高中數(shù)學(xué)拔尖生提出問題能力的培養(yǎng)路徑

馬漢陽　欒功

［摘 要］文章主要從三個方面探究高中數(shù)學(xué)拔尖生提出問題能力的培養(yǎng)路徑，旨在為高中數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)數(shù)學(xué)拔尖生，為高校輸送更多的拔尖創(chuàng)新人才提供參考與借鑒。

［關(guān)鍵詞］拔尖生；提出問題能力；培養(yǎng)路徑

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0001-04

2018年，教育部聯(lián)合其他部門發(fā)布的《關(guān)于實施基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)計劃2.0的意見》強調(diào)：培養(yǎng)基礎(chǔ)學(xué)科拔尖人才是高等教育強國建設(shè)的重大戰(zhàn)略任務(wù)。黨的二十大報告指出，全面提高人才自主培養(yǎng)質(zhì)量，著力造就拔尖創(chuàng)新人才。由此可見，國家已將拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)提升到治國、強國的戰(zhàn)略高度。作為教師，我們肩負(fù)著培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的重任，因此要積極響應(yīng)國家的號召，探索并實踐培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的最佳路徑。提出問題是開啟優(yōu)秀學(xué)生心智大門的鑰匙，提出問題能力并非自然而然地形成和提高的，而是需要教師進(jìn)行培養(yǎng)。本文主要對高中數(shù)學(xué)拔尖生提出問題能力的培養(yǎng)路徑進(jìn)行探究。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，采取多樣化解題策略，為學(xué)生提出問題打下基礎(chǔ)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)問題情境，開展多樣化的解題訓(xùn)練，使學(xué)生牢固地掌握所學(xué)知識，強化學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的熟練運用，同時教會學(xué)生從不同角度去審視問題，使學(xué)生腦海中存儲的知識被充分調(diào)動，從而找到解題的突破口，為學(xué)生提出問題打下基礎(chǔ)。

［例1］設(shè)拋物線[C：y2=2px（p>0）]的焦點為F，點[D（p，0）]，過F的直線交[C]于[M、N]兩點，當(dāng)直線[MD]垂直于[x]軸時，[MF=3]。

（1）求[C]的方程；

（2）設(shè)直線[MD]、[ND]與[C]的另一個交點分別為[A、B]，記直線[MN]、[AB]的傾斜角分別為[α、β]。當(dāng)[α-β]取得最大值時，求直線AB的方程。

分析：本題的核心問題是傾斜角[α、β]有何關(guān)系？它們的聯(lián)系途徑是什么？如何求[α-β]的最大值？求[α-β]的最大值與求直線[AB]的方程有何關(guān)聯(lián)？初始階段，教師首先要教會學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；其次要結(jié)合范例，引導(dǎo)學(xué)生從題干中尋找變量之間的關(guān)系，進(jìn)而提出思考問題的方向，讓學(xué)生明白為什么要這樣設(shè)計，這樣設(shè)計對解決問題有何幫助，進(jìn)而讓學(xué)生找到解題的方法。

解：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為[x=-p2]，當(dāng)直線[MD]與[x]軸垂直時，點[M]的橫坐標(biāo)為[p]，此時[MF=p+p2=3]，所以[p=2]，所以拋物線[C]的方程為[y2=4x]。

（2）［方法一］（最優(yōu)解）：設(shè)[My214，y1]，[Ny224，y2]，[Ay234，y3]，[By244，y4]，直線[MN：x=my+1]，

由[x=my+1，y2=4x，]可得[y2-4my-4=0]，[Δ>0]，[y1y2=-4]，[kMN=y1-y2y214-y224=4y1+y2]，[kAB=y3-y4y234-y244=4y3+y4]，直線[MD：x=y214-2y1·y+2]，代入拋物線方程可得[y2-4y214-2y1·y-8=0]，[Δ>0]，[y1y3=-8]，所以[y3=2y2]，同理可得[y4=2y1]，所以[kAB=4y3+y4=42（y1+y2）=kMN2]。

又因為直線[MN]、[AB]的傾斜角分別為[α、β]，所以[kAB=tan β=kMN2=tanα2]。

若要使[α-β]最大，則[β∈0，π2]，設(shè)[kMN=2kAB=2k>0]，則[tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24]，當(dāng)且僅當(dāng)[1k=2k]，即[k=22]時，等號成立，所以當(dāng)[α-β]最大時，[kAB=22]。設(shè)直線[AB]的方程為[x=2y+n]，將其代入拋物線方程可得[y2-42y-4n=0]，[Δ>0]，[y3y4=-4n=4y1y2=-16]，所以[n=4]，所以直線[AB]的方程為[x=2y+4]。

［方法二］（直線方程點斜式）：由題可知，直線[MN]的斜率存在，設(shè)[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，[A（x3，y3）]，[B（x4，y4）]，直線[MN：y=k（x-1）]，由 [y=k（x-1），y2=4x，]得[k2x2-（4k2+4）x+4k2=0]，[x1x2=4]，同理[y1y2=-4]。直線[MD]：[y=y1x1-2（x-2）]，代入拋物線方程可得[x1x3=4]，同理[x2x4=4]。代入拋物線方程可得[y1y3=-8]，所以[y3=2y2]，同理可得[y4=2y1]，由斜率公式可得[kAB=y4-y3x4-x3=2（y2-y1）41x2-1x1=y2-y12（x2-x1）=12kMN]。

（下同方法一）若要使[α-β]最大，則[β∈0，π2]，設(shè)[kMN=2kAB=2k>0]，則[tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24]，當(dāng)且僅當(dāng)[1k=2k]，即[k=22]時，等號成立，所以當(dāng)[α-β]最大時，[kAB=22]，設(shè)直線[AB]的方程為[x=2y+n]，代入拋物線方程可得[y2-42y-4n=0]，[Δ>0]，[y3y4=-4n=4y1y2=-16]，所以[n=4]，所以直線[AB]的方程為[x=2y+4]。

［方法三］（向量法）：設(shè)[My214，y1]，[Ny224，y2]，[Ay234，y3]，[By244，y4]，設(shè)[P（t ，0）]，若[P、M、N]三點共線，由[PM=y214-t，y1]，[PN=y224-t，y2]，所以[y214-ty2=y224-ty1]，化簡得[y1y2=-4t]，反之，若[y1y2=-4t]，可得直線[MN]過定點[（t，0）]，因此，由[F、M、N]三點共線，得[y1y2=-4]，由[D、M、A]三點共線，得[y1y3=-8]，由[N、D、B]三點共線，得[y2y4=-8]，則[y3y4=4y1y2=-16]，直線[AB]過定點（4，0）。

（下同方法一）若要使[α-β]最大，則[β∈0，π2]，設(shè)[kMN=2kAB=2k>0]，則[tanα-β=tanα-tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24]，當(dāng)且僅當(dāng)[1k=2k]，即[k=22]時，等號成立，所以當(dāng)[α-β]最大時，[kAB=22]，所以直線[AB]的方程為[x=2y+4]。

點評：通過上述解題訓(xùn)練，雖然在一定程度上培養(yǎng)了學(xué)生提出問題的能力，但還遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到拔尖人才的培養(yǎng)要求。因此，教師在訓(xùn)練學(xué)生解題能力的同時，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對題目結(jié)論和解題過程進(jìn)行質(zhì)疑，比如“這個公式為什么是這樣的？”“有沒有其他的解決方案？”等，促使學(xué)生進(jìn)行深度思考，讓學(xué)生融會貫通，開闊視野。另外，教師還應(yīng)匯總不同的解法，讓學(xué)生從中選出最優(yōu)解法。例如例1第（2）問的方法一，尋找直線[MN、AB]的斜率關(guān)系，由基本不等式求出直線[AB]的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解法，也是通法；方法二是常規(guī)設(shè)直線方程點斜式，由于直線方程的假設(shè)與方法一不同，導(dǎo)致解方程組運算難度加大，并且還要考慮直線的斜率是否存在，只有直線斜率存在的情況才可以這樣假設(shè)；方法三通過設(shè)點，由三點共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，從而快速發(fā)現(xiàn)直線[AB]過定點，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡化運算的好方法。

二、拆解重構(gòu)試題，師生互動交流，提升學(xué)生提出問題的認(rèn)知水平

在課堂教學(xué)中，教師可以通過對試題進(jìn)行拆解重構(gòu)，為學(xué)生營造發(fā)現(xiàn)問題的氛圍，鼓勵學(xué)生大膽提出問題。古人云：“學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)?！闭n堂上，教師要給學(xué)生解惑，首先要讓學(xué)生樂于提問，要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)提出問題的情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心，使學(xué)生產(chǎn)生提出問題的欲望，從而提升學(xué)生提出問題的認(rèn)知水平。

［變式題1］已知拋物線[C]：[y2=2px（p>0）]的焦點為[F]，[A]為拋物線上一點，[O]為坐標(biāo)原點，[△OFA]的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且外接圓的周長為[6π]。

（1）求拋物線[C]的方程；

（2）已知點[B（-1，0）]，設(shè)不垂直于[x]軸的直線[l]與拋物線[C]交于不同的兩點[M]、[N]，若[∠MBO=∠NBO]，證明直線[l]過定點并寫出定點坐標(biāo)。

分析：這是例1的變式題，屬于基礎(chǔ)題，難點在于第（2）問。教師可讓學(xué)生先自主研究并提出問題，再師生交流或生生交流，尋找解題方法。本變式題提出問題的大致方向有：[∠MBO=∠NBO]與直線[l]有何關(guān)系？能構(gòu)建什么數(shù)學(xué)式子？ 例1是求直線方程，而本變式題是證明一條直線過定點，它們有何相同之處？

解：（1）因為[△OFA]的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以[△OFA]的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑，因為外接圓的周長為[6π]，所以外接圓的半徑為3，又圓心在[OF]的垂直平分線上，[OF=p2]，所以[p4+p2=3p4=3]，解得[p=4]，所以拋物線[C]的方程為[y2=8x]。

（2）設(shè)直線[MN]的方程為[y=kx+b]，[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，

由[y2=8x，y=kx+b，]得[k2x2+（2kb-8）x+b2=0]，[Δ=64-32kb>0]，則[kb<2]，

所以[x1+x2=-2kb-8k2]，[x1x2=b2k2]，因為[∠MBO=∠NBO]，所以[kBM+kBN=y1x1+1+y2x2+1=0]，即[kx1+bx1+1+kx2+bx2+1=0]，化簡得[2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=0]，所以[2kb2k2+（k+b）-2kb-8k2+2b=0]，所以[b=-k]，所以直線[MN]的方程為[y=k（x-1）]，恒過定點（1，0）。

點評：通過對試題的拆解重構(gòu)，讓學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上大膽地提出問題。此題根據(jù)已知條件[∠MBO=∠NBO]，將問題轉(zhuǎn)化為[kBM+kBN=0]，即可得到直線方程中[k]與[b]的關(guān)系，進(jìn)而得到“直線恒過定點”這一結(jié)論。通過此類變式訓(xùn)練，可有效提升學(xué)生提出問題的認(rèn)知水平。

［變式題2］已知拋物線[C：x2=2py（p>0）]的焦點為[F]，拋物線上一點[Am，12（m<0）]到點[F]的距離為[32]。

（1）求拋物線的方程及點[A]的坐標(biāo)；

（2）設(shè)斜率為[k]的直線[l]過點[B（2，0）]且與拋物線交于不同的兩點[M]、[N]，若[BM=λBN]且[λ∈14，4]，求斜率[k]的取值范圍。

分析：本變式題是例1和變式題1的綜合與提升，意在提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。本題的教學(xué)重點是提出與解決以下相關(guān)的問題。

1.如何利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)構(gòu)造出與參數(shù)有關(guān)的等式或者不等式？（向量[BM=λBN]與參數(shù)[k]有何關(guān)系）

2.解決求參數(shù)的取值范圍問題的核心是什么？

解：（1）由拋物線定義可知，[AF=12+p2=32]，解得[p=2]，所以拋物線[C]的方程為[x2=4y]。

將點[Am ，12（m<0）]的坐標(biāo)代入拋物線方程得[m=-2]，所以點[A]的坐標(biāo)為[-2，12]。

（2）由題意知直線[l]的方程為[y=k（x-2）]，設(shè)點[M（x1，y1）]，[N（x2 ，y2）]，

由[y=k（x-2），x2=4y，]得[x2-4kx+8k=0]，[Δ=16k2-32k>0]，可得[k<0]或[k>2]，

由韋達(dá)定理可得[x1+x2=4k]，[x1x2=8k]，又[BM=λBN]，即[（x1-2，y1）=λ（x2-2，y2）]，所以[y1=λy2?λ=y1y2]，因為[x21=4y1]，[x22=4y2]，則[λ=x1x22∈14，4?x1x2∈-2，-12?12，2]，

又[（x1+x2）2x1x2=2k=x1x2+2+x2x1?k=x1x2+2+x2x12=12x1x2+x2x1+1]，

令[x1x2=t∈-2，-12?12，2]，所以[k=12t+1t+1]。

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)[ft=12t+1t+1]在[12，1]上為減函數(shù)，在（1，2）上為增函數(shù)，當(dāng)[t∈12，2]時，[k=12t+1t+1∈2，94]，同理可知，當(dāng)[t∈-2，-12]時，[k=12t+1t+1∈-14，0]。

又因為[k<0]或[k>2]，所以[k]的取值范圍是[-14，0?2，94]。

點評：本題是提高題，從容量、跨度、融合度對知識進(jìn)行了拓展與加深，提升了學(xué)生分析問題、提出問題、解決問題的綜合能力。同時，將學(xué)生提出問題的路徑構(gòu)建成一個完整的體系，以使學(xué)生達(dá)到較高的認(rèn)知水平。

三、通過閱讀與研究推廣解法，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力

為了更好地培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，教師應(yīng)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生把靜態(tài)問題動態(tài)化、抽象問題具體化、形象問題直觀化、特殊方法一般化，把所學(xué)的知識、方法融會貫通。通過對上述例題一題多解的探究以及對試題的拆解重構(gòu)，培養(yǎng)了學(xué)生提出問題和分析問題的能力，讓學(xué)生在應(yīng)用知識解決問題的過程中逐步形成化特殊為一般的高階思維能力，真正做到“解決一道題，弄懂一類題”。這是培養(yǎng)學(xué)生提出問題能力的關(guān)鍵一步。

圓錐曲線是歷年高考數(shù)學(xué)的重點考查內(nèi)容之一，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點。下面筆者結(jié)合圓錐曲線中定點、定值、最值及求參數(shù)的取值范圍等內(nèi)容，把解決問題的方法進(jìn)行推廣，同時讓學(xué)生查閱相關(guān)資料，小組討論交流，在此過程中教師加以引導(dǎo)，共同提出問題。

1.如何提煉出有關(guān)定點、定值問題的一般思路方法？

（1）直接推理、計算，并在推理、計算過程中消去變量，從而得到定值。

（2）定點問題可運用特殊值或者對稱先探索出該定點，再證明結(jié)論，以達(dá)到簡化運算的目的。

2.求最值或參數(shù)的取值范圍等的一般方法是什么？

（1）幾何法。若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決。

（2）代數(shù)法。若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可以先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值。

3.利用代數(shù)法解決求最值或參數(shù)的取值范圍的問題時，你能否總結(jié)出解決這類問題的一般方法？

（1）利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍。

（2）利用已知參數(shù)的取值范圍，求新參數(shù)的取值范圍，解決這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系。

（3）利用隱含或已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍。

（4）利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍。

（5）利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍。

［例2］（2023年高考全國甲卷理數(shù)第20題）設(shè)拋物線[C：y2=2px（p>0）]，直線[x-2y+1=0]與[C]交于[A、B]兩點，且[AB=415]。

（1）求[p]的值；

（2）[F]為[y2=2px]的焦點，[M]、[N]為拋物線上的兩點，且[MF·NF=0]，求[△MNF]面積的最小值。

分析：經(jīng)過上述解題訓(xùn)練后，學(xué)生已具備提出問題、分析問題、解決問題的綜合能力，讓學(xué)生解答例2，自然是水到渠成，可達(dá)到我們預(yù)期的效果。

解：（1）設(shè)A（[x1]，[y1]），B（[x2]，[y2]），聯(lián)立[x-2y+1=0，y2=2px，]消去[x]得[y2-4py+2p=0]，∴[y1+y2=4p]，[y1y2=2p]，[Δ=16p2-8p>0]，∴[p（2p-1）>0]，∴[p>12]，∵[AB=1+4y1-y2=5（y1+y2）2-4y1y2=415]，∴[16p2-8p=48]，∴[2p2-p-6=0]，∴[（2p+3）（p-2）=0]，∴[p=2]。

（2）由（1）知[y2=4x]，所以[F（1，0）]，顯然直線[MN]的斜率不可能為零，設(shè)直線[MN]的方程為[x=my+n]，[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，由[y2=4x，x=my+n，]可得[y2-4my-4n=0]，所以[y1+y2=4m]，[y1y2=-4n]，[Δ=16m2+16n>0]，則有[m2+n>0]。

因為[MF·NF=0]，所以[（x1-1）（x2-1）+y1y2=0]，即[（my1+n-1）（my2+n-1）+y1y2=0]，即[（m2+1）y1y2+m（n-1）（y1+y2）+（n-1）2=0]，將[y1+y2=4m]，[y1y2=-4n]，代入得[4m2=n2-6n+1]，所以[4（m2+n）=（n-1）2>0]，所以[n≠1]，且[n2-6n+1≥0]，解得[n≥3+22]或[n≤3-22]。

設(shè)點[F]到直線[MN]的距離為[d]，所以[d=n-11+m2]，[MN=1+m2y1-y2=1+m2（y1+y2）2-4y1y2=1+m216m2+16n=1+m24（n2-6n+1）+16n=21+m2n-1]，

所以[△MNF]的面積[S=12MN×d=12×n-11+m2×21+m2n-1]。

又[n≥3+22]或[n≤3-22]，所以當(dāng)[n=3-22]時，[△MNF]的面積[Smin=（2-22）2=12-82]。

（責(zé)任編輯 黃桂堅）