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    分析轉(zhuǎn)化變形,化未知為已知

    2024-06-23 02:56:54蔣紅艷
    關(guān)鍵詞:證法化簡本題

    蔣紅艷

    高中數(shù)學(xué)教材對“誘導(dǎo)公式”這一章節(jié)的具體學(xué)習(xí)要求是:能夠熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化歸為銳角的三角函數(shù);理解并學(xué)會推導(dǎo)誘導(dǎo)公式,會分析誘導(dǎo)公式的特征,總結(jié)規(guī)律;通過典例的學(xué)習(xí),掌握運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)的化簡、求值的通性法則.

    筆者結(jié)合具體實(shí)例,針對誘導(dǎo)公式的化簡、求值、證明問題的解決思路與方法例析如下,希望給同學(xué)們一些參考與幫助.

    1 利用誘導(dǎo)公式求值

    例1? 已知tanα+8π7=m(m≠-1),求代數(shù)式sin15π7+α+3cosα-13π7sin20π7-α-cosα+22π7的值.

    解:原式

    =sinπ+8π7+α+3cos-3π+α+8π7sin4π-8π7+α-cos2π+α+8π7

    =-sin8π7+α+3cosπ-α+8π7-sin8π7+α-cosα+8π7

    =sin8π7+α+3cosα+8π7sin8π7+α+cosα+8π7

    =tan8π7+α+3tan8π7+α+1

    =m+3m+1.

    思路與方法:本題靈活運(yùn)用了整體思想,把α+8π7當(dāng)成一個(gè)角,用誘導(dǎo)公式把其他角的三角函數(shù)全都化為α+8π7的三角函數(shù)值;當(dāng)然,本題也可以先將tanα+8π7=m化為tanα+π7=m,然后用誘導(dǎo)公式把其他角的三角函數(shù)都化為α+π7的三角函數(shù).

    2 利用誘導(dǎo)公式化簡

    例2? 化簡:sinkπ-2π3coskπ+π6(k∈Z).

    解:(1)當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),

    原式=sin2nπ-2π3cos2nπ+π6=-sin2π3\5cosπ6

    =-sinπ3cosπ6=-32×32=-34.

    (2)當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí),

    原式=sin2nπ+π-2π3cos2nπ+π+π6=sinπ3cosπ+π6

    =sinπ3-cosπ6=-34.

    所以sinkπ-2π3coskπ+π6=-34(k∈Z).

    思路與方法:本題在靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡的過程中,主要體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

    3 利用誘導(dǎo)公式證明

    例3? 證明:sec α-tan α=tanπ4-α2.

    法1:sec α-tan α=1cos α-sin αcos α=1-sin αcos α

    =sin2α2+cos2α2-2sinα2cosα2cos2α2-sin2α2=cosα2-sinα22cos2α2-sin2α2=cosα2-sinα2cosα2+sinα2

    =1-tanα21+tanα2=tanπ4-α2.

    法2:sec α-tan α=1-sin αcos α=1-cosπ2-αsinπ2-α=tan12π2-α

    =tanπ4-α2.

    法3:sec α-tan α

    =1-sin αcos α

    =2cosπ4+α2sinπ4-α2cos α

    =2cosπ4+α2sinπ4-α22sinπ4-α2cosπ4-α2

    =tanπ4-α2.

    思路與方法:本題的三種證法主要體現(xiàn)了運(yùn)用誘導(dǎo)公式與三角公式進(jìn)行恒等變換的技巧;解題的關(guān)鍵是要熟悉誘導(dǎo)公式,會根據(jù)解題的需要作適當(dāng)?shù)淖冃危€要具有敏銳的觀察力與邏輯推導(dǎo)能力.

    4 誘導(dǎo)公式的逆用

    例4? 在△ABC中,若sin C是sin A與sin B的等差中項(xiàng),證明sin(A-B)=2(sin A-sin B).

    證明:由sin A+sin B=2sin C,得2sinA+B2\5cosA-B2

    =4sinA+B2cosA+B2,則cosA-B2=2cosA+B2,

    等式兩邊同乘2sinA-B2,得

    2sinA-B2\5cosA-B2

    =4sinA-B2cosA+B2,即

    2 sinA-B2cosA-B2=22sinA-B2\5cosA+B2.

    所以sin(A-B)=2(sin A-sin B).

    思路與方法:本題如果直接證明比較困難,不如先進(jìn)行分析,sin(A-B)=2(sin A-sin B)2sinA-B2cosA-B2

    =4cosA+B2sinA-B2cosA-B2=2cosA+B2;再由條件步步逆推,sin A+sin B=2sin C2sinA+B2cosA-B2=2sin(A+B)

    =4sinA+B2cosA+B2cosA-B2=2cosA+B2.這樣,順推與逆推相結(jié)合,達(dá)到了殊途同歸的目的.

    5 誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用

    例5? 試證明:cos215π+cos415π+cos815π+cos1615π=12.

    法1:左邊=cos215π+cos815π+cos415π+cos1615π

    =2cosπ3cosπ5+2cos2π3cos2π5=cosπ5-2π10

    cos25π=2sin3π10sinπ10=2cos2π10sinπ10=2cosπ10sinπ10cos210πcosπ10=sin2π10cos2π10cosπ10

    =sin4π102cosπ10=12=右邊.

    法2:左邊=cos215π+cos1415π+cos415π+cos815π

    =2cos2π5cos8π15+2cos2π5cos2π15=2cos2π5cos815π+cos215π=4cos2π5cosπ3cosπ5=2cosπ5cos2π5=2sinπ10cosπ5=12=右邊.

    思路與方法:本題的證法1在證明到“2sin3π10\5sinπ10”這一步時(shí),接著運(yùn)用誘導(dǎo)公式將其變形為“2cos2π10sinπ10”,再進(jìn)一步化簡.證法2應(yīng)用誘導(dǎo)公式將cos1615π化為cos1415π,化積后有公因子出現(xiàn),即可提取公因式、再化積,從而達(dá)到證明的目的.

    從近幾年的高考試題來看,誘導(dǎo)公式已成為每年高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一,且各種題型均有涉及.其中,解答題常與同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等知識點(diǎn)結(jié)合起來命題,分值較高,難度較大,也是高考備考的重點(diǎn)內(nèi)容.因此要指導(dǎo)學(xué)生通過典型例題的學(xué)習(xí)與適量訓(xùn)練,學(xué)會和掌握運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡、求值、證明的方法與技巧,更要能夠運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,通過創(chuàng)設(shè)運(yùn)用誘導(dǎo)公式的條件,綜合運(yùn)用其他相關(guān)知識,解決與函數(shù)、方程、解三角形等有關(guān)的綜合問題,不斷提高綜合解題能力.

    參考文獻(xiàn):

    [1]鄒玲.合理融合交匯,誘導(dǎo)公式應(yīng)用[J].數(shù)理天地(高中版),2023(21):8-9.

    [2]周文國.誘導(dǎo)公式的學(xué)與思[J].數(shù)理天地(高中版),2022(13):9-12.

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