數(shù)形結(jié)合：可視化演繹“數(shù)與運(yùn)算”的一致性

作者簡(jiǎn)介：?jiǎn)螐V紅，江蘇省淮安市浦東實(shí)驗(yàn)小學(xué)特級(jí)教師，正高級(jí)教師。

課題項(xiàng)目：本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“基于‘童化’視域的小學(xué)數(shù)學(xué)鑲嵌式學(xué)習(xí)研究”的階段性研究成果。課題編號(hào)：D/2021/02/324。

摘要：“數(shù)與運(yùn)算”的一致性主要包括數(shù)概念的一致性、運(yùn)算意義的一致性、算理算法的一致性。在課堂教學(xué)中落實(shí)“數(shù)與運(yùn)算”的一致性，需要教師在一定的學(xué)習(xí)時(shí)段靈活、統(tǒng)籌安排。在第二學(xué)段學(xué)習(xí)完整數(shù)除法單元內(nèi)容后，教師可以設(shè)計(jì)“整數(shù)四則運(yùn)算再認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生理解整數(shù)四則運(yùn)算在算理和算法上的一致性。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；數(shù)與運(yùn)算；一致性；算理；算法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）指出：“數(shù)的運(yùn)算教學(xué)應(yīng)注重對(duì)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的統(tǒng)籌，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟運(yùn)算的一致性。”“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域包括“數(shù)與運(yùn)算”和“數(shù)量關(guān)系”兩大學(xué)習(xí)主題?！皵?shù)與運(yùn)算”是一個(gè)較為龐大的話題體系，包括三個(gè)方面：數(shù)概念的一致性、運(yùn)算意義的一致性、算理算法的一致性。整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等數(shù)概念及其運(yùn)算學(xué)習(xí)內(nèi)容零散分布在各學(xué)段，跨度較大，需要教師靈活統(tǒng)整教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生打通“數(shù)概念”與“數(shù)運(yùn)算”內(nèi)部之間的“隔斷”，自主遷移經(jīng)驗(yàn)。在第二學(xué)段學(xué)習(xí)完整數(shù)除法單元后，教師可以設(shè)計(jì)“整數(shù)四則運(yùn)算zu4JickG1GQkUYjrLCevJ1T7dJ9ZaaxuT8q+AJixBJc=再認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生理解整數(shù)四則運(yùn)算在算理和算法上的一致性。

一、感受加減法相同計(jì)數(shù)單位的簡(jiǎn)單線性增減

加法是將不同兩部分或幾部分合并在一起的運(yùn)算。減法、乘法、除法都是由加法衍生而來的。整數(shù)加法是四則運(yùn)算的基礎(chǔ)，需要學(xué)生理解透徹其算理和算法，然后類比遷移到其他運(yùn)算中。

（一）整數(shù)計(jì)數(shù)：建構(gòu)計(jì)數(shù)直觀模型的十進(jìn)制原理

數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，認(rèn)數(shù)的目的是解決計(jì)算問題。計(jì)數(shù)本身就是加法運(yùn)算，如238是由2個(gè)百、3個(gè)十和8個(gè)一組成的，其實(shí)就是200 + 30 + 8 = 238，相鄰計(jì)數(shù)單位之間因存在“十進(jìn)制”的特殊關(guān)系而產(chǎn)生了特定的“位值”。

<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-1.psd>

計(jì)數(shù)：2個(gè)百、3個(gè)十和8個(gè)一合起來是238。

計(jì)算：200 + 30 + 8 = 238。

為了數(shù)數(shù)方便，由“一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)”到“一群一群地?cái)?shù)”，整數(shù)計(jì)數(shù)便成為關(guān)于計(jì)數(shù)單位的加法運(yùn)算。因此，對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)直接影響到數(shù)運(yùn)算的算法算理理解。整數(shù)的計(jì)數(shù)單位有個(gè)、十、百、千、萬等，每個(gè)計(jì)數(shù)單位都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)學(xué)模型。常用的數(shù)學(xué)模型有小棒、小正方體、小方塊、計(jì)數(shù)器等，在小學(xué)階段呈現(xiàn)的最大的可視化計(jì)數(shù)單位數(shù)學(xué)模型是由小正方體拼成的“萬”，更大的單位則需要依據(jù)基本的計(jì)數(shù)單位去抽象推理。為了方便溝通“數(shù)與運(yùn)算”的一致性，本文均選用平面方塊圖作為圖例。

（二）整數(shù)加法：掌握啟蒙計(jì)算圖式的可視化表達(dá)

小學(xué)階段的學(xué)生對(duì)算理理解的表象水平一般用三種圖式表示：實(shí)物圖式、半抽象圖式和符號(hào)圖式。在教學(xué)中，教師要給足時(shí)間讓學(xué)生對(duì)算理進(jìn)行可視化表達(dá)，使其能準(zhǔn)確進(jìn)行互譯解讀。例如，在“整數(shù)四則運(yùn)算再認(rèn)識(shí)”的課始，教師可以喚醒學(xué)生的加法算理。

師：請(qǐng)用你喜歡的方式表示“371 + 54”的計(jì)算過程。

生：我用估算，371 ≈ 380，54 ≈ 50，它們的和大約是四百。

生：我是用口算計(jì)算的，1 + 4 = 5，70 + 50 = 120，300 + 120 + 5 = （300 + 100） + 20 + 5 = 425。

生：我是通過貼方塊圖來計(jì)算的。

<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-12.psd>[4][2][5]

生：我畫了數(shù)位圖。

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生：我是用豎式計(jì)算的，[ 3 7 1+ 1 5 4 4 2 5]。

師：仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加。

生：哪一位滿“十”，就要向前一位進(jìn)“1”。

生：通過方塊圖和數(shù)位圖可以清楚地看出，十位滿十向百位進(jìn)“1”的過程。

師：整數(shù)加法是把相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加。這個(gè)過程可以寫成371 + 54 = 3（百） + 7（十） + 1（一） + 5（十） + 4（一） = 3（百） + （7 + 5）（十） + （1 + 4）（一） = 3（百） + 1（百） + 2（十） + 5（一） = 425。

加法算理是最基礎(chǔ)的算理，是四則運(yùn)算以及其他所有運(yùn)算的啟蒙，對(duì)加法算理的理解在學(xué)生的整個(gè)運(yùn)算中起著至關(guān)重要的作用。很多教師在教學(xué)中對(duì)計(jì)數(shù)比較重視，突出講解，但在計(jì)算中卻弱化了對(duì)計(jì)數(shù)單位的關(guān)注。在教學(xué)“數(shù)概念”與“數(shù)運(yùn)算”兩個(gè)內(nèi)容時(shí)，很多教師存在“脫節(jié)”現(xiàn)象，多數(shù)計(jì)算教學(xué)會(huì)停留在運(yùn)算技能上，采用豎式，按計(jì)算法則一位一位地相加，最后導(dǎo)致一部分學(xué)生只能快速計(jì)算出結(jié)果，卻不清楚算理。因此，在階段整理復(fù)習(xí)時(shí)，教師可以進(jìn)行梳理，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多位數(shù)加法和計(jì)數(shù)道理一樣，仍然先計(jì)算分別有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位，再通過“十進(jìn)制”的計(jì)數(shù)原理得出結(jié)果。這既是對(duì)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的激活，又是對(duì)前期存在的短板進(jìn)行彌補(bǔ)。

（三）整數(shù)減法：關(guān)注逆向思維邏輯的進(jìn)階式生長(zhǎng)

減法是加法的逆運(yùn)算，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把研究整數(shù)加法的方法結(jié)構(gòu)遷移運(yùn)用到整數(shù)減法算理學(xué)習(xí)中。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要把每一類的學(xué)習(xí)方法研究透，還要把各種方法之間的關(guān)聯(lián)之處提煉出來。

師：計(jì)算“371 - 54”，用多種方式表示思考過程。

生：我用了四種方法（見下頁(yè)圖）。

師：觀察這幾種方法，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：只有相同數(shù)位計(jì)數(shù)單位相同，才可以相減。

生：不夠減時(shí)要從前一位退“1”，然后在本位加10后再減。

師：和加法相比，它們有什么共同點(diǎn)？

生：也是只有相同的計(jì)數(shù)單位才能計(jì)算。

師：計(jì)算過程可以寫成371 - 54 = 3（百） + 7（十） + 1（一） - 5（十） - 4（一） = 3（百） + （6 - 5）（十） + （11 - 4）（一） = 3（百） + 1（十） + 7（一） = 317。

教師引導(dǎo)學(xué)生用可視化的方法表達(dá)加、減法的算理：相同的計(jì)數(shù)單位相加減。抽象的計(jì)數(shù)單位如實(shí)物一樣有“形”可依，學(xué)生在計(jì)算過程中只有在腦中抽象出每個(gè)計(jì)數(shù)單位對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，才能克服“數(shù)”與“運(yùn)算”的割裂現(xiàn)象，有效實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“運(yùn)算”的一致性。在多種圖式的表達(dá)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生特別重視方塊圖的掌握與應(yīng)用。通過方塊圖，學(xué)生能從視覺“形”上感受到“單位相同”，不同計(jì)數(shù)單位有大小之分，是“一類”的才能相加，同時(shí)也是后續(xù)小數(shù)與分?jǐn)?shù)算理研究的關(guān)鍵數(shù)學(xué)模型，便于演繹整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間算f01d5d342a0d93baad4a55100fe93418理和算法的一致性。數(shù)位圖類似于計(jì)數(shù)器，但優(yōu)于計(jì)數(shù)器，計(jì)數(shù)器每位受10顆珠的限制，數(shù)位圖可以任意畫○的個(gè)數(shù)，借助方塊圖，溝通數(shù)位圖和豎式之間的聯(lián)系，最后形成規(guī)范的豎式，進(jìn)行抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)。

二、探究乘法計(jì)算與乘積計(jì)數(shù)單位的二維變化規(guī)律

乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。整數(shù)乘法的算理，在教材中一般是通過實(shí)物情境進(jìn)行研究的，用數(shù)學(xué)模型來解釋的例子較少。因?yàn)榻滩闹袥]有樣例，所以教師教學(xué)時(shí)操作起來很困難，容易忽略對(duì)乘法算理的探究，直接教給學(xué)生計(jì)算步驟。如果要體現(xiàn)與整數(shù)加、減法算理的一致性，教師不妨也引導(dǎo)學(xué)生借助方塊圖表達(dá)算理思路，感受其比數(shù)位圖有明顯的優(yōu)勢(shì)。

（一）多位數(shù)乘法算理分享與圖譜模型構(gòu)建

教師要引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算中對(duì)照實(shí)物與圖形，歸納出具有代表性的乘法數(shù)學(xué)模型。下面以“三位數(shù)乘兩位數(shù)”為例來闡述。

師：請(qǐng)大家計(jì)算“12 × 128”，并用自己喜歡的方式表達(dá)思考過程。

生：我用口算128×10 = 1280，128 × 2 = 256，1280 + 256 = 1536。

生：個(gè)位“8”乘12得96個(gè)一；十位“2”乘12得24個(gè)十；百位“1”乘12得12個(gè)百；最后三積相加得1536。

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生：我是用三位數(shù)乘兩位數(shù)，這樣更簡(jiǎn)便。個(gè)位“2”乘128得256個(gè)一；十位“1”乘128得128個(gè)十；然后兩積相加結(jié)果也是1536。

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生：把這兩個(gè)分步過程疊放在一起，可以看出每一步的計(jì)算過程。

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師：他的方法還可以做成“面圖譜”。

生：還可以用表格表示出任意的兩個(gè)多位整數(shù)相乘的方法，把兩個(gè)乘數(shù)分別按計(jì)數(shù)單位拆分，列成表格，把兩兩相乘的積記錄在相交的格里，最后把所有乘積相加。

[× 100 20 8 10 1000 200 80 2 200 40 16 ]

得出：1000 + 200 + 80 + 200 + 40 + 16 = 1536。

師：比較這些算法，它們有什么共同之處？

生：先“分類”，算出各“類”計(jì)數(shù)單位的數(shù)量，然后再合起來。

師：多位數(shù)乘法計(jì)算過程可以寫成12 × 128 = （10 + 2） × （100 + 20 + 8） = 10 × 100 + 10 × 20 + 10 × 8 + 2 × 100 + 2 × 20 + 2 × 8 = 1（千） + 2（百） + 8（十） + 2（百） + 4（十）+16（一） = 1（千） + （2 + 2）（百） + （8 + 4）（十） + 16（一） = 1（千） + 5（百） + 3（十） + 6（一） = 1536。

師：大家不僅能說清一道題的算理，還能總結(jié)出一類題的算理。舉幾個(gè)例子，看看這個(gè)方法是否對(duì)它們都適用？

通過個(gè)例研究，教師讓學(xué)生用可視化的方式展示計(jì)算思路，每個(gè)學(xué)生都調(diào)動(dòng)其腦中的已有經(jīng)驗(yàn)，借助乘法分配律、乘法結(jié)合律等運(yùn)算律，化繁為簡(jiǎn)，表達(dá)思路。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，無論怎么處理，目標(biāo)是一致的，都是在分類計(jì)算各個(gè)計(jì)數(shù)單位的數(shù)量，然后合并起來得出結(jié)果。學(xué)生從具體到抽象，異中求同，最后總結(jié)出多位數(shù)乘法通用的計(jì)算模型，讓思維得到進(jìn)階發(fā)展，并體會(huì)到多位數(shù)乘法與加減法算理和算法的一致性。

（二）乘法新計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生與計(jì)數(shù)原理的勾連

量變到一定程度會(huì)引起質(zhì)變。在加、減法中，學(xué)生明晰了計(jì)數(shù)的道理，就可以輕松理解“滿十進(jìn)一”“退一作十”這樣的計(jì)數(shù)單位間的變化。乘法計(jì)數(shù)單位間的變化，各版本教材在編排時(shí)并沒有具體體現(xiàn)，學(xué)生理解起來存在一定的困難。筆者在教學(xué)中以面積圖作為模型，有效地幫助學(xué)生突破了難點(diǎn)。

師：誰來分享“30 × 20”的計(jì)算道理？

生：20乘3個(gè)十得60個(gè)十，是600。

生：也可以看成30乘2個(gè)十得60個(gè)十，是600。

生：先蓋住兩個(gè)“0”，3 × 2 = 6，然后在6后面添兩個(gè)“0”，得600。

師：你們知道“3 × 2 = 6”里的這個(gè)“6”表示什么意思嗎？為什么計(jì)算前先蓋住兩個(gè)“0”，算出得數(shù)后又添上兩個(gè)“0”呢？

生：這樣算得快。

師：算得快的背后有著什么樣的數(shù)學(xué)道理呢？請(qǐng)看下面的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是3個(gè)10，寬是2個(gè)10，相乘后長(zhǎng)方形等分成了6份，這時(shí)計(jì)數(shù)單位是多少？

<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-2.psd>[計(jì)數(shù)單位

10 × 10 = 100]

師：“30 × 20”計(jì)數(shù)單位是“10 × 10 = 100”，一共有“3 × 2 = 6”個(gè)計(jì)數(shù)單位。所以你們的想法可以寫成 30 × 20 = （3 × 2） × （10 × 10） = 600。

師：你們能畫圖說一說“300 × 20”的計(jì)算道理嗎？同桌互相交流一下。

對(duì)于末尾有“0”的乘法，學(xué)生都知道先蓋住“0”，算出的乘積后，再在末尾添上“0”，這么做背后的道理是什么呢？教師可以借助二維面積模型的動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“新計(jì)數(shù)單位”和“計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)”產(chǎn)生的過程，由“整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)”類推“整十?dāng)?shù)乘整百數(shù)”等其他情況，歸納出乘法計(jì)算方法“計(jì)數(shù)單位×計(jì)數(shù)單位 = 積的計(jì)數(shù)單位”“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)×計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù) = 積的計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)”，最終按計(jì)數(shù)原理得出結(jié)果。

三、推理除法計(jì)算計(jì)數(shù)單位逆向等分的商的產(chǎn)生

除法是乘法的逆運(yùn)算，學(xué)生如果明白了整數(shù)乘法的算理和算法，那么整數(shù)除法的算理和算法便也水到渠成了。加法和乘法的計(jì)算體現(xiàn)的是計(jì)數(shù)單位累加的過程，減法和除法計(jì)算體現(xiàn)的是計(jì)數(shù)單位刪減的過程。

（一）三位數(shù)除以一位數(shù)算理探究

例如，有437本課外書平均分給3個(gè)班，每個(gè)班能分到多少本？還多出幾本？

師：誰來說一說你的思考過程？

生：我用口算的方法，因?yàn)?00 ÷ 3 = 100，120 ÷ 3 = 40，15 ÷ 3 = 5，17 - 15 = 2，所以437 ÷ 3 = 145……2。

生：我用分小方塊圖的方法來計(jì)算。

（教師課件動(dòng)態(tài)演示圖）

<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-22.psd><E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-23.psd>

師：這個(gè)過程可以用這樣的豎式表示出來。會(huì)簡(jiǎn)寫這個(gè)豎式嗎？請(qǐng)對(duì)照?qǐng)D說說理由。

生：因?yàn)?個(gè)百除以3得1個(gè)百，商1寫在百位上表示的就是1個(gè)百，后面2個(gè)0可以省略不寫。

生：分哪個(gè)計(jì)數(shù)單位，商就寫在哪一位上面，不會(huì)亂。

生：12個(gè)十除以3得4個(gè)十，十位商4，個(gè)位0也可以省略。

師：現(xiàn)在理解為什么“除到哪一位，商就寫在哪一位的上面”了吧。每個(gè)數(shù)位的數(shù)都有相應(yīng)的“位值”，豎式中每次商與除數(shù)的乘積，末尾的“0”都可以省略不寫。

師：除法計(jì)算，就是在等分計(jì)算單位。請(qǐng)把這個(gè)過程用算式表示出來。

生：437 ÷ 3 = 4（百）3（十）7（一） ÷ 3 = 3（百） ÷ 3 + 12（十） ÷ 3 + 17（一） ÷ 3 = 145……2。

（二）除法新計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生與計(jì)數(shù)原理的勾連

除法中新計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生是學(xué)生最難理解的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，教師仍可以引導(dǎo)學(xué)生借助面積模型，在乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行倒推。結(jié)合班級(jí)的學(xué)情，學(xué)生若能基于nWCjMWva/X3JGHStfLVnhg==乘法算理完成推理，教師可放手讓其自主探究分享；若有難度，教師可用課件演示，以便把此推理邏輯運(yùn)用到小數(shù)和分?jǐn)?shù)的算理和算法一致性研究中。

師：誰來分享一下“12000 ÷ 30”的思考過程？

生：被除數(shù)12000可以看成長(zhǎng)方形的面積，除數(shù)30可以看成長(zhǎng)方形的寬，12000 ÷ 30是求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)。“30”里有3個(gè)10，把寬等分成3份，每份長(zhǎng)方形面積是4000；4000里有4個(gè)千，把它等分成4份，每份小長(zhǎng)形的面積是1000；聚焦每個(gè)小長(zhǎng)方形，寬是10，則長(zhǎng)為1000 ÷ 10 = 100，是長(zhǎng)的計(jì)數(shù)單位；長(zhǎng)為4個(gè)百，即400。

生：剛才這個(gè)過程可以用算式表示為12000 ÷ 30 = （12 ÷ 3） × （1000 ÷ 10） = 4 × 100 = 400。

生：我發(fā)現(xiàn)“計(jì)數(shù)單位 ÷ 計(jì)數(shù)單位 = 商的計(jì)數(shù)單位”“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù) ÷ 計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù) = 商的計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)”，然后“新的計(jì)數(shù)單位 × 計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù) = 商”。

學(xué)生在操作均分小方塊時(shí)，能不斷強(qiáng)化各種計(jì)數(shù)單位的數(shù)學(xué)模型，讓抽象的計(jì)數(shù)單位和生活中的物品一樣“有形可依”，讓復(fù)雜的計(jì)算過程“有理可講”。通過推理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)除法的最終計(jì)算方法也是在計(jì)算各有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位，最后再合并。

綜上所述，整數(shù)的加、減、乘、除的算法是一致的：計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù) × 計(jì)數(shù)單位；算理也是一致的：通過運(yùn)算律可以推理出算理。加法是四則運(yùn)算的核心，減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，是減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。學(xué)生親歷操作，結(jié)合課件的動(dòng)態(tài)演示，“數(shù)”“形”結(jié)合，成功打通“數(shù)概念”與“數(shù)運(yùn)算”之間的“隔斷墻”，深刻體會(huì)整數(shù)四則運(yùn)算的一致性。

參考文獻(xiàn)：

［1］于玲.打通“隔斷墻”，落實(shí)“數(shù)的運(yùn)算”的一致性［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2023（7～8）.

［2］鞏子坤，史寧中，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性［J］.課程·教材·教法，2023（7）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）