“化曲為直”在解答平拋和類平拋問題時的運用

謝龍 張巖松

摘?要：有關(guān)平拋、類平拋的題目，可以說是紛繁復(fù)雜，變化萬千.就像風(fēng)箏在空中翻飛、亂竄，而“化曲為直”便是那風(fēng)箏的引線，無論風(fēng)箏飛得多高、多遠，也無論怎樣變換、花樣迭出，但始終都逃不出風(fēng)箏引線的一線牽.有關(guān)平拋、類平拋的題目就像孫悟空，神秘莫測，變化多端，而“化曲為直”就像那如來佛，縱然孫悟空有七十二般變化，而且能夠騰云駕霧，一個筋斗云十萬八千里，卻始終跳不出如來佛的手掌心.

關(guān)鍵詞：平拋運動；類平拋運動；化曲為直

中圖分類號：G632???文獻標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0108-03

平拋運動和類平拋運動的題目變化萬千，紛繁復(fù)雜，但是無論怎樣變化，萬變不離其宗，解題的思路都是相同的，都可采用“化曲為直”的方法，即將復(fù)雜的平拋運動和類平拋運動.分解為簡單的兩種相互垂直的直線運動，然后再利用運動學(xué)公式、牛頓第二定律、動能定理等去求解即可.

1 “化曲為直”在平拋運動中的運用

例1?在做研究平拋運動的實驗時，讓小球多次沿同一軌道運動，通過描點法畫出小球平拋運動的軌跡.用一張印有小方格的紙記錄軌跡，小方格的邊長為L，若小球在平拋運動途中的幾個位置如圖1中的a、b、c、d所示，則小球平拋的初速度的計算式為v0=（用L、g表示）.

解?根據(jù)化曲為直的思想，可以將該平拋運動分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動.

設(shè)時間間隔為t.

由圖示可知：a、b、c三個點間的水平位移為：

x=2L.

在豎直方向上，相鄰兩點間的位移差為：

△y=2L-L=L.

因為△y=gt2

所以L=gt2①

在水平方向上：x=2L=v0t②

由①②聯(lián)立解得：v0=2gL.

評析

本題是典型的平拋運動，初速度方向水平向右，在水平方向上做的是勻速直線運動，在豎直方向上做的是勻加速直線運動.這類題屬于常規(guī)題目，學(xué)生很習(xí)慣做這樣的題目，記住利用“化曲為直”的思想去求解即可.

2 “化曲為直”在類平拋運動中的運用

2.1 初速度沿豎直方向的類平拋運動

例2?如圖2所示，真空中x軸上方有一與x軸平行的水平方向勻強電場，一電子從坐標(biāo)原點O沿y軸正方向以速度v0豎直向上射入電場，在運動中電子正好通過

豎直平面xOy內(nèi)的A點，A點與原點相距L，OA與x軸夾角為θ，已知電子電量為e，質(zhì)量為m，電子的重力不計.

求：（1）勻強電場的場強大小和方向;

（2）電子到達A點時的速度大小.

解

（1）根據(jù)“化曲為直”的思想，將電子的運動分解為沿初速度v0的方向，即y軸方向的勻速直線運動，和與初速度v0垂直的方向，即x軸方向的勻加速直線運動.

所以Lcosθ=12Eemt2①

Lsinθ=v0t②

由①②聯(lián)立解得：E=2mv20cosθeLsin2θ

（2） 電子由O到A的過程，根據(jù)動能定理：

EeLcosθ=12mv2A-12mv02③

將上面電場強度E的表達式代入③解得：

vA=v01+4cotθ2

評析

本題的初速度方向是豎直向上的，而我們常見的、最為熟悉的常規(guī)平拋運動是初速度方向水平的，因此這個題的初速度方向和平拋運動相比，轉(zhuǎn)動了90°.因此，本題在豎直方向上做的是勻速運動，在水平方向做的是勻加速直線運動，與平拋運動恰好相反.學(xué)生解這樣的題目時會感到很別扭，常常弄反了，要特別注意才行.

2.2 初速度沿一般方向的類平拋運動

例3?在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強電場，柱的橫截面積是以O(shè)為圓心，半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖3所示. 質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點先后以不同的速度進入電場，速度方向與電場的方向垂直.已知剛進入電場時速度為零的粒子，自圓周上的C點以速率v0穿出電場，AC與AB的夾角θ=60°.運動中粒子僅受電場力作用.

（1）求電場強度的大小；

（2）為使粒子穿過電場后的動能增量最大，該粒子進入電場時的速度應(yīng)為多大？

解?（1）由題意知：初速度為零的帶正電粒子由A點開始運動，以速率v0從C點穿出電場.

所以電場強度的方向應(yīng)該沿AC，而且由A指向C.

帶電粒子從A到C做的是初速度為零的勻加速直線運動.

連接OC，因為θ=60°，則△AOC為等邊三角形，如圖4所示.圖4?勻加速運動的示意圖

由運動學(xué)公式得：v20=2aR

而a=Fm=Eqm

所以E=mv202qR.

（2）以初速度方向為x軸，入射點A為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，如圖5所示.因為粒子從A點射入電場的初速度方向沿x軸正方向，與沿y軸正方向的電場強度垂直，而且粒子只受電場力的作用，所以粒子做類平拋運動.

根據(jù)力的獨立作用原理，粒子沿x軸做勻速直線運動，沿y軸做初速度為零的勻加速直線運動，且

加速度為a=Eqm=v202R.④

過O點做y軸的平行線，交圓周與D點.過D點做圓的切線，該切線與y軸垂直，設(shè)與y軸的交點為F.

則粒子從D點射出時沿y軸方向移動的距離最大，電場力做功最大，動能增量最大.

過O點做y軸的垂線，設(shè)垂足為E.則四邊形ODFE為正方形.如圖5所示.

粒子從D點射出時：

x=Rsin60°=vt⑤

y=R+Rcos60°=12at2⑥

由④⑤⑥聯(lián)立解得：

v=24v0.

評析?第（1）問：

題目中的已知條件“已知剛進入電場時速度為零的粒子，自圓周上的C點以速率v0穿出電場”是解題的切入點和突破口.提示我們電場強度方向由A指向C，粒子從A點到C點做的是勻加速直線運動，再結(jié)合運動學(xué)公式和牛頓第二定律不難求出第（1）問，也為求第（2）問奠定了基礎(chǔ).第（1）問比較簡單.

第（2）問：

題目中的已知條件“帶電粒子在紙面內(nèi)自A點先后以不同的速度進入電場，速度方向與電場的方向垂直.”是解第（2）問的切入點和突破口.因為運動中粒子僅受電場力作用，所以可以知道粒子做類平拋運動.為使粒子穿過電場后的動能增量最大，則需要電場力做功最大.根據(jù)力的獨立作用原理可知，沿初速度的方向（x軸）做勻速運動，沿與初速度垂直的方向（y軸）做勻加速直線運動.因此粒子出電場時沿y軸的位移最大時做功最大，動能增量最大.那么怎樣尋找沿y軸的位移最大時的射出點呢？根據(jù)數(shù)學(xué)知識，做與y軸垂直的圓的切線，則切點即為所要尋求的射出點.然后利用運動學(xué)公式便不難求出入射速度.

這一問與平拋運動相比，初速度方向轉(zhuǎn)了一個一般的角度，是一般方向上的類平拋運動.學(xué)生不太容易適應(yīng)，難度比較大，難就難在不善于利用“化曲為直”的思想，不會利用力的獨立作用原理去尋找出射點，不能把求最大動能轉(zhuǎn)化為求y軸上的最大位移.

3 結(jié)束語

在解答平拋運動或類平拋運動問題時，必須利用“化曲為直”的方法，即將復(fù)雜的曲線運動轉(zhuǎn)化為兩個簡單的直線運動.再利用運動學(xué)公式、牛頓第二定律、動能定理等知識來進行求解［1］.“化曲為直”是解平拋運動或類平拋運動問題的前提和關(guān)鍵.“化曲為直”的依據(jù)是“力的獨立作用原理”，即物體在某個方向上的運動只由這個方向上的合外力來決定，與跟這一方向垂直方向上的力沒有關(guān)系.“化曲為直”實質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)中的一種“化繁為簡”的思想，即運用各種方法和技巧把復(fù)雜的事物或者難以直接把握的情況轉(zhuǎn)化為簡單的、已知的事物或情況.說穿了，“化曲為直”就是一種巧妙的轉(zhuǎn)換，也是一種非常重要的物理思想，能夠?qū)⑶€變?yōu)橹本€，從而將復(fù)雜的物理過程進行簡化和抽象，幫助學(xué)生理解和分析問題，促進物理教育教學(xué)［2］.

參考文獻：

［1］陳慶賀.例析帶電粒子在電場中的運動[J].教學(xué)考試（高考物理），2021（01）：67-70.

[2] 李瑞.物理模型在高中物理中的應(yīng)用：以豎直平面內(nèi)圓周運動為例[J].數(shù)理化解題研究，2022（03）：125-127.

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