三角函數(shù)最值問題的破解策略

摘?要：從定義法、換元法、均值不等式和導(dǎo)數(shù)等視角來探討三角函數(shù)最值問題的破解策略.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；最值問題；破解策略

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0062-03

三角函數(shù)的最值問題是高考的難點(diǎn)，此類題型題干簡短精練、內(nèi)涵豐富，難度較大.那么，如何破解這一類試題呢？筆者從定義法、換元法、均值不等式和導(dǎo)數(shù)等視角來探討破解此類最值問題的策略.

1 定義法

例1?函數(shù)f（x）=sinx-13-2cosx-2sinx（0≤x≤2π）的值域?yàn)椋??）.

A.［-22，0］????B.［-1，0］

C.［-2，0］D.［-3，0］

分析?本題是選擇題的壓軸題，確實(shí)有一定的難度.但注意到3-2cosx-2sinx=（1-cosx）2+（1-sinx）2，通過換元對式子進(jìn)行處理，并且挖掘出余弦函數(shù)的定義，就可簡化運(yùn)算過程且避免討論.

解析?設(shè)1-sinx=a，1-cosx=b，則有

y=f（x）=-aa2+b2.

因?yàn)椋╝-1）2+（b-1）2=1，所以點(diǎn)P（a，b）在圓（x-1）2+（y-1）2=1上.

設(shè)直線OP的傾斜角為α，作圖可知0≤α≤π2.

所以y=-cosα∈［-1，0］.

故選B.

例2?已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+（y-2）2=1，則ω=x+3yx2+y2的取值范圍是（??）.

A.（3，2］?B.［1，2］?C.（0，2］?D.（32，1］

解析??設(shè)M（x，y），∠MOx=θ，由三角函數(shù)定義可知cosθ=xx2+y2，sinθ=yx2+y2.

于是ω=cosθ+3sinθ=2sin（θ+π6）.

如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在圓x2+（y-2）2=1上運(yùn)動時(shí)：θ∈［π3，2π3］，于是θ+π6∈［π2，5π6］.

則sin（θ+π6）∈［12，1］.

故ω=2sin（θ+π6）∈［1，2］.

故選B.

例3?函數(shù)f（x）=cosx+112+8cosx+8sinx（0≤x≤2π）的值域?yàn)?

解析?由題意得

f（x）=12×1+cosx（1+cosx）2+（1+sinx）2.

設(shè)a=1+cosx，b=1+sinx，

則f（x）=12×aa2+b2.

因?yàn)椋╝-1）2+（b-1）2=1，

所以點(diǎn)P（a，b）在圓（x-1）2+（y-1）2=1上.

設(shè)直線OP的傾斜角為α，則0≤α≤π2.

所以f（x）=12cosα∈［0，12］.

2 換元法

例4?已知x∈（0，π），則f（x）=cos2x+2sinx的值域?yàn)椋??）.

A.（--8

，32］B.［1，32］C.（1，32］D.（-3，2］

解析??由f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx，設(shè)t=sinx，因?yàn)閤∈（0，π），t∈（0，1］，g（t）=-2（t-12）2+32，所以g（t）∈（1，32］.

即f（x）的值域?yàn)椋?，32］.

故選C.

點(diǎn)評?換元后，可將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù)問題.

例5?求函數(shù)y=sinx+cosx，x∈［0，π2］的值域.

解析?設(shè)y=sinx+cosx，x∈［0，π2］，兩邊平方得y2=sinx+cosx+2sinxcosx.

設(shè)t=sinx+cosx，則sinxcosx=t2-12.

由于x∈［0，π2］，則1≤t≤2.

又由于y2=t+2t2-12在1≤t≤2上單調(diào)遞增，則y2∈［1，22］.

則y=sinx+cosx在x∈［0，π2］上的值域?yàn)椋?，234］.

點(diǎn)評?平方后換元，利用函數(shù)的單調(diào)性即可.遇到含有sinx+cosx和sinxcosx的式子時(shí)，設(shè)t=sinx+cosx，則sinxcosx=t2-12是常用的換元方法.

3 利用均值不等式

例6?已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是.

解析?f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

所以f 2（x）=4sin2x（1+cosx）2

=4（1-cosx）（1+cosx）3

=43（3-3cosx）（1+cosx）3

≤43（3-3cosx+1+cosx+1+cosx+1+cosx4）4

=274.

故f（x）max=332，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=12時(shí)，取等號.

又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（x）min=-332.

此時(shí)cosx=12，sinx=-32.

點(diǎn)評?本題是2018年全國Ⅰ卷理科第16題，題干簡短精練，內(nèi)涵豐富，難度較大.對f（x）平方后，構(gòu)造均值不等式即可求出f（x）的最大值.又f（x）是奇函數(shù)，從而得到其最小值.當(dāng)然了，本題也可利用導(dǎo)數(shù)，通過單調(diào)性來求解.

例7?已知函數(shù)f（x）=sinxsin2x，則f（x）的最大值是.

解析?f（x）=sinxsin2x=2sin2xcosx=2cosx（1-cos2x）.

由均值不等式，得

f 2（x）=2（2cos2x）（1-cos2x）（1-cos2x）

≤2［2cos2x+（1-cos2x）+（1-cos2x）3］3

=1627.

當(dāng)且僅當(dāng)cos2x=13時(shí)取到等號.

所以f（x）max=439.

4 利用導(dǎo)數(shù)

例8?設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=.

解析?f ′（x）=cosx+2sinx，f（x）在x=θ處取得最大值，易知x=θ是f（x）的極大值點(diǎn).

所以有f ′（θ）=0.

即cosθ+2sinθ=0.

又由題意可知，sinθ-2cosθ=5.

所以cosθ+2sinθ=0，sinθ-2cosθ=5.

解得cosθ=-255.

例9?已知函數(shù)f（x）=sinxcos2x，則f（x）的最大值是.

解析?f（x）=sinxcos2x=sinx（1-2sin2x），令sinx=t，則t∈［-1，1］.

則問題等價(jià)于求函數(shù)g（t）=t-2t3，t∈［-1，1］的最大值.

則g′（t）=1-6t2.

易知g（t）在（-66，66）上單調(diào)遞增，在［-1，-66），（66，1］上單調(diào)遞減.

又g（-1）=1，g（66）=69，

所以g（t）max=g（-1）=1.

即f（x）的最大值為1.

例10?函數(shù)f（x）=sinx5+4cosx的值域?yàn)?

解析?令cosx=t，則t∈［-1，1］.

因?yàn)閒 2（x）=sin2x5+4cosx=1-cos2x5+4cosx=1-t25+4t.

設(shè)g（t）=1-t25+4t，t∈［-1，1］，則

g′（t）=-2t（5+4t）-4（1-t2）（5+4t）2

=-2（t+2）（2t+1）（5+4t）2.

由g′（t）<0，得-12

由g′（x）>0，得-1

即函數(shù)g（t）在（-1，-12）單調(diào)遞增，在（-12，1）單調(diào)遞減，且g（-1）=0，g（-12）=14，g（1）=0.

所以0≤g（t）≤14.

即0≤f 2（x）≤14.

所以f（x）∈［-12，12］.

5 結(jié)束語

求三角函數(shù)的最值問題，可以說，導(dǎo)數(shù)法是通法.只是對于某些問題，選擇定義法、換元法和均值不等式，可能更簡單一些.通過換元后，得到的函數(shù)不復(fù)雜，而且容易求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的題，可考慮使用導(dǎo)數(shù)法［1］.

參考文獻(xiàn)：

［1］

李鴻昌，楊春波，程漢波.高中數(shù)學(xué)一點(diǎn)一題型[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2021.

［責(zé)任編輯：李?璟］