多位數(shù)乘法與多項(xiàng)式乘法之間的遷移聯(lián)系

牛延凱 李倩

【摘? 要】? 中學(xué)階段，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要轉(zhuǎn)變是從數(shù)到式的抽象，并從數(shù)的運(yùn)算過渡到式的運(yùn)算.具體到乘法運(yùn)算，整數(shù)乘法看作是整式乘法的算術(shù)形式，而整式乘法蘊(yùn)含了整數(shù)乘法所遵循的代數(shù)原理.教學(xué)中可以通過運(yùn)算結(jié)構(gòu)的遷移、算理的遷移、算法的遷移三個角度把握整數(shù)乘法與整式乘法之間的遷移聯(lián)系，進(jìn)而把整數(shù)乘法中的多元計算方法與技巧遷移到整式乘法中，提高多項(xiàng)式乘法運(yùn)算效率，實(shí)現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算到代數(shù)運(yùn)算的過渡.

【關(guān)鍵詞】? 多位數(shù)乘法；多項(xiàng)式乘法；學(xué)習(xí)遷移；知識聯(lián)系

從小學(xué)到中學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要任務(wù)是完成從數(shù)到式的抽象，并進(jìn)一步由數(shù)的運(yùn)算遷移到式的運(yùn)算.從數(shù)的加減到整式加減、從整數(shù)乘法到整式乘法、從分?jǐn)?shù)運(yùn)算到分式運(yùn)算，數(shù)和式的運(yùn)算過程在一定程度上具有相似的本質(zhì)屬性，數(shù)的運(yùn)算可以看作式中字母取某些值的特定結(jié)果，而式的運(yùn)算則超越了數(shù)的具體束縛，其過程更加形式化和抽象化，更能揭示運(yùn)算的一般性規(guī)律.

多位數(shù)乘法是小學(xué)整數(shù)乘法中的難點(diǎn)，而多項(xiàng)式乘法是中學(xué)整式乘法中的難點(diǎn)，兩者在運(yùn)算結(jié)構(gòu)、算理、算法上存在密切聯(lián)系.布魯納認(rèn)為，在沒有相互關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上進(jìn)行灌輸教學(xué)是“不經(jīng)濟(jì)的”，所獲得的知識非常容易遺忘.因此建立整數(shù)乘法與整式乘法之間的遷移聯(lián)系，可在相互關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)中幫助中學(xué)生充分利用多年來積累的乘法算術(shù)經(jīng)驗(yàn)，提升多項(xiàng)式乘法的學(xué)習(xí)效率，并進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算到代數(shù)運(yùn)算的過渡.

1? 運(yùn)算結(jié)構(gòu)的遷移：多位數(shù)乘法中體現(xiàn)了多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算結(jié)構(gòu)

1.1? 多位數(shù)乘法的常見算法

人教版教材以14×12為例，開始學(xué)習(xí)最基本的多位數(shù)乘法——兩位數(shù)乘兩位數(shù).除了豎式乘法外，多個版本教材中也介紹了乘法計算的不同方式，這里呈現(xiàn)三種不同的算法計算14×12.

圖1??? 圖2????? 圖3豎式乘法? 十字相乘法? 格子乘法不進(jìn)位形式

（1）豎式乘法.如圖1，學(xué)生最為熟悉的計算方式，分為三步，逐位相乘，先算14×2的積，再算14×10的積，最后相加.

（2）十字相乘法.如圖2，分為三步，兩個因數(shù)的個位數(shù)字相乘，得出積的個位數(shù)字；中間交叉相乘后，把結(jié)果相加得積的十位數(shù)字（2×1+1×4=6）；兩個因數(shù)的十位數(shù)字相乘，得積的百位數(shù)字.這個過程中由逐位相乘轉(zhuǎn)為對位相乘，也叫十字相乘法［1］.

（3）格子乘法（鋪地錦）.我國明朝的《算法統(tǒng)宗》講述了一種“鋪地錦”的乘法計算方法，是利用格子來算的［2］.格子乘法中，需把每個小方格一分為二，便于記錄每次相乘后的進(jìn)位數(shù)字.由于14×12是不進(jìn)位乘法，可簡化小方格的分割過程，寫成一種運(yùn)算表形式，如圖3，14沿縱軸排列，12沿橫軸排列，每個方格內(nèi)記錄各位數(shù)對應(yīng)相乘的積，從右下角開始作個位數(shù)，沿傾斜方向把每條對角線的數(shù)相加，分別得出積的十位數(shù)字和百位數(shù)字.

1.2? 三種算法的共通性——體現(xiàn)了多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算結(jié)構(gòu)

雖然三種算法規(guī)則差異較多，但基本結(jié)構(gòu)是相似的.可以發(fā)現(xiàn)，14×12的計算過程都分解為4個基本算式：①2個一×4個一=8個一；②2個一×1個十=2個十；③1個十×4個一=4個十；④1個十×1個十=1個百.

①式2×4，個位數(shù)字×個位數(shù)字，結(jié)果是若干個一，因此8寫在積的個位區(qū)；②式2×1和③式1×4，都屬于個位數(shù)字與十位數(shù)字相乘，結(jié)果是若干個十，2個十+4個十=6個十，因此6寫在積的十位區(qū)；④式1×1，十位數(shù)字×十位數(shù)字，結(jié)果是若干個百，因此1寫在積的百位區(qū).

以上算式中的數(shù)字賦上計數(shù)單位，得14×12=2×4+2×10+10×4+10×10，即（10+4）×（10+2）=2×4+2×10+10×4+10×10，轉(zhuǎn)換為字母表示為（a+b）×（c+d）=

d×b+d×a+c×b+c×a.

可以發(fā)現(xiàn)，多位數(shù)乘法中滲透了多項(xiàng)式乘法法則，多位數(shù)乘法遵循多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，從多位數(shù)乘法到多項(xiàng)式乘法，是一種從數(shù)到式、從特殊到一般的遷移.

2? 算理的遷移：多位數(shù)乘法與多項(xiàng)式乘法的算理一致性

2.1? 算理的一致性：借助乘法分配律化繁為簡

魯賓斯坦指出，通過概括把握兩種學(xué)習(xí)間的一般原理和本質(zhì)規(guī)律，能產(chǎn)生更廣泛的遷移，他認(rèn)為必須找到一般原理、整理出知識結(jié)構(gòu)、概括出一類事物的本質(zhì)規(guī)律，才能對課題類化，進(jìn)而解決問題［3］.遷移的關(guān)鍵在于概括兩個對應(yīng)模塊之間的共同原理和思想方法，而縱觀多位數(shù)乘法和多項(xiàng)式乘法的學(xué)習(xí)過程，轉(zhuǎn)化思想和乘法分配律的應(yīng)用貫穿始終，即借助乘法分配律不斷的把乘法運(yùn)算化繁為簡.

（1）整數(shù)乘法中，多位數(shù)乘一位數(shù)時，如圖4，其豎式算理用橫式形式展開為：12×3=3×2+3×10，即借助乘法分配律把多位數(shù)乘一位數(shù)轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘一位數(shù)（3×10本質(zhì)上借助乘法口訣3×1計算）.后續(xù)在多位數(shù)乘多位數(shù)時，如圖1，先是借助乘法分配律先轉(zhuǎn)化為多位數(shù)乘一位數(shù)，14×12=14×2+14×10，最后再次借助乘法分配律轉(zhuǎn)化為4個一位數(shù)乘一位數(shù)的基本算式.

圖4? 人教版兩位數(shù)乘一位數(shù)例題

（2）同理，整式乘法中，多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式時可借助乘法分配率轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，如（a+b）×c=a×c+b×c；后續(xù)，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式時仍是借助乘法分配率先轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，再轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，如：

（a+b）×（c+d）=（a+b）×c+（a+b）×d=a×c+b×c+a×d+b×d.

因此，無論是多位數(shù)乘法還是多項(xiàng)式乘法其算理核心都是在轉(zhuǎn)化，不斷的把復(fù)雜運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基本運(yùn)算：把多位數(shù)乘法最終轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘一位數(shù)，把多項(xiàng)式乘法最終轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，而乘法分配律是支撐這一轉(zhuǎn)化過程的核心定律.

2.2? 一致性的背后

從多位數(shù)乘法到多項(xiàng)式乘法體現(xiàn)了從特殊到一般的遷移規(guī)律，可進(jìn)一步解釋其深層原因.由于整數(shù)乘法采用十進(jìn)制計數(shù)法，因此14×12=168可用10的乘方形式展開：（1×10+4）×（1×10+2）=（1×102+6×10+8）.用字母代替進(jìn)制10，可抽象為一般情況，（x+4）×（x+2）=（x2+6x+8）.因此，從運(yùn)算進(jìn)制角度看，多位數(shù)乘法可以看作多項(xiàng)式乘法在算術(shù)進(jìn)制為十時的特殊形式，兩者在計算結(jié)構(gòu)、算理上可以形成從特殊到一般的遷移聯(lián)系.

3? 算法的遷移：多位數(shù)乘法的運(yùn)算方式與技巧應(yīng)用于多項(xiàng)式乘法

在運(yùn)算結(jié)構(gòu)遷移和算理遷移的基礎(chǔ)上，算法層面，整數(shù)乘法中的豎式乘法、十字相乘法、格子乘法等諸多計算方式和計算技巧也可遷移用于多項(xiàng)式乘法，豐富多項(xiàng)式乘法的學(xué)習(xí)路徑，提升運(yùn)算效率.

3.1? 豎式乘法應(yīng)用于多項(xiàng)式乘法

教材中多項(xiàng)式乘法主要是橫式形式，如（x+4）×（x+2）=x2+2x+4x+2×4，而整數(shù)乘法常用的豎式計算方式在適當(dāng)處理后可遷移到多項(xiàng)式乘法中.

（1）不發(fā)生進(jìn)位時，多位數(shù)乘法與多項(xiàng)式乘法的豎式結(jié)構(gòu)類比.

以（x+4）×（x+2）為例，可以運(yùn)用豎式形式計算，其算法結(jié)構(gòu)與14×12的豎式過程可以對應(yīng)聯(lián)系：

圖5

（2）有進(jìn)位時，多位數(shù)乘法與多項(xiàng)式乘法的豎式結(jié)構(gòu)類比.

以（3x2+x+2）×（x2+3x+4）為例，也可以用豎式形式運(yùn)算，其算法結(jié)構(gòu)與312×134發(fā)生進(jìn)位前的豎式過程可以對應(yīng)聯(lián)系：

圖6

結(jié)合以上過程，可發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式乘法與多位數(shù)乘法在豎式結(jié)構(gòu)中的對應(yīng)關(guān)系：個位區(qū)對應(yīng)常數(shù)項(xiàng)，十位區(qū)對應(yīng)一次項(xiàng)系數(shù)，百位區(qū)對應(yīng)二次項(xiàng)系數(shù)，以此類推，可以把多項(xiàng)式乘法轉(zhuǎn)化為進(jìn)位前的多位數(shù)乘法形式.由于多項(xiàng)式中非同類項(xiàng)系數(shù)之間不能合并，與其對應(yīng)的整數(shù)乘法各數(shù)位區(qū)之間不發(fā)生進(jìn)位即可.

3.2? 格子乘法（不進(jìn)位形式）應(yīng)用于多項(xiàng)式乘法

（1）格子乘法（不進(jìn)位形式）用于計算多項(xiàng)式乘法.

多項(xiàng)式乘法非同類項(xiàng)系數(shù)之間不產(chǎn)生進(jìn)位，因此格子乘法計算多項(xiàng)式乘法時，只需借助其不進(jìn)位形式.如（x2+x+2）×（2x2+3x+2）：

圖7

根據(jù)多項(xiàng)式乘法和多位數(shù)乘法的對應(yīng)關(guān)系，萬位線對應(yīng)4次項(xiàng)系數(shù)，千位線對應(yīng)3次項(xiàng)系數(shù)，百位線對應(yīng)2次項(xiàng)系數(shù)，十位線對應(yīng)1次項(xiàng)系數(shù)，個位線對應(yīng)常數(shù)項(xiàng)，得（x2+x+2）×（2x2+3x+2）的結(jié)果為2x4+5x3+9x2+8x+4.

（2）格子乘法用于直觀理解多項(xiàng)式乘法的計算公式.

相比較橫式、豎式等乘法形式，格子乘法中的矩陣形式更具有直觀性，有助于各種乘法公式的直觀理解和快速記憶.如下：

圖8? 用格子乘法直觀理解各種乘法公式

這里的格子乘法（運(yùn)算表）雖然在形式上類似于面積圖法，但其本質(zhì)上是一種矩陣形式，其優(yōu)勢在于數(shù)的大小和正負(fù)性不需要和線段長短建立對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)用時局限性更小.

3.3? 十字相乘法應(yīng)用于多項(xiàng)式乘法

（1）十字相乘法用于計算二項(xiàng)式乘法.

整數(shù)中的十字相乘法可以遷移到中學(xué)，用于快速計算二項(xiàng)式乘法.如（x+4）×（x+2）可以類比14×12的計算過程，用十字相乘法展開：

圖9

（2）十字相乘法用于理解多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算——因式分解.

理解的程度信賴于新知識與認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間聯(lián)系的多與少、強(qiáng)與弱［4］，而由于學(xué)生原有的乘法經(jīng)驗(yàn)中缺少十字相乘法，所以在學(xué)習(xí)十字相乘法分解因式時，學(xué)生往往知其然，不知其所以然.

圖10ax2+bx+c中，如果二次項(xiàng)系數(shù)a=a1×a2，常數(shù)項(xiàng)c=c1×c2，而a1c2+a2c1恰等于一次項(xiàng)系數(shù)b，則有ax2+bx+c=（a1x+c1）×（a2x+c2），這種因式分解的方法稱為十字相乘法，如圖10.

其中，左側(cè)相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右側(cè)相乘等于常數(shù)項(xiàng)，中間交叉相乘再相加可得一次項(xiàng)系數(shù).追根溯源后，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這個過程和之前整數(shù)（整式）乘法中的十字相乘計算方式是一種互逆關(guān)系，進(jìn)而在其基礎(chǔ)上理解十字相乘法因式分解的原理以及產(chǎn)生源頭：既然十字相乘法可以用于整數(shù)乘法、整式乘法，也當(dāng)然能用于整式乘法的逆運(yùn)算——因式分解.

3.4? 綜合運(yùn)用豎式乘法、格子乘法、十字相乘計算多項(xiàng)式乘法

以（5a+2b）×（3a+b）為例，除了基本的橫式計算，可遷移運(yùn)用整數(shù)乘法中豎式乘法、格子乘法、十字相乘法等，實(shí)現(xiàn)算法多樣性和運(yùn)算高效性，如下：

圖11

顯然，以上多種計算方式都可得出（5a+2b）×（3a+b）=15a2+11ab+2b2.

算術(shù)教學(xué)中可由過程性觀點(diǎn)向結(jié)構(gòu)性觀點(diǎn)做必要轉(zhuǎn)變，代數(shù)即概括［4］.整體把握數(shù)到式的遷移學(xué)習(xí)過程，可以從算術(shù)運(yùn)算中概括其代數(shù)結(jié)構(gòu)和本質(zhì)算理.從這個角度，多位數(shù)乘法看作是多項(xiàng)式乘法的算術(shù)形式，而多項(xiàng)式乘法蘊(yùn)含了多位數(shù)乘法背后所遵循的代數(shù)原理，建立兩者之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，有助于實(shí)現(xiàn)算術(shù)思維和代數(shù)思維的過渡，而學(xué)生長期積累的算術(shù)經(jīng)驗(yàn)和方法技巧也可以有效遷移到代數(shù)學(xué)習(xí)中，進(jìn)而降低代數(shù)運(yùn)算難度.

參考文獻(xiàn)

［1］王麗娜.兩位數(shù)相乘的簡捷算法［J］.珠算與珠心算，2017（04）：22-24.

［2］劉令，徐文彬.我國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)史料的分析與批判［J］.全球教育展望，2008（07）：87-91.

［3］楊俊林.例談靈活解決數(shù)學(xué)問題的心理機(jī)制及教學(xué)對策［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2012（20）：10-12，14.

［4］鄭毓信.算術(shù)與代數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系［J］.小學(xué)教學(xué)研究，2011（19）：11-14.

作者簡介? 牛延凱（1987—），男，山東淄博人，中學(xué)一級教師，淄博市教學(xué)能手;多次主持和參與省市級課題;主要研究中小學(xué)數(shù)學(xué)的核心知識與結(jié)構(gòu)化教學(xué)，發(fā)表論文10余篇.

李倩（1985—），女，山東淄博人，中學(xué)一級教師，淄博高新區(qū)教學(xué)能手、教學(xué)工作先進(jìn)個人;多次參與省市級課題研究;主要研究數(shù)學(xué)教學(xué)與評價.