微球殼在三維剪切流中的變形特性

張世昌 廖文博 陳鵬舉 沈冠東

DOI：10.20031/j.cnki.0254?6094.202403015

摘 要 利用雙向流固耦合的模擬方法，對三維剪切流中不同幾何參數(shù)的空心球殼和載液球殼的變形特性進(jìn)行分析。研究發(fā)現(xiàn)，球殼在變形的同時伴隨著旋轉(zhuǎn)，且球殼上存在著交變應(yīng)力，交變頻率取決于球殼旋轉(zhuǎn)速度?？招那驓は噍^于載液球殼變形更顯著，旋轉(zhuǎn)速度更快。

關(guān)鍵詞 微球殼 流固耦合 變形 旋轉(zhuǎn) 交變應(yīng)力

中圖分類號 TQ050.3?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A?? 文章編號 0254?6094（2024）03?0433?07

Deformation Characteristics of the Miniature Spherical Shell in

Three?dimensional Shear Flow

ZHANG Shi?chang1， LIAO Wen?bo1，CHEN Peng?ju1， SHEN Guan?dong1，2

（1. School of Mechanical and Power Engineering，Nanjing Tech University;

2. Graduate Students Division， Yancheng Teachers University）

Abstract? Making use of bidirectional fluid?structure coupling simulation to analyze? deformation characteristics of hollow spherical shells and liquid?loaded spherical shells with different geometric parameters in three?dimensional shear flow was implemented. The results show that， the rotation accompanies the deformation of the spherical shell and alternating stress exists on the spherical shell， and the alternating frequency depends on the rotation speed of the spherical shell. The hollow spherical shells deformation is more significant and the rotation speed is faster than that of the liquid?carrying spherical shell.

Key words?? miniature spherical shell， fluid?solid coupling， deformation， rotation， alternating stress

作者簡介：張世昌（1995-），碩士研究生，從事流固耦合的研究，mrzhangshichang@163.com。

引用本文：張世昌，廖文博，陳鵬舉，等.微球殼在三維剪切流中的變形特性[J].化工機(jī)械，2024，51（3）：433-439.

球殼結(jié)構(gòu)具有良好的承載性能，能以較小的厚度承受較大的荷載，同時具有良好的穩(wěn)定性。無論是大尺度球殼還是微尺度球殼，在工程中的應(yīng)用都十分廣泛，常用作儲存容器、保護(hù)殼、建筑物或其他構(gòu)件。例如，微膠囊作為一種微型球殼結(jié)構(gòu)，在化工、儲能、傳熱及生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有著重要作用。無論是空心球殼亦或是載液球殼，受殼體自身幾何尺寸及所處流場環(huán)境的影響，可能會發(fā)生變形、旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而產(chǎn)生交變應(yīng)力，引起殼體的疲勞失效。研究人員對球殼結(jié)構(gòu)在流場中的研究主要集中于細(xì)胞、微膠囊[1，2]等微球形結(jié)構(gòu)在流場中的變形特性。細(xì)胞和微膠囊都屬于微球殼結(jié)構(gòu)，皆由球形外殼或膜與內(nèi)部物質(zhì)構(gòu)成。因此，研究時通常將其視為彈性球殼[3，4]，以分析其在流場中的變化?？傊?，由于懸浮在流場中的固體球殼既無固定支撐，又存在運(yùn)動和變形的耦合，理論和試驗(yàn)研究的難度較大，因此對其相關(guān)研究較少。

對于空心球殼在剪切流場中的變形，BARTH?S?BIESEL D建立了單個球形空殼在簡單剪切流和平面雙曲流中的模型，使用初始預(yù)應(yīng)力來評估球殼結(jié)構(gòu)的機(jī)械性能[5];POZRIKIDIS C建立了球殼變形的數(shù)值計(jì)算方法，研究了剪切流中彎曲剛度對變形的影響[6];DE LOUBENS C等在線彈性條件下通過兩個交叉實(shí)驗(yàn)分別獲取了剪切流場中彈性空殼的剪切模量及體積模量，揭示了球殼變形時的力學(xué)性能[7]。

對于載液球殼在剪切流中的變形，相關(guān)研究初始是將囊體視為由超彈性膜包裹的液滴，遵循SKALAK R定律[8]。在此基礎(chǔ)上，BARTH[?]S?BIESE L D和RALLISON J M根據(jù)黏性應(yīng)力引起彈性膜隨時間變化的變形方程，研究了自由懸浮在線性剪切流中膠囊的變形[9];POZRIKIDIS C等研究了液體膠囊在剪切流作用下的瞬態(tài)變形，討論了變形時彈性膜的失效[10，11];RAMANUJAN S和POZRIKIDIS C通過將彈性膜簡化成彈性球殼進(jìn)行研究，得到了彈性球殼變形隨剪切速率的變化規(guī)律[12];MA J等使用直接數(shù)值法研究了球形或扁球形無應(yīng)力狀態(tài)的球殼動態(tài)變化，發(fā)現(xiàn)球殼變形后呈現(xiàn)相對穩(wěn)定的外形，加深了人們對微球殼結(jié)構(gòu)的認(rèn)知[13]。

綜上，已有研究對球殼動力學(xué)行為進(jìn)行了較為系統(tǒng)的分析，但是還缺乏對球殼變形的參數(shù)化表征。筆者采用雙向流固耦合方法[14]，綜合考慮幾何與操作參數(shù)影響，研究球殼變形規(guī)律，為工程應(yīng)用提供理論參考。

1 三維剪切流中的球殼數(shù)值分析模型

1.1 幾何模型及邊界條件

如圖1所示，建立一個由球殼作為固相、流體作為液相的三維模型。球殼具有一定的厚度，懸浮在長方體流體域中心，其內(nèi)部可以空心，也可以載液。流體域上下各有一塊平板，兩板平行，兩板間充滿有黏不可壓縮的牛頓流體，取流體域尺寸為x=20 mm，y=10 mm，z=10 mm。

流體域上側(cè)（y=5 mm）和下側(cè)（y=-5 mm）為無速度滑移邊界。當(dāng)上、下兩平板以相同速度大小、相反的方向持續(xù)移動時，由于黏性作用，邊界處的流體與平板同速度流動。流體域前側(cè)（z=5 mm）和后側(cè)（z=-5 mm）設(shè)置為一對周期性邊界條件，左側(cè)（x=-10 mm）和右側(cè)（x=10 mm）亦設(shè)置為周期性邊界條件。當(dāng)兩平行板以固定速度持續(xù)運(yùn)動時，可產(chǎn)生穩(wěn)定的三維剪切流場[15]。球殼內(nèi)部無載液時，球殼外表面與接觸的流體設(shè)置為耦合面;若球殼內(nèi)部有載液，球殼內(nèi)外表面與接觸的流體均設(shè)置為耦合面。

1.2 基本假設(shè)及理論模型

模型中，球殼采用各向同性線彈性材料，在建立固體域方程時，作出以下5個基本假設(shè)，即連續(xù)性假設(shè)、均勻性假設(shè)、各向同性假設(shè)、完全彈性假設(shè)、小變形假設(shè)。

1.2.1 流體域方程

采用流體連續(xù)介質(zhì)模型，流場的控制方程采用N?S方程，其控制方程可表示為：

+▽·（ρv2-τ）=f （1）

流體域質(zhì)量守恒方程：

+▽·（ρv）=0?? （2）

式中 f——流體體積力矢量;

t——時間;

v——流體速度矢量;

ρ——流體密度。

τ表示流體剪切力張量，其表達(dá)式為：

τ=（-p+μ▽·v）I+2μe??? （3）

e=（▽v+▽vT）

式中 e——速度應(yīng)力張量;

p——流體壓力;

μ——動力黏度。

本問題中，球殼雷諾數(shù)表達(dá)式為：

Re=??? （4）

式中 d——球殼的外徑;

U——特征速度，這里取未放置球殼時流場

的截面平均速度。

通過計(jì)算得到，雷諾數(shù)為1左右，由此可知，流體的慣性力遠(yuǎn)小于流體的黏性力，可以忽略。

1.2.2 固體域方程

當(dāng)球殼受到流體的剪切力時，其結(jié)構(gòu)會發(fā)生微小的變形，由于球殼變形后仍保持為連續(xù)固體，通過固體幾何控制方程表達(dá)發(fā)生變形時的連續(xù)規(guī)律，得到如下方程：

ε

=，

γ

=

+

ε

= ，

γ

=

+

ε

=，

γ

=

+ （5）

式中 ε、γ——球殼上任一點(diǎn)的6個應(yīng)變。

1.2.3 流固耦合控制方程

在流固耦合交界面處，還應(yīng)滿足流體與球殼結(jié)構(gòu)應(yīng)力τ、位移d相等或守恒，即滿足如下2個方程：

τ

·n

=τ

·n

d

=d

（6）

式中 d——流體位移;

d——固體位移;

n——流體單位方向向量;

n——固體單位方向向量;

τ——固體剪切應(yīng)力。

1.3 網(wǎng)格獨(dú)立性驗(yàn)證

由于雙向流固耦合計(jì)算量大，計(jì)算周期長，為兼顧模擬效率和模擬精度，對模型進(jìn)行網(wǎng)格獨(dú)立性驗(yàn)證，結(jié)果如圖2所示。當(dāng)流體域與固體域網(wǎng)格總數(shù)從407 534增加到778 526時，空心球殼旋轉(zhuǎn)速度基本不再變化。同時，在不同的網(wǎng)格數(shù)量下進(jìn)行了質(zhì)量檢測，證明當(dāng)網(wǎng)格總數(shù)為407 534時，已滿足模擬計(jì)算的要求。同此將網(wǎng)格總數(shù)為407 534的模型用于后續(xù)的模擬。

2 數(shù)值模擬方案及結(jié)果

2.1 模型參數(shù)及評價指標(biāo)

文中模型參數(shù)取值列于表1。

研究球殼變形特性的評價指標(biāo)較多。研究發(fā)現(xiàn)，球殼變形過程中伴隨著球殼的旋轉(zhuǎn)，采用2個指標(biāo)表征球殼的變形和旋轉(zhuǎn)，即時間相關(guān)的球殼變形系數(shù)和時間相關(guān)的球殼旋轉(zhuǎn)速度。

對于球殼總體變形程度，參照文獻(xiàn)[16]描述外部擾動對固體變形的影響，采用Taylor變形系數(shù)D描述其變形，即測量球殼變形最大平面上的最長軸L和最短軸B，其兩軸之差除以兩軸之和，其表達(dá)式為：

D=????? （7）

2.2 直徑對球殼變形及旋轉(zhuǎn)的影響

圖3a是剪切速度0.05 m/s、球殼厚度0.2 mm時，5個不同直徑球殼的變形系數(shù)隨時間變化的曲線。由圖3a可知，變形系數(shù)隨球殼直徑的增加而增加，1 200步后變形系數(shù)趨于穩(wěn)定。這是因?yàn)樵?～1 200步內(nèi)，流場處于逐漸發(fā)展階段，變形隨流場剪切力的增加而增大，在1 200步時，流場充分發(fā)展，球殼在剪切力的作用下保持相對穩(wěn)定的變形，變形系數(shù)不再改變。圖3b為不同直徑球殼的旋轉(zhuǎn)速度隨時間變化的曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，球殼直徑對旋轉(zhuǎn)速度的影響類似于對變形系數(shù)的影響，區(qū)別在于旋轉(zhuǎn)速度在1 000步后趨于穩(wěn)定。

2.3 厚度對球殼變形及旋轉(zhuǎn)的影響

圖4a為剪切速度0.05 m/s、直徑2.8 mm時，5個不同厚度球殼的變形系數(shù)隨時間變化的曲線。從圖4a中可看出，球殼厚度的增加而導(dǎo)致變形系數(shù)的減小，變形系數(shù)從1 200步開始穩(wěn)定。球殼厚度增加提高了球殼的強(qiáng)度與穩(wěn)定性，而剪切力大小未發(fā)生變化，因此球殼厚度增加使其變形系數(shù)減小。圖4b給出了不同厚度球殼的旋轉(zhuǎn)速度隨時間的變化規(guī)律。由圖4b可以看出，旋轉(zhuǎn)速度隨球殼厚度的增加而減小，這是因?yàn)殡S著球殼厚度的增加，球殼自身的轉(zhuǎn)動慣量增大，故旋轉(zhuǎn)速度減小。

2.4 剪切速度對球殼變形及旋轉(zhuǎn)的影響

圖5a是直徑2.4 mm，厚度0.2 mm的空心球殼，在5個不同剪切速度下球殼變形系數(shù)隨時間變化的曲線。剪切速度越大，球殼的變形系數(shù)越大，剪切速度越小，球殼的變形系數(shù)則越小。剪切速度的增加使球殼所在流場的剪切強(qiáng)度增大，導(dǎo)致變形系數(shù)隨之增大。不同剪切速度下球殼旋轉(zhuǎn)速度隨時間的變化曲線如圖5b所示，可見，剪切速度的增大使球殼外耦合面上流速增加，旋轉(zhuǎn)速度隨之增大。

2.5 載液黏度對球殼變形及旋轉(zhuǎn)的影響

圖6a是直徑2.4 mm、厚度0.2 mm的載液球殼，在5個不同載液黏度下球殼變形系數(shù)隨時間變化的曲線，其中虛線表示同幾何尺寸的空心球殼。由圖6a可知，空心球殼的變形系數(shù)高于載液球殼，且載液的黏度越小，變形系數(shù)逐漸增大。這是因?yàn)檩d液球殼中載液黏度越大，對球殼的變形抑制作用越強(qiáng)，使得載液球殼的變形系數(shù)小于同幾何尺寸的空心球殼。圖6b所示為不同載液黏度下旋轉(zhuǎn)速度隨時間的變化，顯然，空心球殼的旋轉(zhuǎn)速度也高于載液球殼。此外，雖然載液黏度的減小導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)速度隨之增大，但增長幅度逐漸減小。三維剪切流中的載液球殼，在變形的同時會發(fā)生旋轉(zhuǎn)，變形后的形狀類似于橢球體，球殼的空間姿態(tài)不變，但球殼上的節(jié)點(diǎn)圍繞球心持續(xù)旋轉(zhuǎn)。

2.6 球殼中的應(yīng)力分布

模擬試驗(yàn)過程中，球殼設(shè)置為各向同性線彈性材料，僅發(fā)生彈性小變形，所以不考慮彈性失效，直接使用球殼的等效應(yīng)力對球殼應(yīng)力分布進(jìn)行分析。

圖7a、b為球殼直徑2.4 mm、厚度0.2 mm、剪切速度0.05 m/s、空心球殼與載液球殼在流場中穩(wěn)定時x?y截面的應(yīng)力分布情況，載液球殼黏度為1.06 kg/（m·s）。從圖7中可知，有無載液的球殼應(yīng)力分布規(guī)律基本一致，但數(shù)值不同。結(jié)合圖7c可以得出b、d、f、h區(qū)域?yàn)榍驓さ刃?yīng)力最大的區(qū)域，而a、c、e、g區(qū)域?yàn)榍驓さ刃?yīng)力最小的區(qū)域。

在球殼最上側(cè)（?區(qū)域）設(shè)置一監(jiān)測點(diǎn)，記錄球殼在穩(wěn)定流場中旋轉(zhuǎn)一周內(nèi)監(jiān)測點(diǎn)應(yīng)力的變化，如圖8所示。

由圖8可知，監(jiān)測點(diǎn)應(yīng)力隨著球殼旋轉(zhuǎn)而交替變化，當(dāng)監(jiān)測點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至45、135、225、315°時，球殼上應(yīng)力值最大?？招那驓?yīng)力最大值為

159.28 Pa，最小值為12.91 Pa，平均值為100.46 Pa;載液球殼應(yīng)力最大值為165.65 Pa，應(yīng)力最小值為34.66 Pa，平均值為104.97 Pa。一個周期內(nèi)，球殼監(jiān)測點(diǎn)的應(yīng)力上升、下降各4次。

材料力學(xué)中[17]交變應(yīng)力的定義為：若構(gòu)件內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力隨時間發(fā)生交替變化，這種應(yīng)力即為交變應(yīng)力。由此可得，球殼在剪切流場中會產(chǎn)生交變應(yīng)力，交變頻率取決于球殼旋轉(zhuǎn)速度。該工況下空心球殼旋轉(zhuǎn)速度為5.82 rad/s，即每秒0.93轉(zhuǎn)，載液球殼旋轉(zhuǎn)速度為4.91 rad/s，即每秒0.78轉(zhuǎn)。

綜上所述，空心球殼的交變頻率大于載液球殼，但載液球殼交變應(yīng)力大于空心球殼，因此，在剪切流環(huán)境中使用微球殼時，要特別關(guān)注交變應(yīng)力引起的疲勞[18]。

3 結(jié)論

3.1 剪切流場中，球殼的變形系數(shù)及旋轉(zhuǎn)速度會隨剪切速率的增大而增大，流場穩(wěn)定后，球殼會保持恒定的變形系數(shù)和旋轉(zhuǎn)速度。

3.2 空心球殼的直徑越大，其變形系數(shù)及旋轉(zhuǎn)速度越大;球殼的厚度越大，變形系數(shù)及旋轉(zhuǎn)速度反而減小;剪切速度越大，球殼變形系數(shù)及旋轉(zhuǎn)速度越大。

3.3 同幾何尺寸的空心球殼及載液球殼在同一流場中，空心球殼變形系數(shù)及旋轉(zhuǎn)速度更大;對于載液球殼，載液黏度越大，球殼變形系數(shù)及旋轉(zhuǎn)速度越大，但小于同幾何尺寸的空心球殼;三維剪切流中的載液球殼，在變形的同時會發(fā)生旋轉(zhuǎn)，變形后的形狀類似于橢球體，球殼的空間姿態(tài)不變，而球殼上的節(jié)點(diǎn)圍繞球心旋轉(zhuǎn)。

3.4 空心球殼和載液球殼在剪切流場中均會產(chǎn)生交變應(yīng)力，相較于空心球殼，載液球殼交變應(yīng)力較大但交變頻率較小。因此，在微球殼結(jié)構(gòu)制備和使用中要關(guān)注交變應(yīng)力引起的疲勞。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] GUO Z Y，LIN T，JING D L，et al.A method for real?time mechanical characterisation of mic?rocapsules[J].Biomechanics and Modeling inMechanobiology，2023，22：1209-1220.

[2] LEOP?RCIO B C，MICHELON M，CARVALHO M S.Deformation and rupture of microcapsules flowing through constricted capillary[J].Scientific Reports，2021，11（1）：7707.

[3] SCHMIDT W，F(xiàn)?RTSCH A，LAUMANN M，et al.Oscillating non?progressing flows induce directed cell motion[J].Physical Review Fluids，2022，7（3）：L032201.

[4] QUESADA C，VILLON P，SALSAC A V.Real?time prediction of the deformation of microcapsules using proper orthogonal decomposition[J].Journal of Fluids and Structures，2021，101：103193.

[5] BARTH?S?BIESEL D.Modeling the motion of capsules in flow[J].Current Opinion in Colloid & Interface Science，2011，16（1）：3-12.

[6] POZRIKIDIS C.Effect of membrane bending stiffness on the deformation of capsules in simple shear flow[J].Journal of Fluid Mechanics，2001，440：269-291.

[7] DE LOUBENS C，DESCHAMPS J，GEORGELIN M，et al.Mechanical characterization of cross?linked serum albumin microcapsules[J].Soft Matter，2014，10（25）：4561-4568.

[8] SKALAK R，TOZEREN A，ZARDA R P，et al.Strain en? ergy function of red blood cell membranes[J].Biophysical Journal，1973，13（3）：245-264.

[9] BARTH?S?BIESEL D，RALLISON J M.The time?depe? ndent deformation of a capsule freely suspended in a linear shear flow[J].Journal of Fluid Mechanics，1981， 113：251-267.

[10] POZRIKIDIS C.Finite deformation of liquid capsules enclosed by elastic membranes in simple shear flow[J].Journal of Fluid Mechanics，1995，297：123-152.

[11] ZHOU H，POZRIKIDIS C.Deformation of liquid capsules with incompressible interfaces in simple shear flow[J].Journal of Fluid Mechanics，1995，283：175-200.

[12] RAMANUJAN S，POZRIKIDIS C.Deformation of liquid capsules enclosed by elastic membranes in simple shear flow：large deformations and the effect of fluid viscosities[J].Journal of Fluid Mechanics，1998，361：117-143.

[13] MA J，WANG Z，YOUNG J，et al.An immersed bound ary?lattice Boltzmann method for fluid?structure interaction problems involving viscoelastic fluids and complex geometries[J].Journal of Computational Physics，2020，415：109487.

[14] 俞樹榮，王在剛，劉雪等.波流作用下海洋立管流固耦合動力特性分析[J].化工機(jī)械，2013，40（5）：653-657.

[15] 魏慶彩，倪玲英，郭長會，等.SPH方法在剪切流液滴運(yùn)動規(guī)律研究中的應(yīng)用[J].化工機(jī)械，2010，37（3）：308-311.

[16] BARTH?S?BIESEL D.Motion and deformation of elastic capsules and vesicles in flow[J].Annual Review of Fluid Mechanics，2016，48：25-52.

[17] 張濤然，晁曉潔，郭麗紅.材料力學(xué)[M].重慶：重慶大學(xué)電子音像出版社有限公司，2018：195-197.

[18] 李智慧，王偉華，宋利濱.淋洗塔應(yīng)力分析與疲勞壽命預(yù)測[J].化工機(jī)械，2021，48（4）：571-575.

（收稿日期：2023-05-09，修回日期：2024-05-13）