借力數(shù)軸多視角探行程中相遇問題

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)題目的一種最基本的思想方法.近年來，將行程問題與數(shù)軸融合在一起的數(shù)形結(jié)合試題常常在中考題目中出現(xiàn)，在解題中運用數(shù)形結(jié)合思想可以拓展學(xué)生思維，簡化題目難度，提升學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；相遇問題

數(shù)形結(jié)合思想是貫穿初中數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，數(shù)形結(jié)合思想主要包括數(shù)和形兩個部分，它的精髓是以形助數(shù)，以數(shù)解形.而數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)形結(jié)合的第一個實例，是七年級數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時將行程問題融合到數(shù)軸中進(jìn)行考核是近些年來命題中常見的題型，這種題型以數(shù)軸上點的坐標(biāo)與行程問題組合的方式呈現(xiàn)，具有較強的靈活性，著重考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和創(chuàng)新意識，對學(xué)生的能力要求較高.本文借用數(shù)軸，具體談?wù)劧嘟嵌冉庑谐虇栴}中的相遇問題.

知識儲備

①數(shù)軸上兩點之間的距離.數(shù)軸上點A、B分別表示數(shù)a、b，則A、B兩點之間的距離為線段 AB 的長度，用兩點所表示的數(shù)差的絕對值來表示．如，數(shù)軸上A，B所表示的數(shù)是a，b，則AB=｜a-b|或AB=|b-a|

②數(shù)軸上的點運動一段距離后點的坐標(biāo).數(shù)軸上一個動點的最后位置由初始位置和運動方向共同決定，向右運動：運動后點的坐標(biāo)=起始坐標(biāo)+運動路程，向左運動：運動后點的坐標(biāo)=起始坐標(biāo)-運動路程.

我們規(guī)定數(shù)軸向右的方向為正方向，因此向右運動b個單位看作+b，而向左運動b個單位看作-b.如一個起始點的坐標(biāo)為a，向右運動b個單位后所表示的數(shù)為a+b；向左運動b個單位后表示的數(shù)為a-b.

1 從一道數(shù)軸上兩動點相遇問題多角度解析說起

例1 已知數(shù)軸上有A、B兩點，它們的坐標(biāo)分別為—24，10，A、B兩點同時相向而行，A每秒向右運動3個單位長度，B每秒向左運動2個單位長度，問多少秒后A與B相遇？相遇時點的坐標(biāo)是多少？

視角1 傳統(tǒng)行程中相遇問題（習(xí)慣解法）

對于七年級的學(xué)生來說，因為引入數(shù)軸，行程中相遇問題由傳統(tǒng)問題變成一個新問題，而本題的實質(zhì)還是行程中相向運動問題，核心圖形是數(shù)軸，我們可以把熟悉的行程中相遇問題基本關(guān)系式：路程＝速度和×?xí)r間融入數(shù)軸中，先求相遇時間，再借助數(shù)軸求相遇時的坐標(biāo)位置.

解 設(shè)x秒后A與B相遇，依題意可列方程得：

3x+2x=10-（-24），

解得：x=6.8.

A向右運動了6.8×3=20.4個單位，可推出A與B在相遇時點的坐標(biāo)為-24+20.4=-3.6，在原點的左側(cè)，點坐標(biāo)是-3.6.

視角2 思數(shù)軸上兩點距離公式與相遇問題結(jié)合點（新思路新解法）

遇到數(shù)軸上的行程相遇問題時，我們不能只局限于行程中相遇問題固有的關(guān)系式：路程=速度和×?xí)r間去考慮，可以借助數(shù)軸進(jìn)行思考，利用數(shù)軸上兩動點相遇這一特殊位置，兩點距離為0這一特點，用兩點坐標(biāo)距離公式來解決問題，嘗試從不同的角度思考數(shù)軸上點的行程問題.

解 設(shè)x秒后A與B相遇，相遇時A運動了3x個單位長度，可知A點到達(dá)點的坐標(biāo)是（-24+3x），相遇時B運動了2x個單位長度，可知B點到達(dá)點的坐標(biāo)是（10-2x），依題意可列方程得：

|10-2x -（-24+3x）| =0，

解得：x=6.8.

由A向右運動了6.8×3=20.4個單位，可推出A與B相遇點坐標(biāo)為-24+20.4=-3.6，在原點的左側(cè)，點坐標(biāo)是-3.6.

視角3 尋數(shù)軸上點的坐標(biāo)與相遇問題關(guān)聯(lián)點（新角度巧解法）

在解決數(shù)軸上的行程相遇這類新問題的過程中學(xué)生也會想到很多新方法，我們可以不斷調(diào)整，尋找更多好解法.如我們還可利用數(shù)軸上點的坐標(biāo)特點，兩個動點A與B在數(shù)軸上相向運動的過程中，若A與B相遇，兩點處在同一位置，點坐標(biāo)相同，那么A與B的坐標(biāo)就相同，抓住特殊時期、特殊節(jié)點之間的關(guān)鍵位置.可以依此列方程.

解 設(shè)x秒后A與B相遇，相遇時A運動了3x個單位長度，可知A點到達(dá)點的坐標(biāo)是（-24+3x）.相遇時B運動了2x個單位長度，可知B點到達(dá)點的坐標(biāo)是（10-2x）.依據(jù)A與B相遇時，坐標(biāo)相同的原理列方程如下；

-24+3x=10-2x，

解得x=6.8.

再把x=6.8代入方程的左邊或者右邊，都可以得出相遇時的坐標(biāo)位置，由A向右運動了6.8×3=20.4個單位，可推出A與B相遇點的坐標(biāo)為-24+20.4=-3.6，在原點的左側(cè)，點坐標(biāo)是-3.6.

我們在解決數(shù)軸上的行程相遇問題的過程中，借助數(shù)軸，將傳統(tǒng)的行程問題和數(shù)軸有機地結(jié)合，既體現(xiàn)了傳統(tǒng)行程問題的特點，又將數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上點的坐標(biāo)特點等知識有效的集合在解題中，賦予題目更多的方法靈性和想象空間.

2 圍繞新情境下數(shù)軸上兩動點相遇問題展開分析

為了更好地利用數(shù)軸解決實際生活問題，筆者在此題的基礎(chǔ)上選擇延伸了一道類似題目，供學(xué)生進(jìn)行分析.

例2 某公司派出甲車前往某地完成任務(wù)，此時，有一輛流動加油車與他同時出發(fā)，且在同一條公路上勻速行駛．為了確定甲車的位置，我們用OX表示這條公路，原點O為零千米路標(biāo)，并作如下約定：速度為正，表示甲車向數(shù)軸的正方向行駛；速度為負(fù)，表示甲車向數(shù)軸的負(fù)方向行駛；速度為零，表示甲車靜止．行程為正，表示甲車位于零千米的右側(cè)；行程為負(fù)，表示甲車位于零千米的左側(cè)；行程為零，表示甲車位于零千米處．兩車行程記錄如表：

時間（h）057x

甲車位置（km）190-10

流動加油車位置（km）170270

由上面表格中的數(shù)據(jù)，解決下列問題：

（1）甲車開出7小時時的位置為（ ）km，流動加油車出發(fā)位置為（ ）km；

（2）當(dāng)兩車同時開出x小時，甲車位置為（ ） km，流動加油車位置為（ ）km （用x的代數(shù)式表示）；

（3）甲車啟動后司機才發(fā)現(xiàn)油箱內(nèi)汽油僅夠行駛3小時，問：甲車連續(xù)行駛3小時后，能否立刻獲得流動加油車的幫助？請說明理由．

困惑 本題文字較多，問題有了生活背景，還引入了字母參數(shù)問題，一些理解能力稍弱的學(xué)生，讀不懂題意，迷糊了，無從下手，弄不明白題目要表達(dá)什么意思，也找不到文字、表格、數(shù)軸之間的聯(lián)系，更談不上從前面解決數(shù)軸上相遇問題找到的多種解法中獲得啟發(fā).

思考 甲車能否得到流動加油車的幫助，這是一個什么問題？我們把文字、表格、數(shù)軸結(jié)合在一起分析，思考一下，發(fā)現(xiàn)本題也是一個行程中的相遇問題，由若干個小問題凝練而成，結(jié)合問題，甲車啟動后，司機發(fā)現(xiàn)油箱內(nèi)汽油只夠行駛?cè)r，那么甲車能否在三小時立刻獲得加油車的幫助呢？甲車能否得到流動加油車的幫助，轉(zhuǎn)化成甲車、流動加油車能否在3小時相遇的問題.

分析 為了更好地解題，我們先設(shè)置幾個小的問題，問題1：甲車、流動加油車的運動方向？ 問題2：甲車、流動加油車的速度？問題3：甲車、流動加油車的初始位置？

問題1 我們先要判別兩車的運動方向.甲車由零小時到五小時，它是由距原點190千米的位置到距原點-10千米的位置，說明它的運動方向是沿著數(shù)軸從右向左.而流動加油車的位置是由5小時距原點170千米處到7小時距原點270千米處，那么它的運動方向是由左向右.

問題2 明確了甲車和流動加油車的運動方向，這時候我們還有一個未知的內(nèi)容，這兩輛汽車的速度是多少呢？又應(yīng)該怎么求呢？觀察表格中的數(shù)據(jù)，甲車5個小時所走路程是190-（-10）=200，那么我們可以求出甲車的速度是［190-（-10）］÷5=200÷5=40千米/小時，根據(jù)流動加油車出發(fā)5小時的位置是距原點170千米處和出發(fā)7小時的位置是距原點270千米處，得到流動加油車的速度是（270-170）÷2=50千米/小時.

問題3 我們可以把甲車和流動加油車看成數(shù)軸上的兩個點，固定到數(shù)軸上相應(yīng)的位置，由題目中表格文字條件找到零千米處為數(shù)軸原點.最初甲車在距零0千米路標(biāo)190千米處，判別甲車在原點的右側(cè)，題目中給出甲車的初始位置，可以求出甲車開出7小時后的位置.流動加油車由7小時到5小時位置由距零千米路標(biāo)270千米到距零千米路標(biāo)170千米處，由后向前推導(dǎo)出流動加油車的初始位置.

解 （1）根據(jù)題意得：

甲車開出7小時后的位置為：190-7×（200÷5）=-90（km），

流動加油車出發(fā)位置為：270-（270-170）÷2×7=-80（km）；

故答案為：-90，-80；

（2）根據(jù)題意得：

當(dāng)兩車同時開出x小時后，甲車位置為：190-40x，流動加油車位置為：-80+50x；

前面解決數(shù)軸上兩動點相遇問題時我們積累了一些解題方法，現(xiàn)在類比兩個問題，把前面解決數(shù)軸上相遇問題找到的多種解法應(yīng)用到本題中.

思路1 利用傳統(tǒng)行程中相遇問題的解法，甲車、流動加油車所走路程和＝速度和×?xí)r間.

（3）根據(jù)題意得：找甲車、流動加油車初始位置兩車相距190-（-80）＝270.

兩車最初相距270km，兩車3小時所走路程和（40+50）×3＝270，能加油，甲車連續(xù)行駛3小時后，能立刻獲得流動加油車的幫助.

思路2 利用數(shù)軸上兩動點相遇的時候，兩點距離為0這一特點.

設(shè)甲車、流動加油車x小時相遇.

|190-40x-（-80+50x）|=0，

解得x＝3.

190-40×3＝70.

能，在相遇處加油，位于零千米右側(cè)70千米處.

思路3 利用數(shù)軸上兩動點相遇兩點處在同一位置，點坐標(biāo)相同，可以依此列方程.

設(shè)甲車、流動加油車x小時相遇.

190-40x＝-80+50x，

解得x＝3，

190-40×3＝70.

能，在相遇處加油，位于零千米右側(cè)70千米處.

3 結(jié)語

上述題目起初是一個純數(shù)學(xué)問題，數(shù)軸上動點相遇問題，隨著問題的循序漸進(jìn)，賦予問題新的生活背景，我們借助數(shù)軸進(jìn)行延伸探究，啟發(fā)學(xué)生從不同的視角思考遞進(jìn)，通過探索和研究我們得出了數(shù)軸上行程問題的一些新的解法和思維方式，通過問題類比尋找解題的入手點，找到兩個問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，簡化題目難度的同時，也推動學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成解題后反思過程、思路、方法的好習(xí)慣.

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