例析初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)勾股定理模型

【摘要】初中數(shù)學(xué)中勾股定理屬于重要且無(wú)可替代的內(nèi)容，與勾股定理相對(duì)應(yīng)的模型是解答這些問(wèn)題的主要思路，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)重視的部分內(nèi)容.常見(jiàn)的勾股定理模型有風(fēng)吹樹(shù)折模型、出水芙蓉模型、螞蟻爬行模型等.本文主要結(jié)合具體例題介紹三類(lèi)勾股定理模型，給出相關(guān)圖形特點(diǎn)和解題思路，幫助學(xué)生們更熟練地應(yīng)用勾股定理解題.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；勾股定理；模型分析

1 出水芙蓉模型

出水芙蓉模型具體是指固定線段長(zhǎng)度在垂直位置和傾斜位置上形成直角三角形模型，應(yīng)用勾股定理并運(yùn)算能夠得出相關(guān)線段長(zhǎng)度.這種模型在勾股定理中應(yīng)用的關(guān)鍵在于找出直角三角形圖形，代入具體值運(yùn)算求解，就能得到答案.

例1 如圖1，牛奶盒的長(zhǎng)、寬、高分別為4cm、3cm、12cm，現(xiàn)有一長(zhǎng)為16cm的吸管插入盒子底部，則吸管漏在盒外面的部分hcm的取值范圍為（ ）

圖1

（A）3＜h＜4 . （B）3≤h≤4 .

（C）2≤h≤4 . （D）h=4.

思考 該題屬于出水芙蓉模型勾股定理選擇題，即吸管豎直放置和傾斜放置能夠構(gòu)成直角三角形，此時(shí)用固定長(zhǎng)度減去構(gòu)成直角三角形的斜邊是問(wèn)題所求最小范圍，豎直情況對(duì)應(yīng)最大范圍，即可得知正確選項(xiàng).

解析 ①當(dāng)吸管放進(jìn)牛奶盒里垂直于底面時(shí)露在牛奶盒外的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，

最長(zhǎng)為16－12=4cm；

②露出部分最短時(shí)與底面對(duì)角線和高正好組成直角三角形，

底面對(duì)角線長(zhǎng)32+42=5cm，高為12cm，

由勾股定理可得：牛奶盒里面吸管長(zhǎng)52+122=13cm，

則露在牛奶盒外的長(zhǎng)度最短為16－13=3cm，

所以3≤h≤4，正確答案為選項(xiàng)（B）.

2 螞蟻爬行模型

螞蟻爬行模型具體是指在幾何體的頂點(diǎn)沿表面走直線后得到的最短或最長(zhǎng)線段距離，解答過(guò)程中通常需要展開(kāi)幾何體表面，使其平面化后應(yīng)用勾股定理求其長(zhǎng)度，綜合比較得到最合適的答案.

例2 如圖2，一只螞蟻在一個(gè)長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在長(zhǎng)方體的對(duì)角頂點(diǎn)G處，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，則最短的爬行距離是.

圖2

思考 不同頂點(diǎn)連線情況不同，展開(kāi)長(zhǎng)方體后可能會(huì)出現(xiàn)三種不同情況，分別得到具體直角三角形，代入具體值并運(yùn)算比較，即可得到最短的爬行距離.

解析 把長(zhǎng)方體展開(kāi)，有三種情況：

①當(dāng)螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過(guò)EF再到G時(shí)，如圖3所示：

圖5

因?yàn)锽C=5cm，

所以FG=BC=5cm，

即BG=5+6=11cm，

在Rt△ABG中，AG=32+112=130cm；

②當(dāng)螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過(guò)BF再到G時(shí)，如圖4所示，

因?yàn)锳B=3cm，BC=5cm，

所以AC=3+5=8cm，

因?yàn)锽F=6cm，

所以CG=BF=6cm，

在Rt△ACG中，AG=82+62=10cm；

③當(dāng)螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過(guò)EH再到G時(shí)，如圖5所示，

因?yàn)锳E=6cm，EF=3cm，F(xiàn)G=5cm，

所以AF=9cm，

在Rt△AFG中，AG=92+52=106cm；

因?yàn)?30＞106＞10，

所以最短距離為10cm.

3 垂美四邊形模型

當(dāng)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直時(shí)，該四邊形被稱(chēng)為垂美四邊形，在求解問(wèn)題的過(guò)程中可以構(gòu)造垂美四邊形或直接運(yùn)用該模型，代入勾股定理進(jìn)行運(yùn)算求解，即可得到問(wèn)題所求值.

例3 對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，現(xiàn)有如圖6所示的垂美四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，若AD=2，BC=4，AB2+CD2=.

圖6

思考 首先直接應(yīng)用垂美四邊形模型，找到其中包含的直角三角形并運(yùn)用勾股定理，代入具體值進(jìn)行求解，即可得到相關(guān)值.

解析 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是垂美四邊形，

所以AC⊥BD，

所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理可得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

所以AD2+BC2=AB2+CD2，

因?yàn)锳D=2，BC=4，

所以AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20.

4 結(jié)語(yǔ)

上述例題分別介紹了三種勾股定理相關(guān)的模型，出水芙蓉模型、螞蟻爬行模型和垂美四邊形模型具有各自不同的圖形特點(diǎn)，需要學(xué)生們熟悉和掌握并應(yīng)用在不同問(wèn)題中.

參考文獻(xiàn)：

［1］李軍.關(guān)注數(shù)學(xué)模型 扣住問(wèn)題本源——勾股定理“總統(tǒng)證法”模型題探析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（12）：78-81.

［2］張永奇.淺談勾股定理的常見(jiàn)題型［J］.新教育時(shí)代電子雜志（教師版），2016（18）：203+269.

［3］張寧.以勾股圖為模型的中考試題及其變式探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2013（011）：43-46.