最高點(diǎn)水平速度一定相等嗎

摘? ?要：在高中物理動(dòng)量守恒定律學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常遇到水平方向動(dòng)量守恒問(wèn)題，學(xué)生解決這類問(wèn)題往往通過(guò)經(jīng)驗(yàn)去建立表達(dá)式，教師的講解看似合理，卻可能有違邏輯本質(zhì)。探討了四類經(jīng)典模型，揭示了最高點(diǎn)水平速度的特點(diǎn)，從本質(zhì)上解決了師生長(zhǎng)期以來(lái)存在的困惑。

關(guān)鍵詞：關(guān)聯(lián)速度；分解；水平速度

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2024）6-0068-3

在研究水平方向動(dòng)量守恒時(shí)，經(jīng)常遇見(jiàn)“物塊－斜面”“小球-曲面”“小球-四分之一圓弧”“小球－滑環(huán)”模型。這部分知識(shí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)教師教學(xué)也是難點(diǎn)，教師們往往直接給出結(jié)論——在最高點(diǎn)水平速度相等；或者定性分析，以“物塊－斜面”模型為例，若物塊的水平速度大于斜面的速度，則物塊在斜面上處于上升階段，若物塊的水平速度小于斜面的速度，則物塊在斜面上處于下降階段，當(dāng)物塊在斜面上到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，二者水平速度相等。這種解釋看似合理，實(shí)則比較籠統(tǒng)，缺乏嚴(yán)密性，容易誤導(dǎo)學(xué)生。本文利用關(guān)聯(lián)速度破解這一難點(diǎn)。

１? ? “物塊－斜面”模型

在“物塊－斜面”模型中，把物塊的速度分解為水平方向和豎直方向，再利用關(guān)聯(lián)速度知識(shí)，即物塊和斜面在垂直接觸面上的分速度相等，即可證明二者在水平方向速度的大小關(guān)系。

例題１ （２０１６年全國(guó)ＩＩ卷理綜第３５題）如圖１所示，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側(cè)一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時(shí)刻小孩將冰塊以相對(duì)冰面３ ｍ/ｓ的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為ｈ＝０．３ ｍ（ｈ小于斜面體的高度）。已知小孩與滑板的總質(zhì)量為ｍ１＝３０ ｋｇ，冰塊的質(zhì)量為ｍ２＝１０ ｋｇ，小孩與滑板始終無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。取重力加速度的大小ｇ＝１０ ｍ/ｓ２。

（１）求斜面體的質(zhì)量；

（２）通過(guò)計(jì)算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？

解析 （１）規(guī)定向右為速度正方向。冰塊在斜面體上運(yùn)動(dòng)到最大高度時(shí)兩者達(dá)到共同速度，設(shè)此共同速度為ｖ，斜面體的質(zhì)量為m3。由水平方向動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得

式中v2=-3 m/s，為冰塊推出時(shí)的速度。聯(lián)立兩式并代入題給數(shù)據(jù)得m3=20 kg。

（２）略。

第（１）問(wèn)中直接得出冰塊在斜面體上運(yùn)動(dòng)到最大高度時(shí)兩者達(dá)到共同速度，學(xué)生不甚理解，現(xiàn)證明如下。

如圖２所示，將冰塊的水平速度vx和豎直速度vy分解為沿斜面方向和垂直斜面方向，其垂直斜面方向的合矢量的大小為vxsinθ-vycosθ，再將斜面體的速度v分解為沿著斜面方向和垂直斜面方向，其垂直斜面方向的分速度為vsinθ，由關(guān)聯(lián)速度知識(shí)可知，相互作用的物體在垂直接觸面上的速度相等，即

結(jié)論１ 當(dāng)物塊上升到最大高度時(shí)，vy=0，則vx=v，即物塊的水平速度等于斜面體的速度。

結(jié)論２ 當(dāng)物塊能沖出斜面，在斜面的最高點(diǎn)時(shí)，vy≠0，則vx≠v，即物塊的水平速度不等于斜面體的速度。

２? ? “小球-曲面”模型

在“小球-曲面”模型中，可通過(guò)小球與曲面的接觸點(diǎn)作切線，設(shè)切線與水平方向的夾角為θ，分析同上，如圖３所示。

結(jié)論１? 當(dāng)小球上升到最大高度時(shí)，vy=0，則vx=v，即小球的水平速度等于曲面的速度。

結(jié)論２? 當(dāng)小球能沖出曲面，在曲面的最高點(diǎn)時(shí)，若接觸點(diǎn)的切線豎直向上，則小球的水平速度等于曲面的速度，否則小球的水平速度不等于曲面的速度。

３? ? “小球-四分之一圓弧”模型

在“小球-四分之一圓弧”模型中，處理方法同“小球-曲面”模型，如圖4所示。

結(jié)論１? 當(dāng)小球上升到最大高度時(shí)，vy=0，則vx=v，即小球的水平速度等于圓弧軌道的速度。

結(jié)論２ 當(dāng)小球能沖出四分之一圓弧軌道，在軌道的最高點(diǎn)，二者接觸面上小球速度方向豎直向上，vx=v，即小球的水平速度等于圓弧軌道的速度。

例題２ 如圖5所示，一質(zhì)量為２ｍ的帶軌道的小車靜止在水平面上，小車軌道的ＡＢ段水平，ＢＣ段為豎直的半徑為Ｒ的四分之一圓弧。左側(cè)平臺(tái)與小車的水平軌道等高，小車靜止時(shí)與平臺(tái)間的距離可忽略。一質(zhì)量為ｍ的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）水平向右以大小為６的初速度從左側(cè)平臺(tái)滑上小車。不計(jì)一切摩擦，重力加速度為ｇ。

（１）求滑塊離開(kāi)Ｃ點(diǎn)后相對(duì)于水平軌道ＡＢ上升的最大高度；

（２）若小車水平軌道ＡＢ相對(duì)水平面的高度為０．５Ｒ，求滑塊從左端滑離小車后落地瞬間滑塊與小車左端的距離為多少？

解析 （１）設(shè)滑塊初速度為v0，在Ｃ點(diǎn)時(shí)速度為v，滑塊從滑上小車至運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)Ｃ的過(guò)程 中，滑塊與小車水平方向動(dòng)量守恒，有

mv0=（m+2m）v

滑塊離開(kāi)Ｃ點(diǎn)后水平方向不受力，到最高點(diǎn)時(shí)水平速度仍然為v。另外，滑塊與小車組成的系統(tǒng)能量守恒，有

（２）略。

通過(guò)例題可以看出，正是因?yàn)樵谲壍雷罡唿c(diǎn)二者水平速度相等，對(duì)于能沖出軌道這類問(wèn)題，往往以“小球（滑塊）-四分之一圓弧”為模型。

４? ? “小球－滑環(huán)”模型

如圖６所示，在水平光滑直桿上有一運(yùn)動(dòng)的滑環(huán)，小球通過(guò)輕質(zhì)細(xì)線與滑環(huán)相連，小球可在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)。仍然將小球的速度分解為水平方向的vx和豎直方向的vy，求出小球沿繩方向的速度為vxcosθ-vysinθ；將滑環(huán)的速度沿繩和垂直繩方向分解，其沿繩方向的分速度（下轉(zhuǎn)第76頁(yè)）（上接第69頁(yè)）為vcosθ，由關(guān)聯(lián)速度知識(shí)可知，二者在沿繩方向的速度相等，即

vxcosθ-vysinθ=vcosθ

在最高點(diǎn)時(shí)，vy=0，于是vx=v。

５? ? 結(jié)? 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)以上四種經(jīng)典模型的逐一分析可以看出：在不沖出軌道的前提條件下，在最高點(diǎn)水平速度相等；在能沖出軌道的情況下，“小球－四分之一圓弧”模型，在最高點(diǎn)水平速度相等。因此，在教學(xué)過(guò)程中，必須讓學(xué)生從本質(zhì)上理解，而不是簡(jiǎn)單地學(xué)會(huì)模仿。

參考文獻(xiàn)：

［１］鄺玉蘭．以連接體模型為例的高中物理習(xí)題實(shí)驗(yàn)化教學(xué)探究［Ｊ］．廣西物理，２０２３，44（１）：１０８－111，１１３.

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2024-02-06

作者簡(jiǎn)介：蔣達(dá)東（1973-），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中物理教學(xué)研究。