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    單擺及旋輪線模型等時性特征的對比研究

    2024-06-27 12:19:41謝祿橋
    物理教學探討 2024年5期
    關(guān)鍵詞:單擺

    摘? ?要:單擺模型在整個下落過程中不具有嚴格的等時性,其振動周期與擺角有關(guān);而豎直面內(nèi)的旋輪線模型則具有嚴密的等時性。分析發(fā)現(xiàn),單擺只有在小角度條件下才能近似看成等時擺,從而與旋輪線模型等效。

    關(guān)鍵詞:單擺;旋輪線;等時性;數(shù)學推理

    中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A ? ? 文章編號:1003-6148(2024)5-0069-4

    單擺,又名圓周擺,其往復擺動過程中具有“等時性”特征。但其前提條件往往容易被學生忽略;亦或?qū)W生雖知道小角度擺動條件下單擺可以近似看作簡諧運動,具有等時性的特點,但學生對該知識點的理解往往僅停留在表面,對其沒有深入研究。造成此類現(xiàn)象的原因可能是一線教師在進行單擺具有“等時性”(僅與擺長和當?shù)刂亓铀俣扔嘘P(guān),與振幅無關(guān))特點的內(nèi)容教學時,部分學生數(shù)學知識相對薄弱,故沒有深度剖析小角度問題;或是在進行深入研究時,苦于高等數(shù)學知識的遺忘,造成自身對其理解并不充分等。鑒于此,本文將從單擺模型出發(fā),借助高等數(shù)學工具進行深入研究,剖析單擺及旋輪線模型“等時性”問題。希望能給一線教師帶來一些啟示與參考。

    1? ? 單擺等時性的歷史淵源

    伽利略在教堂里觀察到掛燈的擺動,他通過自己的脈搏發(fā)現(xiàn)其每做一次完整的擺動所需時間是一樣的。之后他得出這樣的結(jié)論:掛燈每做一次全擺動所需時間是一定的,即擺的等時性原理。1629年出生于荷蘭的物理學家惠更斯,在伽利略的基礎(chǔ)上對擺進行了進一步研究,發(fā)現(xiàn)單擺具有等時性的特點只是近似的,真正的等時擺動軌跡并不是圓弧,而是擺?。?]。根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),惠更斯于1657年制作出世界上第一臺擺鐘,并在1673年發(fā)表《擺鐘論》一書,詳細介紹了擺鐘的結(jié)構(gòu)及相關(guān)的數(shù)理問題,并在1675年嘗試在擺鐘上采用擺輪游絲裝置等。這些發(fā)明都極大地促進了精確計時技術(shù)的發(fā)展[2]。

    2? ? 單擺等時性的數(shù)學證明

    如圖1所示,懸線系著一質(zhì)量為m的小球靜止在A處,此時懸線與豎直方向的夾角為φA。現(xiàn)釋放小球,其向下擺動過程中與豎直方向的夾角為θ,不計一切阻力,求小球從A運動到最低點B所用時間tAB。

    證明? 建立圖1所示的直角坐標系,并設(shè)經(jīng)過A與B之間的某點C時小球的速度為v,則由動能定理可知

    可見,從A到B運動的時間跟k有關(guān)(k=sin),即與振幅擺角φA有關(guān),隨φA的增大而增大。而單擺的周期T=4tAB,可見其與振幅呈正相關(guān),不具有嚴格的等時性。

    那什么條件下單擺可以近似看成等時擺呢?我們對(6)式進行分析。其中,k∈(0,1),k2n?0,此時級數(shù)是收斂的,在φA→0時,k→0,所以可以略去后面的高階無窮小量。此時T=2π,即實際應(yīng)用中,在擺角足夠小的情況下,可用該單擺周期公式進行計算。

    對擺角足夠小的認識:T'保留(6)式中的一、二項,T保留第一項,進行誤差計算

    η==k=sin2

    表1為φA取不同值時單擺的周期誤差。

    從表1中數(shù)據(jù)可以看出,當最大擺角為15°時,誤差在0.5%以內(nèi);當最大擺角為5°時,誤差在0.05%以內(nèi)。由于實驗還涉及繩長的測量及計時誤差等,因此中學階段單擺實驗的最大擺角應(yīng)控制在5°內(nèi)較為適宜。

    3? ? 旋輪線等時性的數(shù)學證明

    在如圖2所示的直角坐標系中,一個半徑為R的圓沿著x軸正向滾動,圓邊界上一定點O形成的軌跡如曲線OPB所示,該曲線數(shù)學上稱為圓滾線、旋輪線或擺線。假設(shè)旋圓滾動的夾角為θ時旋圓上定點O運動到圖中P點,此時線段OQ的長度等于弧長,等于Rθ,所以P點的坐標為

    所以,小球沿著旋輪線從任意位置下滑到最低點的時間均相等,即在理想條件下小球沿旋輪線自由運動具有等時性,與其初始位置(振幅)無關(guān)。小球運動的周期為

    T=4π

    其中,R為旋圓半徑。

    4? ? 惠更斯的擺線擺模型

    單擺雖具有簡潔性,但不能嚴格地用于計時,為了解決這個問題,惠更斯根據(jù)擺線(旋輪線)的等時性特征,制造了一種新型的擺叫作擺線擺,如圖4所示。用木板制作一個凸型板(圖中陰影部分),每一塊都做成擺線的半個拱形弧形狀,在O點處相接。其中,擺線的旋圓半徑為R,擺線長為L,在繩的自由端系上一個質(zhì)量大、體積很小的鋼球(看成質(zhì)點)。

    小球初始時,細線緊貼著凸型板的弧邊,小球運動時形成的弧線為一條擺線[7]。若小球做小擺角運動,擺角小于5°,則凸型板的影響幾乎沒有,即與普通單擺類似,其周期也可用普通單擺周期公式進行計算。

    惠更斯設(shè)計的擺線擺模型,巧妙地融合了單擺及擺線(旋輪線)的特點,具有嚴格的等時性。他根據(jù)這一原理設(shè)計了世界上第一臺擺鐘。

    5? ? 結(jié)論及反思

    綜上,小球在任意位置沿著豎直面內(nèi)的旋輪線下滑到最低點,所用時間均相等;而單擺僅在小角度內(nèi)擺動時對不同振幅所用時間才近似相等,二者才能等效。本文通過梳理單擺及旋輪線“等時性”部分的內(nèi)容,主要有兩點考慮:其一,加深對單擺周期公式的理解,并在教學相長、教研相長的過程中不斷提升教師的學科素養(yǎng);其二,在課堂教學中,滲透惠更斯這樣一段艱辛的探索歷程,激發(fā)他們對科學家的崇敬之情。

    參考文獻:

    [1]馬來平.趣味科技發(fā)展簡史[M].濟南:山東科學技術(shù)出版社,2013:65-66.

    [2]楊艦,戴吾三.歷史上的科學名著[M].武漢:湖北教育出版社,2003:225-228.

    [3]王河,張憲魁.中學物理教學文選 第2冊[M].濟南:山東教育出版社,1986:715-719.

    [4]郭大鈞.大學數(shù)學手冊[M].濟南:山東科學技術(shù)出版社,1985:566-567.

    [5]左銓如.解析幾何研究[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社,2015:251-254.

    [6]王寶富,鈕海.大學數(shù)學基礎(chǔ)教程(二)多元函數(shù)微積分[M].北京:高等教育出版社,2004:122-123.

    [7]張家瑞,李興春.擺線族[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社,2015:42-47,182.

    (欄目編輯? ? 蔣小平)

    收稿日期:2024-03-30

    作者簡介:謝祿橋(1993-),男,主要從事中學物理教學工作。

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