關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是一種常見的數(shù)學(xué)思想方法，是指將數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系與幾何圖形相結(jié)合［1］，它在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛.本文結(jié)合實(shí)例探究數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)問題中的解題思路，與讀者交流探討.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；解題應(yīng)用

初中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維還不夠成熟，對(duì)抽象的數(shù)學(xué)問題理解起來較為困難.數(shù)字與圖形的結(jié)合可以幫助學(xué)生快速理解，得出答案［2］.因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成，在解題教學(xué)中潛移默化地向?qū)W生灌輸數(shù)形結(jié)合思想，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力和解題能力，為學(xué)生應(yīng)對(duì)中考提供有利的保障.

1 數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，4），過點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，連接OA.

（1）求△OAB的面積；

（2）若拋物線y=－x2－2x+c經(jīng)過點(diǎn)A.

①求c的值；

②將拋物線向下平移m個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在△OAB的內(nèi)部（不包括△OAB的邊界），求m的取值范圍.

圖2

思路分析 第一問，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)確定AB、OB的長(zhǎng)度，即可求出三角形的面積；第二問，第一小問，根據(jù)題意求出拋物線中的未知常數(shù)項(xiàng)c，第二小問，需先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后向下平移拋物線，確定需要求的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出m的取值范圍.

解析 （1）因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，4），

AB⊥y軸，

所以AB=2，OB=4，

所以S△OAB=12×AB×OB=12×2×4=4.

（2）①因?yàn)閽佄锞€y=－x2－2x+c經(jīng)過點(diǎn)A，

把點(diǎn)A代入y=－x2－2x+c中，

得4=－（－2）2－2×（－2）+c，

所以c=4.

②由①得出，y=－x2－2x+4.

因?yàn)閥=－x2－2x+4=－（x+1）2+5，所以拋物線y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，5）.

結(jié)合圖形，開始向下移動(dòng)拋物線，可以得出當(dāng)拋物線頂點(diǎn)位于AB的中點(diǎn)時(shí)，它在△OAB的邊界，繼續(xù)向下移動(dòng)拋物線，開始落在△OAB的內(nèi)部；當(dāng)移動(dòng)到OA的中點(diǎn)時(shí)，拋物線頂點(diǎn)位于△OAB的邊界，繼續(xù)向下移動(dòng)拋物線，不再滿足落在△OAB內(nèi)部的條件，如圖2.所以求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)、OA的中點(diǎn)坐標(biāo)即可求出m的取值范圍.

經(jīng)計(jì)算AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，4），OA的中點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，2），

所以m的取值范圍為1＜m＜3.

評(píng)析 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，是中考試題中一種?？嫉念}型，學(xué)生要重點(diǎn)掌握，注意細(xì)節(jié).

2 數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應(yīng)用

例2 如果x=1，y=2是關(guān)于x、y的方程（ax+by－12）2+ax－by+8=0的解，求不等式組x-a＞13x+14bax-3＜x+3的解集.

思路分析 解題時(shí)，應(yīng)先將方程的解代入方程，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出常數(shù)的值，最后代入不等式組求解集即可.

解析 因?yàn)閤=1，y=2是關(guān)于x、y的方程（ax+by－12）2+ax－by+8=0的解，

所以（a+2b－12）2+a－2b+8=0，

由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知，a+2b－12=0，

且a－2b+8=0，

聯(lián)立上式a+2b-12=0a-2b+8=0，

解得a=2b=5，

將a=2b=5代入不等式組得

x-2＞13x+1452x-3＜x+3

化簡(jiǎn)得8x＜－24x＜6，

解第一個(gè)不等式得x<－3，

解第二個(gè)不等式得x<6，畫出數(shù)軸（如圖3），

所以不等式的組得解集為x<－3.

評(píng)析 這道題考查了方程解的定義、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及不等式組的解法等知識(shí)點(diǎn)，難度中等，在中考中很常見，學(xué)生要掌握其解題方法和步驟，利用數(shù)形結(jié)合的思想，求解不等式或不等式組的解集.

圖4

3 數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用

例3 如圖4，在Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為35厘米，邊長(zhǎng)為12厘米的正方形CDEF內(nèi)接于△ABC，求△ABC的周長(zhǎng)為多少厘米？

思路分析 此題文字表述少，考查學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備情況.解此題的關(guān)鍵是利用相似三角形和勾股定理分別得到一個(gè)等式，組合得到一元二次方程組，最后，解一元二次方程組即可.

解析 設(shè)BC=a，AC=b，

在Rt△ABC中，AB=35cm，

根據(jù)勾股定理得出，a2+b2=352=1225 ①.

由題意知，正方形CDEF內(nèi)接于△ABC，

所以∠AFE=∠ACB，∠A=∠A，

所以Rt△AEF∽R(shí)t△ABC，

所以EFBC=AFAC，即12a=b－12b，

經(jīng)化簡(jiǎn)得到12b=a（b－12），

即12（a+b）=ab ②，

聯(lián)合①②，得出a2+b2=1225，12（a+b）=ab，，

結(jié)合計(jì)算可得到（a+b）2=1225+24（a+b），

將a+b看成一個(gè)整體，

利用十字相乘法解一元二次方程可得

［（a+b）－49］［（a+b）+25］=0，

解得a+b=49或a+b=－25（舍去），

所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+35=49+35=84（厘米）.

評(píng)析 這道題考查了相似三角形的判定、勾股定理以及解一元二次方程的方法等知識(shí)，是一道綜合性很強(qiáng)的題.解題時(shí)要注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，方便理解和整理思路.

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一，它是從數(shù)量和圖形兩個(gè)方面來解決數(shù)學(xué)問題.本文主要研究數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)、不等式以及幾何這些數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，實(shí)踐表明，在初中數(shù)學(xué)解題過程中，教師要重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，尤其是數(shù)形結(jié)合思想，它可以幫助學(xué)生快速且準(zhǔn)確的解決數(shù)學(xué)問題，提高解題效率，為學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣奠定基礎(chǔ)，為中考提供有利的保障［3］.

參考文獻(xiàn)：

［1］王麗娟.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的策略［J］.家長(zhǎng)，2023（26）：22-24.

［2］辛艷，高麗.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)形結(jié)合思想［J］.新智慧，2023（21）：80-82.

［3］劉媛.核心素養(yǎng)視域下初中數(shù)學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合思想的策略［J］.試題與研究，2023（21）：97-99.