從一則教學(xué)案例談數(shù)學(xué)課堂的深度追問策略

沃忠波 張良江

基金項(xiàng)目? 浙江省2022年教研課題“初中數(shù)學(xué)漸進(jìn)式‘再發(fā)現(xiàn)的教學(xué)策略研究”（G2022066）.

【摘? 要】? 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》建議，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)采用容易引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式.如何引發(fā)學(xué)生思考？漸進(jìn)式深度追問是一個(gè)很好的實(shí)施途徑.有效的引導(dǎo)與點(diǎn)撥是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展、形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的助推器.

【關(guān)鍵詞】? 深度追問；深度學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)；思維發(fā)展

1? 引言

近日，筆者受邀聽取了一節(jié)青年教師的賽課試教課，內(nèi)容為浙教版八年級下冊“4.5三角形的中位線”.本節(jié)課的主要內(nèi)容為：三角形中位線概念的形成→中位線定理的發(fā)現(xiàn)與證明→中位線定理的簡單應(yīng)用.教者基本把握住了上述三個(gè)環(huán)節(jié)，但在概念的形成及定理的發(fā)現(xiàn)環(huán)節(jié)中，教者對如何進(jìn)行有效的引導(dǎo)與點(diǎn)撥以引發(fā)學(xué)生思考這一方面似乎力不從心.課后，筆者就自己的觀課所想與教者進(jìn)行了詳盡的交流并提出了一些建議. 現(xiàn)筆者結(jié)合部分聽課記錄和自身的日常教學(xué)實(shí)踐，以及由此而引發(fā)的思考整理成文，與同行交流，期冀指正.

2? 一則教學(xué)案例及其教學(xué)分析

2.1? 案例呈現(xiàn)

案例1? 教者試圖通過將一張三角形紙片剪拼成平行四邊形來引出三角形中位線的概念以及對三角形中位線定理的發(fā)現(xiàn).

師：如圖1，能否將一張三角形紙片ABC剪成兩部分，然后把這兩部分拼成一個(gè)平形四邊形？說說你打算怎樣剪，怎樣拼？畫出（或折出）剪切線.

生：如圖2，折疊△ABC得到△AEF，沿著折痕EF剪下來，再將△AEF拼到右下方的位置.

師：EF是怎樣得來的？你是怎樣折的？

生：我把點(diǎn)A折到BC上的點(diǎn)D處，就可以得到折痕EF了.

師：哦，這樣折的話，EF不一定水平，可能會斜的（教師的意思是EF不與BC平行）.

生：EF和BC可以折成平行的.

師：怎樣折成平行呢？

生：……

師：老師來折給大家看吧.

圖1????????? 圖2

2.2? 教學(xué)分析

上述教學(xué)場景，是教者獨(dú)立備課后的第一次試課.筆者指出此處教師的引導(dǎo)（尤其是教者的追問）不甚得法，以致學(xué)生茫然無措，有較大的改進(jìn)空間.首先教者的教學(xué)意圖并沒有實(shí)現(xiàn)，教學(xué)目標(biāo)遠(yuǎn)沒有達(dá)成；另一方面學(xué)生的表現(xiàn)也近似于“茶壺煮餃子，有嘴倒（道）不出”，學(xué)習(xí)積極性及探究欲望遭到了一定的挫傷.筆者以為：教者只有在洞悉學(xué)生問題所在的前提下，才有可能做好有效的引導(dǎo)與點(diǎn)撥.就此案例而言，至少有以下的問題需要教師及時(shí)地予以引導(dǎo)，①將△AEF拼到右下方，怎樣做到△AEF的一邊和CF重合？重合的應(yīng)該是哪一邊？②怎樣折（剪）可以使得折痕EF∥BC；③在保證EF∥BC且△AEF 的某一邊與CF重合的前提下，是否能保證點(diǎn)E，F(xiàn)，G共線.上述問題，學(xué)生未必完全不清楚，只是教師沒有提供適宜的機(jī)會.或者說，如何使學(xué)生能較精準(zhǔn)地表述自己的想法，有賴于教師的適時(shí)適境切情切意的引導(dǎo).教師的引導(dǎo)應(yīng)致力于引發(fā)學(xué)生的自主思考，而有效的引導(dǎo)，則依賴于漸次展開的連續(xù)追問.在正式賽課的過程中，教者在此環(huán)節(jié)有以下的呈現(xiàn)：

……

追問1：如圖2，你把△AEF拼到右下方，和CF重合的是哪一邊？

生：是AF.

追問2：這樣看來，AF與CF應(yīng)該相等，那么此時(shí)點(diǎn)F應(yīng)是怎樣的點(diǎn)？

生：點(diǎn)F是AC的中點(diǎn).

追問3：大家是否還發(fā)現(xiàn)？若使四邊形BCGE是平行四邊形，EF與BC應(yīng)該有怎樣的位置關(guān)系？

生：EF與BC應(yīng)該平行.

追問4：怎樣折能夠保證EF與BC平行？

生：先把點(diǎn)A折到BC上，EF與BC就平行了.

追問5：如圖3，這樣折，你認(rèn)為EF與BC一定平行嗎？

生：……

追問6：我們來看，如果點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，EF是折痕，此時(shí)EF與AD有怎樣的位置關(guān)系？

生：EF⊥AD.（對稱軸垂直平分對稱點(diǎn)連成的線段）

追問7：很好，既然EF與AD垂直，又要求EF與BC平行，那么AD與BC應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？

生：AD應(yīng)與BC垂直.

追問8：就是說AD應(yīng)該是BC邊上的高嘍，那么怎樣折出BC邊上的高呢？

生：……如圖4，沿AD將△ABC折疊，使BD與CB重合.此時(shí)，AD就是BC邊上的高.??? 圖3??????? 圖4

師：太好了，現(xiàn)在來回顧一下折圖的過程，第一步？

生：先折出BC邊上的高AD，再折疊△ABC，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，得折痕EF，最后沿著EF剪下來按圖2的方式進(jìn)行拼接.

追問9：問題又來了，這樣折出來的AF與CF能重合嗎（點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)嗎）？怎么來說明？

生：……

追問10：據(jù)圖5（AD是高），在Rt△ACD中，DF由AF折疊所得，DF與AF有怎樣的關(guān)系？由∠ADC=90°又可以有哪些發(fā)現(xiàn)？圖5

生：DF=AF，可得∠1=∠2；由∠ADC=90°可得∠1+∠C=∠2+∠3=90°，所以∠C=∠3，得DF=CF，從而DF=CF=AF，即F是AC的中點(diǎn).同理，點(diǎn)E也是AB的中點(diǎn).

追問11：現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，且EF∥BC.接下來四邊形BCGE是平行四邊形嗎？怎樣證明呢？

……

至此，引出三角形中位線的概念，探究和發(fā)現(xiàn)了中位線的性質(zhì)定理“平行且等于第三邊的一半”，并隨后完成了定理的證明.

姑且不論，這種用三角形紙片進(jìn)行折疊剪拼的方式來引出三角形中位線的概念并由此發(fā)現(xiàn)中位線的性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)是否恰當(dāng)、是否簡捷高效，單從改進(jìn)后的呈現(xiàn)情況來看，應(yīng)該說教師的追問設(shè)計(jì)取得了較好的效果.在教師的漸次追問中，學(xué)生的思路漸次清晰，思維漸次打開，數(shù)學(xué)表達(dá)漸入佳境.

3? 深度追問的主旨與方向

數(shù)學(xué)課堂中，教師如何適時(shí)地洞悉學(xué)生的問題所在并針對性地有效追問，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光、激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考以及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，筆者近年進(jìn)行了基于漸進(jìn)式“再發(fā)現(xiàn)”的教學(xué)實(shí)踐探索.

3.1? 相關(guān)概念界定

所謂“漸進(jìn)式”，指在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為解決某個(gè)（某類）問題而將教學(xué)環(huán)節(jié)按照一定的步驟逐漸由淺入深來進(jìn)行，使學(xué)生能夠深度掌握數(shù)學(xué)各類概念和公式、定理等，并能夠熟練地應(yīng)用它們解答各類數(shù)學(xué)問題的一種教學(xué)設(shè)計(jì).此處僅指為解決相關(guān)問題而設(shè)計(jì)的系列“追問”，這些“追問”往往由一系列存在一定內(nèi)在邏輯聯(lián)系，一步一步逼近問題的知識本質(zhì)及知識本源的問題串組成.

所謂“再發(fā)現(xiàn)”，此處特指數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”，是指通過適宜教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生模擬或仿照數(shù)學(xué)家的思考方式，主動地、自發(fā)地探究出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理及解題思路等等.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中明確指出，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)努力促使學(xué)生“能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實(shí)情境所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)‘再發(fā)現(xiàn)的過程”［1］6.如何讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”？筆者以為漸進(jìn)式的深度追問，是較為有效的實(shí)施途徑.

3.2? 漸進(jìn)式深度追問的設(shè)計(jì)基點(diǎn)

雖然說，課堂的追問是即時(shí)生成的，因時(shí)而異，因境而異，但這并不代表課堂追問不可進(jìn)行課前“預(yù)設(shè)”.因?yàn)橐话銇碇v，需要連續(xù)追問之處，往往是問題情境較復(fù)雜、學(xué)生理解較困難之處.而這些地方無一例外地都需要教師引導(dǎo)學(xué)生把它們拆解成一個(gè)個(gè)子問題.正是在教師的漸近式深度追問中逐步解決一個(gè)個(gè)子問題，從而最終實(shí)現(xiàn)對母問題的解決.從這個(gè)意義上講，漸進(jìn)式深度追問，不僅可以預(yù)設(shè)，而且應(yīng)該有所預(yù)設(shè)，其目的在于使教師的提問（追問）時(shí)時(shí)處于學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”.漸進(jìn)式深度追問的展開路徑如圖6所示.

圖6

注? 目標(biāo)隱藏在主題與情境之后，通過序列的漸進(jìn)性問題引發(fā)學(xué)生探究與思考，漸進(jìn)問題的序號數(shù)越小，距離目標(biāo)越遠(yuǎn)，反之則越近.目標(biāo)有顯性（明確）的，也有隱性（不明確的或即時(shí)生成的）的.

漸進(jìn)式的深度追問，首先應(yīng)基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯體系.其次應(yīng)基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)（最近發(fā)展區(qū)）及認(rèn)知規(guī)律和思維規(guī)律，以“能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式”［1］86為設(shè)計(jì)方向，以“充分暴露學(xué)生的思維過程為指導(dǎo)原則”［2］.

4? 深度追問的場域選擇

漸進(jìn)式的深度追問在課堂上起主導(dǎo)和支撐作用，能從整體上促進(jìn)和引發(fā)學(xué)生深度思考；這些系列的深度追問又像一個(gè)個(gè)航標(biāo)，更像一座座橋梁，導(dǎo)引著學(xué)習(xí)的路徑和進(jìn)程，促使學(xué)生在完成對學(xué)習(xí)任務(wù)深入探究的同時(shí)實(shí)現(xiàn)相關(guān)的知識建構(gòu)與能力和思想方法的躍升；最終通過漸進(jìn)的深度追問層層遞進(jìn)地實(shí)現(xiàn)問題解決，并能夠遷移應(yīng)用.在此過程中，教學(xué)目標(biāo)逐步達(dá)成、學(xué)生分析問題解決問題等關(guān)鍵能力得到提升、基于發(fā)展思維為核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)在潛移默化中得到熏陶和發(fā)展，如圖7.具體地來講，激進(jìn)式的深度追問可以發(fā)生在以下場域.

圖7

4.1? 在概念引申及定理拓廣處深度追問

數(shù)學(xué)概念的抽象與概括過程，是一個(gè)漸次展開與上升的過程.從概念的形成與歸納概括，到辨析與應(yīng)用以及深加工的過程等，都應(yīng)該從學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，利用數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯力量，通過舊知的自然生長或類比、或特殊化、或一般化，對概念要素作具體界定，讓學(xué)生通過對概念的正例、反例的辨析，更準(zhǔn)確地把握概念的內(nèi)涵與外延.同樣，數(shù)學(xué)原理尤其是幾何定理因其推理論證的嚴(yán)密性，歷來是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和邏輯推理能力的最好載體.楊樂［3］院士曾指出：“平面幾何的內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)推理的能力，直觀想象能力，分析問題的能力，有不可替代的作用……”許多幾何概念的深化及原理的揭示與本質(zhì)挖掘是實(shí)施深度追問，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的優(yōu)良素材.

案例2? 圓周角概念的引申與定理的拓廣.

追問1：如圖8，我們已經(jīng)證明了圓周角∠BAC=m12BC.根據(jù)圓周角的定義“頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交”，大家認(rèn)為如果頂點(diǎn)不在圓上，會出現(xiàn)怎樣的一種角呢？畫圖試試.

追問2：我們把圖9中的∠BAC稱為“圓內(nèi)角”，把圖10中的∠BAC稱為“圓外角”，它們的度數(shù)與其所對的弧的度數(shù)有關(guān)系嗎？會有怎樣的關(guān)系呢？?? 圖8??????? 圖9

追問3：圓內(nèi)角雖然不再是圓周角，但是既然我們已經(jīng)知道了圓周角與其所對弧的度數(shù)之間的關(guān)系，是否可以轉(zhuǎn)化成圓周角與其所對弧之間的關(guān)系呢？

追問4：如圖11，將圓周角∠BAC的一邊AC旋轉(zhuǎn)至切線位置，此時(shí)∠BAC的度數(shù)與其所夾的BC度數(shù)之間有何關(guān)系？你是如何思考的？（弦切角是圓周角的極端狀態(tài)，弦切角定理是圓周角定理的自然延伸和特例）

……

圖10??????? 圖11

本案例基于研究幾何對象的一般觀念，將概念按特殊化、一般化的方向使概念自然生長，以引出新的研究對象，同時(shí)將新舊對象納入統(tǒng)一的知識系統(tǒng)中.教師以問題發(fā)現(xiàn)開放、路徑開放等方式，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)出自身的知識儲備與方法經(jīng)驗(yàn)，向知識的縱深方向進(jìn)行探尋，發(fā)展思維廣度，形成和強(qiáng)化了學(xué)科素養(yǎng).

4.2? 在疑難點(diǎn)化解與突破處深度追問

難點(diǎn)是學(xué)生的認(rèn)知困惑點(diǎn)、理解障礙點(diǎn)和方法的盲點(diǎn).面對疑難點(diǎn)，學(xué)生往往缺少解決問題的信心，找不到探究的方向.教師精準(zhǔn)把握疑難點(diǎn)，以系列的深度追問驅(qū)動教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過問題驅(qū)動學(xué)生在聯(lián)想類比、質(zhì)疑和討論中嘗試解決問題，逐步完善解題思路，實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)的化解與突破.

案例3? 拋物線上的三角形最大面積的探求［4］.

拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.在AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

此類問題是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)難點(diǎn).如果教者這樣處理：在AC上方的拋物線上取點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a2-2a+3），把△PAC的面積表示成a的二次函數(shù)，利用公式法或配方法求出最大值即可.

這，當(dāng)然可以作為一種方式！然而這樣不僅不利于學(xué)生自主探究精神和能力的培養(yǎng)，而且會使解題思考過程變得索然無味！我們可以作以下的漸進(jìn)式深度追問：

追問1：如圖12，在AC上方的拋物線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)與A，C構(gòu)成的無數(shù)個(gè)三角形的面積都相等嗎？

追問2：△PAC的邊AC是定值，那么此三角形的面積大小與點(diǎn)P的位置到底是怎樣的一種關(guān)系？（根據(jù)三角形的面積等于“底與高的積的一半”可知與點(diǎn)P到AC的距離大小有關(guān)，距離越遠(yuǎn)，面積越大；反之亦然）

追問3：點(diǎn)P到AC的距離何時(shí)最大？你能描述此時(shí)點(diǎn)P的位置狀態(tài)嗎？（點(diǎn)P為平行于AC且與AC上方的拋物線段有且僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的那個(gè)交點(diǎn)，如圖13）圖12??????? 圖13

追問4：兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)一般怎么求？此處的唯一交點(diǎn)的坐標(biāo)如何求？

這樣的漸進(jìn)追問，似乎在學(xué)生的面前呈現(xiàn)出一幅“一粒種子吸收水分、空氣和陽光，逐步茁壯成長”的動態(tài)生長過程，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具生命色彩.諸如此類的探究過程，利于學(xué)生逐步體悟 “知其然” “知其所以然” “何由知其所以然”，提升了分析、解決問題的能力，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維.

4.3? 在方法總結(jié)和思想提煉處深度追問

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)方法，支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動. 數(shù)學(xué)思想方法形成于知識學(xué)習(xí)的過程之中，如對概念的理解、問題的探究、結(jié)論的提煉、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)等.然而，數(shù)學(xué)思想方法不會自動形成，需要教師適時(shí)有效地引導(dǎo)．在適宜的情境中，通過漸進(jìn)式的深度追問引導(dǎo)學(xué)生提煉一些思想方法，是指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的重要著力點(diǎn)，是提高學(xué)生思維品質(zhì)，提升分析問題和解決問題能力的重要途徑.

案例4? 一元二次方程根的分布及字母系數(shù)的范圍［5］.

已知關(guān)于x的方程2x2-（m+1）x-m=0的一個(gè)根在1和2之間（不包括1，2）另一根小于1，求m的取值范圍．

根據(jù)一個(gè)根在1和2之間，想到利用求根公式x1，2=m+1±m(xù)2+10m+14，依題意有

1＜m+1+m2+10m+14＜2，m+1-m2+10m+14＜1.? （顯然，此不等式組解起來十分困難，或許本題的求解將無功而返）

追問1：這個(gè)不等式組你愿意解嗎？你會解嗎？（涉及二次連續(xù)不等式，運(yùn)算極其繁雜，不僅易錯(cuò)而且有超綱之嫌）

追問2：方程2x2-（m+1）x-m=0的左邊容易讓我們聯(lián)想到什么？（聯(lián)想到二次函數(shù)）

追問3：由一元二次方程的根可以讓我們聯(lián)想到二次函數(shù)的什么內(nèi)容？（二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）

圖14

追問4：一個(gè)根在1和2之間（不包括1，2）另一根小于1，從二次函數(shù)的角度可以怎樣理解？畫圖象試試.（令f（x）=2x2-（m+1）x-m，畫示意圖，如圖14）

追問5：根據(jù)圖象，請你判斷f（1），f（2）的符號，此刻你又有怎樣的想法？

以下學(xué)生得出f（1）＜0，f（2）＞0．于是

2×12-（m+1）×1-m＜0，2×22-（m+1）×2-m>0.

解得? m>12，m＜2.? 所以12＜m＜2．

通過構(gòu)造二次函數(shù)圖象，把一個(gè)基本解決不了（甚至是不可能完成）的問題很輕松地解決了，“絕處逢生”“柳暗花明”，時(shí)時(shí)處處體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化化歸”的數(shù)學(xué)思想方法，尤其數(shù)形結(jié)合思想的適時(shí)運(yùn)用也令人耳目一新.學(xué)生在潛移默化中受到了數(shù)學(xué)思想方法的滋養(yǎng)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展．

4.4? 在思維深化和素養(yǎng)形成處深度追問

數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過，讀數(shù)學(xué)要“從薄到厚，再從厚到薄”.教學(xué)中，我們應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生，深入挖掘，實(shí)現(xiàn)“從薄到厚”，在概括提煉中實(shí)現(xiàn)“從厚到薄”.學(xué)生囿于知識水平和學(xué)習(xí)能力的局限，往往不能從一些表面現(xiàn)象中快速地提取出問題的本質(zhì)，這就是尚未實(shí)現(xiàn)“從厚到薄”的具體表現(xiàn).此時(shí)，教師的適恰引導(dǎo)便顯得尤為及時(shí)與重要，否則可能會使學(xué)生長期處于“黑暗”與“懵懂”之中.這樣，學(xué)生擁有的知識是零碎的、松散的.長此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率低，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升也無從談起.

案例5? 平行線在等角轉(zhuǎn)換中的深層作用［6］.

教師引導(dǎo)學(xué)生探究出了圖15中∠1—∠4及∠P這5個(gè)角之間的部分?jǐn)?shù)量關(guān)系：如∠1+∠3=∠P，∠2+∠4+∠P=360°等等. （具體做法是過點(diǎn)P作直線MN∥a，進(jìn)而由a∥b得a∥MN∥b，于是角之間的關(guān)系明朗化）

圖15??????? 圖16

追問1：對這類平行線被折線所截的問題，你有何解題經(jīng)驗(yàn)？（過折點(diǎn)添加平行線）

追問2：“平行線遇折線，則過折點(diǎn)添加平行線”總結(jié)得很好，那么大家能否說說這里添加的平行線起到了怎樣的作用？（構(gòu)造出新的“三線八角”）

至此，問題應(yīng)該可以暫告段落了.因?yàn)閱栴}本身既得到了較好的解決，而且也及時(shí)地、不失高度地總結(jié)了方法，積累了經(jīng)驗(yàn).然而，筆者意猶未盡，平地驚雷！

追問3：構(gòu)造了新的“三線八角”固然對，但它僅僅是我們看到的“表面”，你能說出這里添加了的平行線到底起了怎樣的作用嗎？（出現(xiàn)了相等的同位角、相等的內(nèi)錯(cuò)角等等）

追問4：從圖16中我們可以看出∠1=∠5，∠3=∠6，所以∠1+∠3=∠5+∠6，相當(dāng)于將∠1和∠3通過平行線的等角性質(zhì)“搬到”∠5和∠6的位置，然后再與∠P相比較，那么在“∠2+∠4+∠P=360°”這一關(guān)系中是否也具有上述特點(diǎn)？

（∠2=∠7，∠4=∠8，∠2+∠4+∠P實(shí)際上就是∠7+∠8+∠5+∠6，形成一個(gè)平角，為360°）

追問5：現(xiàn)在你能歸納“平行線遇折線，則過折點(diǎn)添加平行線”這一思路的實(shí)質(zhì)嗎？（通過添加平行線，將原先分散的各相關(guān)角轉(zhuǎn)移成共頂點(diǎn)的角）

在此基礎(chǔ)上，如圖17，對于三角形的外角和，可以在三角形所在的平面內(nèi)任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)分別作三邊的平行線，圖中的兩個(gè)∠1，各自的兩邊分別平行（一個(gè)交的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，此處為相等），所以這兩個(gè)∠1相等，∠2，∠3同理.于是三角形的三個(gè)外角∠1，∠2，∠3通過添加平行線之后改變位置“拼”成了一個(gè)周角，因此三角形外角和等于360°. 如圖18，同理可得五邊形的外角和為360°，推而廣之可知n邊形的外角和等于360°.? 圖17??????? 圖18

我們不能僅滿足于教會學(xué)生解一道題，而更應(yīng)教給學(xué)生能將內(nèi)隱于數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想方法予以挖掘和提煉，這才是“授人以漁”之道.課堂教學(xué)中，教師的點(diǎn)撥，是為了激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生積極參與到教學(xué)過程中來，開展邏輯思維活動和形成基本技能而進(jìn)行“搭橋、鋪路、導(dǎo)航”.教師要善于在學(xué)生的疑難處、困惑處、方向不明處發(fā)起追問.通過指向目標(biāo)的漸次追問能疏通學(xué)生的思路，并把學(xué)生獲取的感性知識升華至理性，促使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”，使學(xué)習(xí)走向深入，使學(xué)生的認(rèn)知過程得以升華.

5? 結(jié)束語

與普通的課堂提問相比，漸進(jìn)式深度追問的功能在于充分地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，其具有鮮明的層次性、引導(dǎo)性、生長性、目的性和針對性.教師基于適宜的情境，以漸進(jìn)的深度追問讓學(xué)生在不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程中提升“四能”，進(jìn)而逐步形成和落實(shí)“三會”，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科育人價(jià)值. 就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，教師的根本任務(wù)在于如何將數(shù)學(xué)“冰冷美麗”的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為具有“火熱思考”的教育形態(tài)［7］，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”，像數(shù)學(xué)家當(dāng)初創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理那樣進(jìn)行思考，重演數(shù)學(xué)概念的形成與建立、數(shù)學(xué)原理的揭示過程、數(shù)學(xué)問題的解決過程等，讓學(xué)生在此過程中經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維方法的熏陶，得益于數(shù)學(xué)思想方法的啟迪，全面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).就初中數(shù)學(xué)教師而言，具有基于“理解教材”“理解學(xué)生”“理解數(shù)學(xué)”的問題設(shè)計(jì)能力，這是能夠在課堂中實(shí)施深度追問，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要前提與保證.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］張乃達(dá).充分暴露數(shù)學(xué)思維過程是數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)原則［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，1987（03）：6-11.

［3］楊樂.談?wù)剶?shù)學(xué)的應(yīng)用與中學(xué)數(shù)學(xué)教育［J］.課程·教材·教法，2010，30（03）：3-9.

［4］張良江.未成曲調(diào)先聞聲?? 一問一答總關(guān)情［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2017（07）：20-23.

［5］張良江.一道數(shù)學(xué)趣題的聯(lián)想：例談巧構(gòu)圖形（圖像）解代數(shù)題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（03）：82-84.

［6］張良江.適時(shí)適境? 切情切意：數(shù)學(xué)課堂中教師的主導(dǎo)作用芻議［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2023（03）：25-28，封底.

［7］張奠宙.微積分教學(xué)：從冰冷的美麗到火熱的思考［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2006（02）：2-4.

作者簡介

沃忠波（1974—），男，浙江寧波人，中學(xué)高級教師，浙江省寧波市學(xué)科骨干教師;主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究;發(fā)表文章多篇.

張良江（1969—），男，安徽合肥人，中學(xué)正高級教師; 指導(dǎo)多名青年教師在地市級、省、國家級優(yōu)質(zhì)課評比中獲佳績;主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)及青年教師素養(yǎng)提升研究;發(fā)表論文30余篇.