里“勾”外“連”各擊破一“垂”定音解“圓”題

牟玉娟

摘要：垂徑定理在圓問題中出現(xiàn)的頻率非常高，是解決與圓有關(guān)問題的重要知識.事實上，在應(yīng)用垂徑定理解決圓的問題時，抓住直徑垂直且平分弦，連接圓心與弦的端點構(gòu)造直角三角形后用勾股定理都是極為重要的步驟.本文中嘗試將“垂”作為總方向，探究如何利用勾股定理有效解決與圓有關(guān)的問題.

關(guān)鍵詞：垂徑定理；圓；勾股定理；半徑

通過分析近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷發(fā)現(xiàn)了兩個現(xiàn)象，一是在圓中應(yīng)用垂徑定理解決問題越來越普遍，二是垂徑定理往往與勾股定理相結(jié)合.由此可見，教師在新授或復(fù)習(xí)圓的有關(guān)問題時，不僅要注意垂徑定理在圓問題中的重要性，而且要適當(dāng)拓展與其相關(guān)的知識，如直角三角形、勾股定理、等腰三角形、垂直平分線的性質(zhì)等.基于此，本文中嘗試探究在“連”成直角三角形后利用“勾”股定理解決與圓中“垂”徑定理有關(guān)的問題.

1 垂徑定理基礎(chǔ)模型介紹

垂徑定理是初中數(shù)學(xué)幾何部分的重要內(nèi)容之一，其模型如圖1所示.在⊙O中，由于AB是⊙O的直徑，CD是與直徑互相垂直的弦，因此可得到如下三個結(jié)論：

（1）CE=DE.

（2）BC=BD.

（3）AC=AD.

所以，可將垂徑定理表述為“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧”.

那么在與圓有關(guān)的問題中，如何發(fā)現(xiàn)該模型，并且如何使用該模型解決問題呢？下面，從理論上來說明這兩個問題.

首先，從圓問題中發(fā)現(xiàn)垂徑定理模型比較簡單，因為題中往往已知直徑和一條弦（非直徑），且這條弦和直徑是互相垂直的關(guān)系，所以在圖中尋找“直徑和弦（非直徑）互相垂直”是關(guān)鍵.

其次，在使用該模型時，往往是作圓心到弦的垂線段或連接過弦端點的半徑，從而構(gòu)造出一個以半徑、半弦長的線段、圓心到弦的垂線段為三邊的直角三角形，最后再利用勾股定理便可解決問題.

由此觀之，一“垂”定音的解題效果如何，關(guān)鍵在于是否通過“連”構(gòu)造出直角三角形，能否利用勾股定理進(jìn)行計算.

2 垂徑定理模型例用

垂徑定理模型的用法主要有以下三種.

2.1 知垂直，連半徑

例1（2022·北京）如圖2，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，AB⊥CD，連接AC，OD.

求證：∠BOD=2∠A.

分析：由于∠A是圓周角，因此可根據(jù)“同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍”進(jìn)行等量代換.此時，只需連接OC，那么∠BOC就是∠A同弧所對的圓心角，可得∠BOC=2∠A.又因為半徑OC和OD相等，于是得到了一個等腰三角形OCD.由于已知AB⊥CD，所以可認(rèn)為底邊CD的高一定在AB上.再根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)，可以得到OB是∠COD的平分線，進(jìn)一步得到∠BOD=∠BOC，最后再利用等量代換即可得證∠BOD=2∠A.

證明：如圖3所示，連接OC，則OC是⊙O的半徑，即OC=OD.

∴△COD是等腰三角形.

對于BC，有∠BOC=2∠A.

∵AB⊥CD，

∴∠BOD=∠BOC.

∴∠BOD=2∠A.

點評：看見弦（非直徑）

和半徑（或直徑，或直徑所在的直線）是互相垂直的位置關(guān)系，就可利用垂徑定理模型解決問題.此時，只需連接半徑，構(gòu)造出直角三角形或等腰三角形，然后用勾股定理計算或用等腰三角形的性質(zhì)證明即可.

2.2 知半徑，作垂直

例2（2022·邵陽）如圖4，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（）.

A.32

B.32

C.3

D.52

分析：涉及半徑和弦長，可過圓心O作弦的垂線，然后在構(gòu)造出的直角三角形中計算即可.

解：如圖5所示，連接OB，OC，則OB，OC都是⊙O的半徑，即OB=OC.過點O作BC的垂線，垂足為D.

∵△ABC是等邊三角形，AB=3，

∴AB=BC=3，∠A=60°.

∴∠BOC=120°.

∵OD⊥BC，

∴∠BOD=60°，BD=32.

∵sin∠BOD=BDOB，

∴sin 60°=32OB=32.

∴OB=3.

∴⊙O的半徑是3.

故填答案：C.

點評：圓的半徑在圖中可通過連接O和B兩點得到，而要求半徑的長，由于題中已知弦長，則需作垂直.半徑和弦、垂直是垂徑定理中非常重要的關(guān)鍵詞，“直徑和弦（非直徑）互相垂直”是識別垂徑定理模型的關(guān)鍵.

2.3 半徑垂直皆不知，造弦，連半徑，作垂直

例3如圖6，AB為⊙O的直徑，BC是弦，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E，BC=5，DE=6.求⊙O的直徑.

分析：首先，連接OD，連接AC構(gòu)造弦，垂徑定理模型已出現(xiàn).根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”得到∠ACB=90°，與DE⊥BC結(jié)合得到DE∥AC.然后在等腰三角形DOB中通過等量代換得到∠ODE=90°，證明四邊形D

ECF是矩形，則得到OD⊥AC.根據(jù)垂徑定理得到CF=AF=DE=6，即AC=12.最后在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理可求得⊙O直徑AB的長.

解：如圖7，連接AC，OD交于點F，則OD是⊙O的半徑，即OD=OB.

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠ABD.

∵OD=OB，

∴∠ABD=∠ODB.

∴∠EBD=∠ODB.

∴OD∥BE.

∴∠ODE=∠DEB=90°.

∴DE⊥OD.

∴DE是⊙O的切線.

∵DE⊥BE，

∠ACB=90°，

DE⊥DO，

∴四邊形ECFD是矩形.

∴AC⊥DO.

∴AF=CF.

∵DE=6，

∴AC=2CF=12.

在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理得AB=13.

點評：當(dāng)垂徑定理模型出現(xiàn)后，根據(jù)垂徑定理進(jìn)行證明和計算變得非常容易，但需注意的是直徑平分弦（非直徑），而不是弦平分直徑.

3 技法總結(jié)

垂徑定理模型的關(guān)鍵在于緊抓半徑和弦、垂直及“直徑和弦（非直徑）互相垂直”，這樣就可以通過“連”構(gòu)造直角三角形，最終實現(xiàn)一“垂”定音.當(dāng)然，在應(yīng)用的過程中還需注意以下幾個方面：

首先，垂徑定理模型中的半徑（或直徑），不僅平分弦（非直徑），而且平分這條弦所對的弧.這里的弧可以是優(yōu)弧，也可以是劣弧.尤其是后者，學(xué)生極易忽視.如圖1所示，直徑AB不僅平分劣弧CD，還平分優(yōu)弧CAD.

其次，在垂徑定理模型中，是直徑平分弦（非直徑），而不是弦平分直徑.如圖1，是直徑AB平分弦CD，得到EC=ED，而不是CD平分AB.這一點，很多學(xué)生容易出錯.

總而言之，垂徑定理在與圓有關(guān)的問題中發(fā)揮了極其重要的作用，在利用垂徑定理模型分析問題時，抓住半徑和弦、垂直及“直徑和弦（非直徑）互相垂直”是關(guān)鍵，然后再各個擊破，最終讓問題得到圓滿解決.

參考文獻(xiàn)：

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