輔助圓模型在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究

【摘要】輔助圓模型在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用是一個(gè)備受關(guān)注的研究領(lǐng)域.本文以對(duì)角互補(bǔ)、定弦定角、定點(diǎn)定長(zhǎng)三種構(gòu)造方式為切入點(diǎn)，通過三個(gè)例題探討了輔助圓模型在解決幾何問題中的作用和應(yīng)用，旨在推動(dòng)輔助圓模型在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】輔助圓模型;初中數(shù)學(xué);教學(xué)策略

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，輔助圓作為一種重要的解題工具，被廣泛應(yīng)用于各種幾何題型的解決過程中.輔助圓模型是指利用與給定圖形相關(guān)的圓來輔助解題的方法.經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐和研究，發(fā)現(xiàn)輔助圓模型對(duì)于提高學(xué)生的幾何問題解決能力和空間想象力具有顯著的促進(jìn)作用.

1 對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造輔助圓

對(duì)角互補(bǔ)方式是利用“若四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則四點(diǎn)在同一圓上”的性質(zhì)構(gòu)建輔助圓.通過連接對(duì)角的頂點(diǎn)，構(gòu)造出一個(gè)直徑，從而得到一個(gè)與原圖形相關(guān)的圓.

例1 如圖1，矩形ABCD的對(duì)角線相交于O，過點(diǎn)O作OE⊥BD，交AD點(diǎn)E，連接BE，若∠AABE=20°，則∠AOE的大小是（ ）.

（A）10° （B）15° （C）20° （D）30°

圖2

解 如圖2，取BE的中點(diǎn)K.連接AK、OK.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠BAE=90°，因?yàn)镋O⊥BD，所以∠BOE=90°，所以四邊形ABOE對(duì)角互補(bǔ)，所以A、B、O、E四點(diǎn)共圓，因?yàn)锽K=KE，所以KA=KB=KO=KE，所以∠ABE=∠AOE=20°.

本題構(gòu)造對(duì)角互補(bǔ)模型是解題的關(guān)鍵，主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，定邊對(duì)定角確定點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑.

2 定弦定角構(gòu)造輔助圓

固定的線段只要對(duì)應(yīng)固定的角度，那么這個(gè)角的頂點(diǎn)軌跡為圓的部分.據(jù)此性質(zhì)，可以唯一確定一個(gè)與原圖形相關(guān)的圓.

例2 如圖3，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為 .

圖4

分析 由∠AFC=90°，得點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，則點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為AG的長(zhǎng)，然后根據(jù)條件求出AG所在圓的半徑及其所對(duì)的圓心角，從而解決問題.

解 因?yàn)镃F⊥AE，所以∠AFC=90°，則點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)以AC為直徑畫半圓AC，連接OA，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，因此點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為AG的長(zhǎng).因?yàn)辄c(diǎn)G為OD的中點(diǎn)，所以O(shè)G=12OD=12OA=2，又因?yàn)镺G⊥AB，所以∠AOG=60°，AG=23，已知OA=OC=4，所以∠ACG=30°，AC=2AG=43，因此AG所在圓的半徑為23，圓心角為60°，此時(shí)AG的長(zhǎng)為60π×23180=23π3.

本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，定角對(duì)定弦，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵.

3 定點(diǎn)定長(zhǎng)構(gòu)造輔助圓

定點(diǎn)定長(zhǎng)方式是利用一個(gè)固定的點(diǎn)和與之連線長(zhǎng)度相等的線段來構(gòu)建輔助圓.通過選擇一個(gè)定點(diǎn)和指定長(zhǎng)度，我們可以畫出與原圖形相關(guān)的圓.

圖5

例3 已知四邊形ABCD，AB∥CD，且AB=AC=AD=a，BC=b，2a>b.求cos∠DBA的值.

分析 欲求∠DBA的余弦值，需將已知條件構(gòu)建到一個(gè)直角三角形中求解；已知四邊形ABCD中，AB=AC=AD；若以A為圓心，AB為半徑作圓，則此圓必過C、D；延長(zhǎng)BA交⊙A于E，則BE為⊙A的直徑，連接DE，在Rt△BDE中，已知BE=2a，需求出BD的長(zhǎng)；根據(jù)DC∥AB，易證得DE=BC=b，則根據(jù)勾股定理即可求得BD的長(zhǎng)，由此得解.

圖6

解 以A為圓心，以a為半徑作圓.如圖6所示.延長(zhǎng)BA交⊙A于E點(diǎn)，連接ED；因?yàn)锳B∥CD，

所以∠CAB=∠DCA，∠DAE=∠CDA；又因?yàn)锳C=AD，∠DCA=∠CDA，所以∠DAE=∠CAB；在△DAE和△CAB中，

AD=AC∠DAE=∠CAB；AE=AB

所以△DAE≌△CAB，

所以ED=BC=b.又因?yàn)锽E是直徑，所以∠EDB=90°，在Rt△EDB中，ED=b，BE=2a，由勾股定理得ED2+BD2=BE2，因此BD=BE2－ED2=（2a）2－b2=4a2－b2，則cos∠DBA=BDBE=4a2－b22a.

此題主要考查了圓周角定理、勾股定理以及全等三角形的判定；能夠通過輔助線構(gòu)建出⊙A是解答本題的關(guān)鍵.

4 結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，輔助圓模型作為重要的解題工具，為學(xué)生提供了一種更直觀、更靈活的解決幾何問題的方法.本文揭示了輔助圓模型在幾何解題中的重要作用.未來有待于進(jìn)一步的拓展和深化，完善其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用.

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