核心素養(yǎng)視域下概率與統(tǒng)計教學育人價值的實踐研究

作者簡介：金盈，遼寧教育學院高中數學教研員，高級教師。

課題項目：本文系遼寧省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度課題“核心素養(yǎng)下的高中數學單元教學設計的研究”的階段性研究成果。課題編號：JG21CB220。

摘要：學科核心素養(yǎng)是學科教育在落實立德樹人根本任務、發(fā)展素質教育中的重要指標，是學科育人價值的集中體現。高中數學概率與統(tǒng)計這一部分內容中，要求培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)目標是數據分析。教師在課堂教學過程中應結合學情，合理創(chuàng)設教學情境，設計豐富的教學活動，貫穿概率與統(tǒng)計的思想，培養(yǎng)學生數據分析核心素養(yǎng)，實現課程育人的價值。

關鍵詞：課程育人； 核心素養(yǎng)；概率與統(tǒng)計教學

核心素養(yǎng)是完整的育人目標體系。從抽象到具體，它可以分為三層：頂層是教育目的，中層是學科育人目標，底層是課堂教學目標，這三層自上而下不斷具體化、抽象化，構成了課程育人的完整框架，也體現了課程育人的復雜性與專業(yè)性。筆者從課程育人的角度出發(fā)，以“用樣本估計總體”一課為例，以問題為導向，闡述如何以課程為載體，在高中數學課堂教學中落實核心素養(yǎng)，進而達到學科育人的目的。

一、在概率與統(tǒng)計教學中體現課程育人價值

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出，要通過概率與統(tǒng)計部分的學習，提升學生數據分析、數學建模、邏輯推理和數學運算素養(yǎng)。其中，數據分析對課程育人的價值尤為突出，具體體現在三個方面。

一是學生應具備從真實的問題情境中主動獲取信息的能力，并且根據解決問題的目標對提取的信息進行有效的分析整理。數據是數據分析的基礎，要讓學生體會“數據”與“數”的含義是完全不同的。例如，“6”是一個數字，但是在具體問題中被賦予具體的含義，用“6”表示某個小朋友的年齡，那么它就成為一個數據。教材在章節(jié)起始就給出了大量真實案例中的具體數據，讓學生感知其真實含義，這是與其他章節(jié)完全不同的，教師要認真體會其中的含義。獲取和整理信息過程中還要注意培養(yǎng)學生的主動意識及信息的有效性。

二是根據數據分析的結果推斷事物的整體，認識事物的本質。落實數據分析核心素養(yǎng)的過程，實際上就是提升學生“四能”（發(fā)現、提出、分析、解決問題），落實“三會”（會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界）的過程。數據分析是研究隨機現象的主要方法，研究的目的是將其結論應用到實際問題的解決過程中，這也是信息時代大數據應用的主要方法。

三是初步形成統(tǒng)計學獨有的思維品質和活動經驗。數據分析素養(yǎng)不同于其他的學科素養(yǎng)，具有獨特性。一般的數學問題解決都具有嚴謹的邏輯推理過程，屬于演繹推理，而數據分析具有不確定性，沒有統(tǒng)一標準，屬于經驗推理，但這與數學學科的嚴謹性與準確性并不相悖。

二、概率與統(tǒng)計的教學實踐研究

“用樣本估計總體”一課為人教B版高中數學必修教材第二冊第五章“用樣本估計總體”的第一課時。具體教學內容為：結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數，理解集中參數的統(tǒng)計含義；結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數，理解離散程度參數的統(tǒng)計含義；結合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律等。

（一）教學目標設置

1.通過實例，學生能夠體驗有效收集、整理和分析數據的過程，感受用樣本估計總體的合理性和必要性，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異。

2.通過探究學習，學生能夠根據統(tǒng)計結果作出合理判斷和推測，會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題。

3.學生能夠借助計算器計算樣本的平均數和方差，體驗在兩種不同的抽樣方法下不同的估計方式。

（二）學情分析

在學習本節(jié)課內容之前，學生已經學習了抽樣方法和樣本分析，具備了一定的統(tǒng)計意識、數據感悟和初步數據分析能力。本節(jié)課主要研究如何根據樣本數據估算總體的信息，理解用樣本的數字特征估計總體數字特征的合理性和必要性，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異?！坝脴颖竟烙嬁傮w”共分為兩個課時：第一個課時是用樣本中的數字特征分析總體的數字特征，運用數據分析即可完成，如計算平均數和方差等；第二個課時是用樣本的分布估計總體的分布。

本節(jié)課的難點是對用樣本估計總體的必要性和合理性的理解，樣本容量并不是越大越準確，而是準確的可能性越大，而且當抽樣方法不同時，如采用分層抽樣抽取樣本時，為了讓估計更有效，可以充分利用各層樣本的數字特征去估計總體。

（三）課堂教學設計

1.創(chuàng)設情境，引出課題

教師創(chuàng)設新聞情境：大數據的應用以大數據分析為基礎，為生產生活提供決策參考。

（1）電商領域：精準廣告推送，個性化推薦；

（2）傳媒領域：精準營銷，直達目標客戶群體；

（3）金融領域：根據客戶的行為大數據，綜合評估出客戶端信用；

（4）交通領域：根據司機出行規(guī)劃，準確判斷哪里是擁堵的，進而給出優(yōu)化的出行路線；

（5）電信領域：電信基站選址優(yōu)化，就是利用了電信用戶位置的大數據；

（6）安防領域：通過大量犯罪細節(jié)的數據進行分析、總結，從而得出犯罪特征，進而預防犯罪，還有天網監(jiān)控等也是大數據應用的具體案例；

（7）醫(yī)療領域：智慧醫(yī)療，通過某種典型病例的大數據，可以得出該病例的最優(yōu)療法等。

【設計意圖】創(chuàng)設情境可讓學生感受數據分析在生活中的作用，激發(fā)學生學習用樣本估計總體的興趣，同時感受用樣本估計總體的必要性。

2.借助統(tǒng)計信息，感受用樣本估計總體的合理性

【環(huán)節(jié)一】提出問題

對比分析國家統(tǒng)計局網站上給出的人口普查和抽查調查中的數據（如平均壽命、平均住房和受教育程度等）。設問：你認為用樣本估計總體合理嗎？

【設計意圖】在人口普查和抽查調查的背景下進行數據分析，引入新知。

【環(huán)節(jié)二】動手實踐

選取教材中給出的具體實例作為引例：某學校高一年級98位學生的身高數據，每個小組的同學在總體中抽取一個樣本。設問：抽樣的方法是什么？抽取的樣本容量是多少？得到了樣本的哪些數字特征？（見圖1，學生使用計算器完成）

<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-34.psd>[以下是某學校高一年級98位學生的身高（單位：cm）：

161 168 166 168 152 152 163 164 170 167 143 166 153 165

168 167 163 157 160 159 153 169 172 175 165 161 158 172

147 164 171 149 158 155 169 150 173 170 162 157 152 180

178 158 162 161 172 165 165 155 163 178 159 168 161 151

166 168 165 158 162 165 163 166 174 163 163 175 165 160

161 177 163 170 155 156 161 169 167 151 156 158 165 179

161 176 162 168 153 169 155 165 163 166 172 160 173 164

已知這組數的總體平均數為163.5，總體方差為56.3。

用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取容量為10的樣本3次。分別計算樣本平均數與樣本方差，并與總體對應的組進行比較。][情境與問題]

圖1 教材中的數據實例

【設計意圖】通過實例，學生自由抽取樣本，利用手持計算器計算相關數字，總結其特征，真正體驗有效收集、整理和分析數據的過程。

【環(huán)節(jié)三】合作探究

小組成果展示：說明本小組采用的抽樣方法以及樣本容量的大?。桓鶕窘M計算的數字特征結果和總體數字特征進行簡單比較。

【設計意圖】通過小組合作，學生可以更直觀地感受到誤差的存在以及樣本的隨機性。

【環(huán)節(jié)四】發(fā)現結論

每個小組利用圖形計算器計算引例中容量為10的三組樣本的平均數和方差，將結果和總體數據進行比較。為了更直觀地觀測誤差，教師引導學生利用柱狀圖展示平均數和方差，師生共同得出結論：樣本數字特征和總體存在誤差。設問：如何看待誤差？

教師引導學生通過觀察、對比、思考、分析，得出結論：在允許一定誤差存在的前提下，可以用樣本的數字特征去估計總體的數字特征?！罢`差可以存在”是統(tǒng)計獨有的魅力。若總體平均數記為[μ]，樣本均值記為[x]，則[μ>x，μ=x，μ<x]都有可能。當樣本容量越來越大時，估計的誤差很小的可能性越來越大。值得注意的是：不是容量越大就越準確，是準確的可能性越大，所以我們用樣本估計總體是可行且合理的。

根據學生小組合作過程及展示的成果，教師適時加以引導，一方面，抽樣方法要合理、樣本容量要恰當；另一方面，計算樣本數字特征可以從刻畫集中趨勢和離散程度兩個方面加以考慮，如平均數和方差。

【設計意圖】從數據分析入手，學生經歷了用樣本的數字特征估計總體的合理性，即從質疑到理解的過程，體會了統(tǒng)計思想。通過計算，能夠用統(tǒng)計思維來分析問題的隨機現象，感受到統(tǒng)計結果并不是通過準確的數據測量而得到的。

【環(huán)節(jié)五】思維拓展

教師提出問題：生物學中的統(tǒng)計常采用分層抽樣的方法抽取樣本，這樣抽取的樣本如何合理利用數字特征來估計總體的數字特征（見圖2）？

<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-8.psd><E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-10.psd><E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-11.psd><E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-9.psd>

圖2 利用數字特征來估計總體的數字特征

學生小組合作探究：通過教材“嘗試與發(fā)現”欄目中的實例，引導學生用探究分層抽樣方法抽取樣本時，如何利用每一層的樣本數字特征去估計總體數字特征，尋找讓誤差很小的可能性越來越大，準確的可能性越來越大的方法。設問：若選擇男生（或女生）樣本的平均數和方差作為估計總體的對應值可以嗎？用分層抽樣獲得每一層樣本的數字特征時，該怎樣估計總體的數字特征呢？

學生根據已經學習的平均數和方差公式，很容易得到總樣本均值，但是，由于沒有個體真實數據，無法直接計算，借助統(tǒng)計學知識中總樣本均值和總樣本方差公式可以求出。

假設第一層有[m]個數，分別為[x1]，[x2]，…，[xm]，平均數為[x]，方差為[s2]；第二層有[n]個數，分別為[y1]，[y2]，…，[yn]，平均數為[y]，方差為[t2]，則[x=1mi=1mxi]，[s2=1mi=1m（xi-x）2]，[y=1ni=1nyi]，[t2=1ni=1n（yi-y）2]。

如果記樣本均值為[a]，樣本方差為b2，則可以計算出[a=1m+n（i=1mxi+i=1nyi）=mx+nym+n]，

[b2=m[s2+（x-a）2]+n[t2+（y-a）2]m+n=1m+n[（ms2+nt2）+mnm+n（x-y）2]]。

對比兩個總樣本均值公式的不同，用“嘗試與發(fā)現”中的實例檢驗，發(fā)現計算結果差距不大。根據課堂學習情況，教師可以引導學生繼續(xù)猜想若分三層抽取樣本，上述公式會發(fā)生哪些變化？并在課后對猜想的公式加以推導證明。

教師小結：當我們用分層抽樣得到樣本時，既可以是各層數據集中在一起計算樣本均值與樣本方差，也可以去考慮整個樣本的數字特征與每一層的數字特征之間的關系，后者在大數據時代的并行計算中經常使用。

【設計意圖】對分層抽樣樣本數據的處理方法和最后得出的公式，只讓學生感悟到其中的思想即可，一定要避免把重心放在公式的推導及計算上。通過多角度研究估計方法，在學生思維最近發(fā)展區(qū)提出問題，引發(fā)學生深入思考，感受抽樣方法不同時，估計的差異性，讓學生通過思考獲得解決問題的途徑和經驗，培養(yǎng)科學探究精神。

3.設計實踐活動，應用新知，深化目標

【探究活動】以全班學生體重作為總體，小組成員體重作為樣本，讓學生進行“用樣本的數字特征估計總體的數字特征”的實踐活動，完成活動記錄表并進行展示。

教師先展示總體數字特征，如平均數和方差。學生小組活動后，教師再引導學生利用圖形計算器與計算機聯網得到各小組的統(tǒng)計數據和數字特征。最后，學生利用實物展臺展示活動記錄表，做活動總結。

【設計意圖】教師通過找出學生感興趣的話題，激發(fā)學生的學習熱情，使學生在活動中積累數學活動經驗，體驗用統(tǒng)計方法解決實際問題的全過程。學生可根據實際情況真正學會用數據說話，推斷統(tǒng)計結果，養(yǎng)成數據分析的習慣，為今后的數學課題研究積累經驗，培養(yǎng)數據分析素養(yǎng)。

【課后作業(yè)】若以班級物理成績作為樣本，學校物理成績作為總體，想快速了解學校是否有80%的同學物理及格，則怎樣用樣本的數字特征去估計總體的數字特征呢？若想了解全校同學鞋號分布情況呢？若想了解年級期末考試數學第一名和物理第一名誰發(fā)揮得更穩(wěn)定呢？根據所學的統(tǒng)計學知識，除了利用數字特征，還有哪些角度可以用樣本情況去估計總體情況呢？

【設計意圖】通過課后作業(yè)，發(fā)散數學中的統(tǒng)計思維，回顧所學知識，培養(yǎng)學生聯系、對應、轉化的辯證思想，滲透統(tǒng)計思想，使學生提升應用和創(chuàng)新意識，達到知識遷移的目的。

綜上所述，數據分析是源于實際問題而集統(tǒng)計思想、方法、理論和決策于一體的思維活動過程。數據分析素養(yǎng)是在針對統(tǒng)計問題獲得數據的分析過程中形成的。作為數學核心素養(yǎng)的數據分析，主要體現在從實際問題轉化為統(tǒng)計問題，再由數據到知識形成的全過程中。教師應引導學生學會用概率與統(tǒng)計的思想發(fā)現和提出問題，分析和解決問題，這是貫穿始終的教學目標。而總體與樣本是這條主線中的核心概念，總體是統(tǒng)計研究的對象，樣本是揭示總體規(guī)律的手段。

參考文獻：

［1］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀 ［M］. 高等教育出版社，2020.

［2］趙進，周秀輕.概率論學習中幾個值得注意的問題探究［J］.高教學刊，2023（11）.

（責任編輯：楊強）