小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生模型意識的策略研究

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》提出，要讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，而模型意識是其中一項重要能力，因此，在平時的教學(xué)中滲透模型意識至關(guān)重要。文章從選擇教學(xué)素材到讓學(xué)生完整經(jīng)歷建模過程再到應(yīng)用模型，對模型意識培養(yǎng)作策略研究，并提供了一種有效的途徑。

【關(guān)鍵詞】模型意識 素材選擇 建模過程 應(yīng)用模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出：“模型意識主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；能夠認識到現(xiàn)實生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋?！毕胍寣W(xué)生真正培養(yǎng)模型意識，需要經(jīng)歷一個長期的過程。教師要從生活中常見的問題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境；學(xué)生主動地探索情境，觀察、分析后用數(shù)學(xué)語言表達相對應(yīng)的模型，從而解決問題。教師要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷建模的全過程，幫助學(xué)生在小學(xué)階段形成一定的模型意識，逐步體會數(shù)學(xué)建模過程，從而主動運用情境解決相關(guān)的實際問題。

一、培養(yǎng)模型意識需要精心選擇素材

好的素材是學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)。熟悉的、典型的素材有助于學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模全過程，從而形成一般的模式表達。

（一）典型的素材有助于建模

建立模型思想的本質(zhì)就是對某個實際問題或者客觀事物、規(guī)律進行抽象后，得到一種形式化的表達方式，對小學(xué)生來說，就是讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系。為學(xué)生提供典型的素材有利于實現(xiàn)這一目的。

例如，用彩旗的素材講間隔計數(shù)問題就非常適合，因為彩旗的素材可以把點和段明顯地提供給學(xué)生，學(xué)生可以很好地理解點和段之間的關(guān)系。平時的教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生在紙上把插彩旗的情境表示出來，在操作的過程中，他們慢慢就會發(fā)現(xiàn)不同情況下彩旗數(shù)與段數(shù)之間的關(guān)系。這樣，舍去彩旗問題的一些非數(shù)學(xué)屬性的元素，就形成了純數(shù)學(xué)的間隔計數(shù)問題，再以數(shù)學(xué)符號表示這種規(guī)律，進而滲透模型思想。

又如“乘法分配律”的教學(xué)，可以結(jié)合學(xué)校一年一度的匯操比賽聘請教師和家長代表作為評委這一素材展開，如圖1。

教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)信息提出數(shù)學(xué)問題并對問題進行篩選，再聚焦到研究評委區(qū)的總面積是多少、一共有多少評委兩個問題上。學(xué)生在解決這兩個問題的過程中，用到了兩種方法引出相關(guān)的算式。一方面，學(xué)生及時提取了原有的學(xué)習經(jīng)驗，在解決實際問題的過程中初步感知了乘法分配律的存在；另一方面，學(xué)生在自主探究的過程中，體會到能用不一樣的方法解決問題。此情境結(jié)構(gòu)與乘法分配律的表達形式如出一轍，提供了直觀的材料，便于后期學(xué)生建構(gòu)模型，是學(xué)習此內(nèi)容的典型素材。

總之，在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式等都是數(shù)學(xué)模型。教師應(yīng)該努力尋找與數(shù)學(xué)模型契合的現(xiàn)實原型。這樣的現(xiàn)實原型有很多，因此要篩選出合適的、直觀的現(xiàn)實原型，即典型素材，這樣才有利于學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。

（二）熟悉的素材有助于建模

弗賴登塔爾認為，數(shù)學(xué)化的對象應(yīng)是學(xué)生熟悉的現(xiàn)實，而不是成人熟悉的現(xiàn)實。因此，在教學(xué)中教師要選用學(xué)生熟悉的素材，幫助學(xué)生順利地建立數(shù)學(xué)模型。

1.現(xiàn)實生活中學(xué)生經(jīng)歷過的真實事件

發(fā)生在校園生活、家庭生活、社會生活中的真實事件都是學(xué)生熟悉的素材。例如，把18塊糖平均分給3個小朋友，每個小朋友能分到幾塊？學(xué)生在解決日常生活中遇到的“分東西”問題時，通過操作活動，會探索出結(jié)果。用分配的方法是要在其中找到3個相等的部分，用比例的方法則是要解決“一次分走3塊糖，一共能分多少次”。這兩種方法是密切相關(guān)的：分配的方法是分成了3個相等的部分，比例的方法則是每分一次，糖的總數(shù)以3的倍數(shù)的形式減少。學(xué)生在解決“分”的問題時，往往喜歡多次做減法。但是原來的“分糖”問題已經(jīng)和學(xué)生熟悉的除法很接近了，雖然還需要一些調(diào)整與優(yōu)化，但核心思想與方法已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)了。教學(xué)中，教師可以尋找學(xué)生熟悉的真實素材，學(xué)生會更感興趣，這有利于他們基于經(jīng)驗與直觀感悟抽象出數(shù)學(xué)模型。

2.學(xué)生熟悉的故事

童話故事、寓言故事、神話故事等虛擬的故事也是學(xué)生熟悉的素材。例如，教學(xué)“商不變的性質(zhì)”時，教師常常用到“猴爸爸給小猴分桃子”的故事：6個桃子分給3只小猴，小猴不高興；60個桃子分給30只小猴，小猴高興地笑了。學(xué)生也笑了，但在笑過之后，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么大家都笑了？學(xué)生積極思考，主動觀察、分析、比較、抽象，最終概括出商不變的性質(zhì)。這個故事很有趣，本身又蘊含著總數(shù)、份數(shù)、每份數(shù)的關(guān)系，還蘊含著商不變的性質(zhì)這一數(shù)學(xué)模型。熟悉的故事素材，能促進學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)活動，從而逐步抽象出數(shù)學(xué)模型。

總之，學(xué)生熟悉的素材簡潔、易懂，容易使其產(chǎn)生親近感，便于激活其已有的經(jīng)驗，因此貼近學(xué)生生活的真實素材更具有現(xiàn)實意義。貼近學(xué)生生活的典型素材，能引發(fā)學(xué)生思考并提出問題，具有挑戰(zhàn)性和思維價值，能激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的渴求、探究客觀世界的欲望以及對數(shù)學(xué)發(fā)自內(nèi)心的熱愛。這些都是積極的情感體驗。需要明確的是，教師要從學(xué)生熟悉的素材中精心篩選具有直觀性的現(xiàn)實原型，這有利于學(xué)生主動建模。

二、培養(yǎng)模型意識要經(jīng)歷建模過程

（一）抓住建模起點，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題

數(shù)學(xué)建模就是通過建立模型的方法來解決問題的數(shù)學(xué)活動過程。這一過程可概括為問題情境、建立模型、求解驗證、應(yīng)用拓展四個環(huán)節(jié)。

2022年版課標指出，模型意識是屬于用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界的方式的一種。因此建模離不開生活情境，用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活情境并發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點。例如，前面的“乘法分配率”教學(xué)案例中，在學(xué)生學(xué)習乘法分配律時，結(jié)合熟悉的、典型的學(xué)習素材，教師鼓勵他們觀察情境圖，看看能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)信息，能提出什么數(shù)學(xué)問題。熟悉的生活情境容易喚醒學(xué)生的思維，同一個問題情境還有著不同的思考方向，這就是一個好情境。學(xué)生可能從人數(shù)出發(fā)提問，也可能從面積出發(fā)提問，可能提出以下問題：家長評委有多少？教師評委有多少？一共有多少評委？家長評委區(qū)的面積是多少？教師評委區(qū)的面積是多少？評委區(qū)的總面積是多少？

“一共有多少評委？”“評委區(qū)的總面積是多少？”兩個問題的提出水到渠成，是學(xué)生思維的自然流露，為之后的研究指明了方向，學(xué)生樂于接受。抓住建模起點，提出有價值的研究問題，能引導(dǎo)學(xué)生走上自主探究之路。

（二）關(guān)注建模抽象，鼓勵學(xué)生嘗試自主表達

學(xué)生提出了有價值的數(shù)學(xué)問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)，逐步抽象概括。例如，前面的案例中學(xué)生在學(xué)習乘法分配律時，提出了“一共有多少評委？”和“評委區(qū)的總面積是多少？”兩個問題。教師要鼓勵學(xué)生自主探究，經(jīng)歷建模的過程，可以按以下步驟進行：

（1）要解決這兩個問題，你怎么想的？把你的思考過程寫在學(xué)習單上。

A.一共有多少評委？

B.評委區(qū)的總面積是多少？

（2）觀察每個問題中的兩個算式，你有什么想法？

兩個算式解決的是同一個問題，思路不同，結(jié)果相同，可以用等號連接，就形成了一個等式。

（7+4）×3=7×3+4×3

（9+6）×5=9×5+6×5

（3）觀察等號左右兩邊，你有什么發(fā)現(xiàn)？有什么疑問？

等號兩邊都有加法和乘法，左邊是兩個數(shù)的和乘一個數(shù)，右邊是兩個加數(shù)分別與因數(shù)相乘，再相加。學(xué)生逐漸開始思考：這兩組等式有這些特征，是偶然現(xiàn)象，還是有一定規(guī)律呢？

（4）像這樣的等式是否都有這個規(guī)律？

舉例驗證?？梢酝ㄟ^計算左右兩邊的算式得出結(jié)果，也可以列舉生活中的事例來解釋，還可以用點子圖來說明。

（5）為什么會有這個規(guī)律？

揭示本質(zhì)。在舉例驗證的基礎(chǔ)上，學(xué)生思考為什么會有這個規(guī)律?？梢酝ㄟ^解讀運算意義來理解，從而揭示規(guī)律的本質(zhì)。

（9+6）×5=9×5＋6×5，左邊是15個5，右邊是9個5加6個5，也是15個5。

（6）你能想辦法把我們的發(fā)現(xiàn)表示出來嗎？

抽象出模型。面對現(xiàn)實情境中的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生的生活經(jīng)驗不同、思維水平不同，表達方式也不同。

情境表達：（上衣的價格+褲子的價格）×套數(shù)=上衣的價格×套數(shù)+褲子的價格×套數(shù)

活動表達：小括號像房子，括號里是主人，括號外是客人，客人和主人分別握手，應(yīng)該怎樣握？

符號表達：（□＋△）×○=□×○＋△×○

字母表達：（a＋b）c= ac+bc

文字表達：兩個數(shù)的和與第三個數(shù)相乘，等于這兩個數(shù)分別與第三個數(shù)相乘，再把所得的積相加。

不同的表達方式表示的是同一個意思，學(xué)生可在互相借鑒中尋找既簡潔又具有概括性的表達方式。在這樣的過程中，學(xué)生有自己的獨立思考，又有同學(xué)的資源共享，在觀察比較中抽象出字母表達式，凸顯了用字母表達的優(yōu)勢：簡潔清晰，有一般性。

（三）重視建模驗證，鼓勵學(xué)生呈現(xiàn)多種素材

有了數(shù)學(xué)模型，還要重視模型的驗證。教師可以呈現(xiàn)多種素材，把它放到更廣闊的空間里去實踐。例如，乘法分配律可以放到生活領(lǐng)域去檢驗：買衣服時會用到上衣、褲子和套數(shù)的關(guān)系；吃套餐時會用到主食、飲料和套數(shù)的關(guān)系；也可以放到計算領(lǐng)域去檢驗： 12×4可以看成（10+2）×4，12×14可以看成（10+2）×14。還可以放到幾何領(lǐng)域去檢驗：求①②兩部分合起來的大長方形的面積也可以說明乘法分配律的合理性。（見圖2）

通過多種素材驗證模型的合理性，突出了模型應(yīng)用的廣泛性，凸顯了模型可以解決一類實際問題的本質(zhì)屬性。

要使學(xué)生真正對模型思想有所感悟，需要經(jīng)歷一個長期的過程。在這一過程中，學(xué)生總是從相對簡單到相對復(fù)雜、從相對具體到相對抽象，逐步積累經(jīng)驗，掌握建模方法，逐步形成模型意識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

三、培養(yǎng)模型意識要重視模型應(yīng)用

在建模后，教師要讓學(xué)生運用模型解決問題，并讓他們運用模型去解釋實際問題，讓學(xué)生對模型理解更深，體會模型的價值意義。

教學(xué)中教師可以鼓勵學(xué)生在現(xiàn)實情境中解釋數(shù)學(xué)模型?！八俣取習r間=路程”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個基本模型，學(xué)生經(jīng)歷抽象、概括得到這一模型后，教師可以鼓勵學(xué)生應(yīng)用該模型解釋生活中的一些現(xiàn)象。例如，為什么我們總是先看到閃電，后聽到雷聲？學(xué)生通過交流討論，最終發(fā)現(xiàn)光的傳播速度比聲音快，就像賽跑一樣，同樣的路程，跑得快的先到終點，所以我們總是先看到閃電，后聽到雷聲。

總之，在建立模型之后，經(jīng)常讓學(xué)生利用模型解決問題，有助于學(xué)生對模型的建構(gòu)，能讓他們體會模型的價值；有助于學(xué)生對知識的建構(gòu)，能讓他們增強學(xué)習的信心與信念，提升創(chuàng)新能力。

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