基于直觀想象的深度解題探究

摘 要：文章通過對(duì)一道三棱錐的外接球問題進(jìn)行多維度、多角度探析，還原數(shù)學(xué)本質(zhì)，精選教學(xué)素材的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)一題多解到多題一解的能力轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)學(xué)生解題思維、提升直觀想象力。

關(guān)鍵詞：三棱錐的外接球；直觀想象；深度解題

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8918（2024）28-0073-04

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程，主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題直觀模型，探索解決問題的思路。在立體幾何的日常教學(xué)中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生多畫圖、多觀察幾類特殊幾何體的特征，讓學(xué)生研究幾何體的幾何特征并展開聯(lián)想，通過旋轉(zhuǎn)、補(bǔ)形等方式深度感悟，提升直觀想象力。

一、 試題呈現(xiàn)

在一次聯(lián)考中，有這樣一道試題：

在三棱錐A-BCD中，AB=CD=4，CA=BD=2，BC=23，二面角A-BC-D的平面角為60°，則它的外接球的表面積為 。

經(jīng)考后分析，此題得分率不高，究其原因是本題沒有給出圖形，學(xué)生自己畫出來的圖形不準(zhǔn)確，缺乏直觀想象，很難找出外接球的球心。

二、 解法探究

思路1：大多數(shù)學(xué)生選擇用建系的方法，通過設(shè)點(diǎn)的方式，把球心坐標(biāo)計(jì)算出來，但計(jì)算量很大、費(fèi)時(shí)費(fèi)力。

解法1：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C（23，0，0），D（0，2，0），設(shè)A為（a，b，c），

由題意知，AC⊥BC，BC⊥BD，

故CA與BD的夾角等于二面角A-BC-D的平面角，

則cos60°=CA·BD｜CA｜·｜BD｜，得12=2b2·2，

由｜BA｜2=a2+b2+c2=16｜CA｜2=（a-23）2+b2+c2=4，解得a=23，b=1，c=3，點(diǎn)A為（23，1，3），

設(shè)球心O為（x，y，z），則R2=｜OB｜2=｜OA｜2=｜OC｜2=｜OD｜2得，

R2=x2+y2+z2=（x-23）2+（y-1）2+（z-3）2=（x-23）2+y2+z2=x2+（y-2）2+z2

解得，x=3，y=1，c=33，則R2=｜OB｜2=133，故外接球表面積為4πR2=52π3。

思路2：從補(bǔ)形的角度觀察幾何體的特征。

可以看出上述解法計(jì)算量大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，教師從點(diǎn)A的坐標(biāo)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察點(diǎn)A在底面BCD的投影在過C點(diǎn)且平行于BD的直線上，因此可以將三棱錐補(bǔ)形為棱柱。

解法2：如圖2所示，觀察三棱柱ACE-BDF，由二面角A-BC-D的平面角為60°可知△ACE為等邊三角形，故三棱柱ACE-BDF為正三棱柱。

易知三棱錐的外接球就是三棱柱的外接球，如圖3所示，球心在O1O2的中點(diǎn)，半徑OA=AO22+O2O2=43+3=133，故外接球表面積為4πR2=52π3。

思路3：從翻折的角度觀察幾何體的特征。

從題意可知，本題的三棱錐A-BCD是由兩個(gè)Rt△ABC，Rt△BCD沿著BC邊翻折而成，如圖4所示。

解法3：本題是翻折成60°的二面角，從特殊位置出發(fā)，當(dāng)兩個(gè)面翻折成90°的直二面角時(shí)，如圖5所示，面ABC與面BCD形成了一個(gè)墻面模型。將三棱錐A-BCD放進(jìn)長方體中，如圖6所示，易知球心在體對(duì)角線AD的中點(diǎn)。

如圖7所示，取BC的中點(diǎn)M，連接MO1，MO2，易知MO1⊥BC，MO2⊥BC，即∠O1MO2為二面角A′-BC-D的平面角；而OO1，OO2分別可看作面BCD和面A′BC的法向量，則〈OO1，OO2〉=120°，那么M，O，O1，O2四點(diǎn)共面。

如圖8所示，在Rt△OMO1中，∠OMO1=30°，OO1=1，故OM=1cos∠OMO1=1cos30°=23。

在Rt△OMC中，MC=3，OM=23，則R2=OC2=MC2+OM2=133，

故外接球表面積為4πR2=52π3。

三、 解題反思

上述解法都需要將三棱錐放到正三棱柱和長方體模型中來解題的，對(duì)于不能放進(jìn)幾何模型的題型該如何解決呢？

下面探究解決這類問題的通法通解：

如圖9所示，在球O中任取兩個(gè)相交的截面圓，記兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，兩個(gè)截面圓的圓心分別為O1，O2，取AB的中點(diǎn)M，連接O1M和O2M。

由圓的垂徑定理知，O1M⊥AB，O2M⊥AB，

故∠O2MO1為兩個(gè)截面圓所成二面角的平面角，

易知OO1⊥圓面O1，OO2⊥圓面O2，∠O1OO2+∠O1MO2=π，故O，O1，O2，M四點(diǎn)共圓。

在四邊形OO1MO2中，∠OO1M=∠OO2M=π2，

即OM為O，O1，O2，M四點(diǎn)所在外接圓O3的直徑，記為2r，外接球的半徑為R，則R2=OA2=AB22+（2r）2。

即外接球球心由兩個(gè)截面圓過圓心的面的垂線的確定。

對(duì)本題而言，容易得到△ABC和△BCD為直角三角形，則這兩個(gè)三角形的外接圓的圓心均在斜邊的中點(diǎn)O2和O1，如圖10所示，

∵M(jìn)O2=12AB=1，MO1=12BD=1，∠O1MO2=60°，則O1O2=1，

在△O1O2M中，由正弦定理得，2r=O1O2sin60°=23，

∴R2=OC2=AB22+（2r）2=（3）2+232=133，

故外接球表面積為4πR2=52π3。

四、 變式拓展

變式1：在四面體S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，SB=6，則此四面體的外接球表面積為 。

由題意可知，△ABC為直角三角形，則其外接圓的圓心在AC的中點(diǎn)D，△SAC為等邊三角形，則其外接圓的圓心在中線SD的三等分點(diǎn)O1處。如圖11所示，過D，O1分別向各自所在的平面作垂線，則球心為交點(diǎn)O。易知SD=3，DB=1，O1D=33，因?yàn)镾B=6。在△SDB中，由余弦定理得，SB2=SD2+DB2-2DB·SD×cos∠SDB，解得cos∠SDB=-33。

因?yàn)閟in∠SDO=sin∠SDB-π2=-cos∠SDB=33，所以O(shè)O1=OD1×tan∠ODO1=33×22=66。

設(shè)外接球半徑為R，則R2=SO21+OO21=32，故外接球表面積為4πR2=6π。

變式2：在四面體S-ABC中，SA⊥面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則它的外接球的表面積為 。

解：易知SB和SC分別為Rt△ABS和Rt△ACS的斜邊，如圖12所示，分別取中點(diǎn)O2，O1，過O1，O2分別向各自所在的平面作垂線，則球心為交點(diǎn)O。如圖13所示，在四邊形OO1O2M中，∵M(jìn)O2=12AB=12，MO1=12AC=1，∠O1MO2=∠BAC=120°，由余弦定理得，O1O22=14+1-2×12×1cos120°=74，即O1O2=72。

在△O1O2M中，由正弦定理得，2r=O1O2sin120°=73，

∴R2=OC2=AS22+（2r）2=12+732=103，故外接球表面積為4πR2=40π3。

另解：如圖14所示，分別找△ABC和△SAC的外接圓的圓心O2，O1，分別取中點(diǎn)O2，O1，過O1，O2分別向各自所在的平面作垂線，則球心為交點(diǎn)O。

在△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，由余弦定理得，BC2=1+2-2×1×2cos120°=7，即BC=7。

設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，由正弦定理得，2r=BCsin120°=273，則r=AO2=73，而OO2=12SA=1，故R2=OA2=（OO2）2+（AO2）2=12+732=103，

故外接球表面積為4πR2=40π3。

從本題的兩種解法看出，不管找?guī)缀误w哪個(gè)面所在的截面圓，都可以很快找到外接球球心；然后通過解三角形相關(guān)知識(shí)，求出外接球的半徑。其計(jì)算難度比建系設(shè)點(diǎn)以及套用模型的方法難度小，做到了從一題多解到多題一解的思維轉(zhuǎn)變。

五、 結(jié)論

通過以上例子可以看出，立體幾何問題在求解的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地畫出幾何圖形，感受圖形的幾何特征，提高直觀想象核心素養(yǎng)和空間想象能力。在實(shí)際求解過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生可以將空間問題平面化，將三維空間問題轉(zhuǎn)化為二維平面問題來解決，實(shí)現(xiàn)降維的目的，降低思維難度。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版總社，2016.