷入局部最優(yōu)。為了克服這一弊端，在改進(jìn)后的更新公式中加入了動(dòng)態(tài)權(quán)重系數(shù)[w]，其公式如 （23） 所示。由 Levy 飛行策略引導(dǎo)的偷竊蜣螂位置更新公式如 （24） 所示：

[w=exp2×1-tTmax-exp-2×1-tTmaxexp2×1-tTmax+exp-2×1-tTmax] （23）

[xit+1=Levy×Xb+S1×g×xit-X?+xit-w×Xb] （24）

式中，在迭代初期，具有較大值，有助于全局搜索；而在迭代后期，它逐漸變小，以促進(jìn)局部搜索并加快收斂速度。

3.3 自適應(yīng)高斯-柯西混合變異擾動(dòng)與貪婪原則

在蜣螂算法的迭代后期，由于蜣螂個(gè)體的快速同化，種群會(huì)迅速聚集到當(dāng)前的最優(yōu)位置。然而，當(dāng)前位置并非真正的最優(yōu)位置時(shí)，種群容易集中在當(dāng)前最優(yōu)位置附近進(jìn)行搜索，導(dǎo)致無(wú)法找到真正最優(yōu)位置的問(wèn)題。為了解決這種情況，使用自適應(yīng)的高斯-柯西變異擾動(dòng)對(duì)最優(yōu)的蜣螂進(jìn)行擾動(dòng)，以提高蜣螂種群的多樣性，幫助其跳出局部最優(yōu)。

由于柯西變異的搜索范圍比高斯變異更大，但更容易跳過(guò)最優(yōu)值[15]，而高斯變異在較小的搜索范圍內(nèi)表現(xiàn)出良好的搜索能力[16]，因此定義高斯-柯西混合擾動(dòng)后的位置如下：

[Hbt=Xbt1+μ1×Gaussσ+μ2×cauchyσ] （25）

其中，[Xbt]為個(gè)體[X]在第[t]次迭代的最優(yōu)位置，[Hbt]為高斯-柯西混合擾動(dòng)后的位置， [Gaussσ]為高斯變異算子，[cauchyσ]為柯西變異算子，[μ1=t/Tmax]，[μ2=1-t/Tmax]，變異算子的權(quán)重系數(shù)[μ1]，[μ2]以一種一維線性的方式逐步變化。

從公式 （25） 可以看出，算法在迭代初期，主要通過(guò)柯西分布函數(shù)對(duì)個(gè)體進(jìn)行較大幅度的變異擾動(dòng)，使算法能夠進(jìn)行全局探索并快速收斂；隨著算法迭代的進(jìn)行，大多數(shù)蜣螂個(gè)體的位置變化不大，此時(shí)算法主要通過(guò)高斯分布函數(shù)對(duì)種群進(jìn)行擾動(dòng)，以幫助算法跳出局部最優(yōu)解。

由于無(wú)法確定變異擾動(dòng)之后得到的新位置的適應(yīng)度值一定優(yōu)于原位置，因此加入了貪婪原則。通過(guò)比較擾動(dòng)前后兩個(gè)位置的適應(yīng)度值，決定是否進(jìn)行位置更新。貪婪原則公式如式 （26） 所示。

[Xb=Hbt，fHbt<fXbtXbt，fHbt≥fXbt] （26）

其中，[fx]表示[x]位置的適應(yīng)度值。若[fHbt<fXbt]，則選取[Hbt]；反之，則保留之前的位置信息[Xbt]。

3.4 L-MSADBO算法

本文對(duì)蜣螂算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了混合策略引導(dǎo)的改進(jìn)蜣螂算法L-MSADBO。在原始蜣螂算法的基礎(chǔ)上，該算法在種群初始化時(shí)增加了混沌映射的策略，采用正弦算法引導(dǎo)滾球蜣螂的位置更新公式，以及Levy飛行策略引導(dǎo)偷竊蜣螂的位置更新公式。對(duì)更新完后的最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行高斯-柯西變異擾動(dòng)，并采用貪婪原則來(lái)?yè)駜?yōu)選取擾動(dòng)前后的值。其主要步驟如下：

a）輸入相關(guān)參數(shù)，根據(jù)公式（16）對(duì)蜣螂種群進(jìn)行初始化。

b）根據(jù)公式（1）計(jì)算各個(gè)蜣螂的適應(yīng)度值。

c）判斷[δ]和[ST]，若[δ<ST]，則按照公式（6）更新滾球蜣螂；反之，則按公式（17）進(jìn)行更新。

d）根據(jù)公式（11）和（14）更新繁殖蜣螂和幼小蜣螂的位置，偷竊蜣螂則依據(jù)公式（24）進(jìn)行更新。

e）對(duì)各個(gè)蜣螂進(jìn)行邊界判定，并根據(jù)公式（1）計(jì)算其適應(yīng)度值。

f）使用公式（25）對(duì)當(dāng)前最優(yōu)解進(jìn)行高斯-柯西變異擾動(dòng)，并依據(jù)公式（1）計(jì)算擾動(dòng)后的適應(yīng)度值。

g）通過(guò)公式（26）的貪婪原則選取最優(yōu)解。

h）判斷迭代次數(shù)[t]，或[t<Tmax]，則[t=t+1]，并返回步驟c）繼續(xù)更新；否則，輸出最優(yōu)蜣螂的適應(yīng)度值。

L-MSADBO算法的流程圖如圖1所示：

圖1 L-MSADBO算法流程圖

4 L-MSADBO求解TSP問(wèn)題仿真分析

為了探究 L-MSADBO 的有效性及其在 TSP 問(wèn)題中的應(yīng)用效果，以 Oliver30 數(shù)據(jù)集為例。我們分別使用 MSADBO、DBO、PSO、GWO 和 Tabu 方法對(duì)該 TSP 問(wèn)題進(jìn)行了求解，并將所得結(jié)果與 L-MSADBO 進(jìn)行了對(duì)比分析。其中，30 個(gè)位置的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如表 1 所示：

各個(gè)算法的迭代對(duì)比圖如圖 3 所示。圖 4 到圖 10 分別為各個(gè)算法的最優(yōu)路線圖。表 2 和表 3 分別為各個(gè)算法的最優(yōu)結(jié)果對(duì)比表和最優(yōu)路線表。

由圖 3 可以看出，在迭代初期，L-MSADBO 對(duì)于 TSP 問(wèn)題的解已經(jīng)優(yōu)于其他算法。經(jīng)過(guò) 60 次迭代后，L-MSADBO 的解開始趨于穩(wěn)定，并在 80 多次迭代后完成收斂，得到的最優(yōu)值為 424.9618，優(yōu)于其他算法，且與 Oliver 數(shù)據(jù)集的最優(yōu)值 423.7 最為接近。不難看出，通過(guò)對(duì) DBO 算法的改進(jìn)，混沌映射使得原本過(guò)于隨機(jī)的 DBO 初始種群多樣性得以提高，從而使在迭代初期 L-MSADBO 的解優(yōu)于原始 DBO 算法。通過(guò)正弦算法和 Levy 飛行策略對(duì)種群更新進(jìn)行優(yōu)化，增強(qiáng)了算法的搜索能力和平衡性，使得可以找到優(yōu)于 MSADBO 的解。最后，通過(guò)高斯-柯西變異以及貪婪原則對(duì)迭代后期的最優(yōu)解進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)一步提升了該算法求得最優(yōu)解的能力。

5 結(jié)束語(yǔ)

本研究提出了一種混合策略引導(dǎo)的改進(jìn)蜣螂算法，并將其應(yīng)用于 TSP 問(wèn)題，對(duì) Oliver 數(shù)據(jù)集進(jìn)行求解，并與 MSADBO、DBO、GWO、PSO、Tabu 的求解效果進(jìn)行了對(duì)比。實(shí)驗(yàn)表明，L-MSADBO 算法在解決 TSP 問(wèn)題時(shí)獲得的路線距離最短，并且趨近于最優(yōu)值。后續(xù)的工作將致力于將 L-MSADBO 算法應(yīng)用在更多的 TSP 數(shù)據(jù)集和其他問(wèn)題上，以更深入和廣泛地探究其解決問(wèn)題的效果。

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【通聯(lián)編輯：唐一東】