“雙變量”巧消元，單變量妙破解

蔡明生

摘要：在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中，涉及“雙變量”或“雙參”的相關(guān)問(wèn)題是其中一類熱點(diǎn)問(wèn)題，也是近年高考中比較常見(jiàn)的一類基本題型，有其自身比較常規(guī)的破解思維方法與技巧策略.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；曲線；直線；相切；最值

近些年高考和?？贾泻瘮?shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題，常涉及“雙變量”或“雙參”問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)提出了較高要求.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合已知條件，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式，想方設(shè)法把“雙變量”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，從而化陌生為熟悉，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與解決.

本文中以一道模擬題中涉及的“雙變量”的最值問(wèn)題求解為例，深入剖析問(wèn)題，多視角技巧方法應(yīng)用，合理變式拓展，助力數(shù)學(xué)解題研究.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題? 已知函數(shù)f（x）=2ln（ax+b）（a，b∈R），若直線y=x與曲線y=f（x）相切，則ab的最大值為.

此題借助含有“雙變量”的函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線與直線相切來(lái)合理創(chuàng)設(shè)情境，進(jìn)而求解雙變量乘積所對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的最值.合理消元，將“雙變量”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵所在，也是主要的切入點(diǎn).

2 問(wèn)題破解

解法1：消元法—基于主元思維1.

設(shè)直線y=x與函數(shù)y=f（x）對(duì)應(yīng)的曲線相切于點(diǎn)P（x0，2ln（ax0+b））.

因?yàn)閒′（x）=2aax+b，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f′（x0）=2aax0+b=1，即ax0+b=2a（a>0）.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在切線y=x上，則2ln（ax0+b）=x0，

所以x0=2ln（ax0+b）=2ln 2a，于是b=2a-ax0=2a-2aln 2a.

因此ab=2a2-2a2ln 2a（a>0）.

設(shè)函數(shù)g（a）=2a2-2a2ln 2a（a>0），則g′（a）=2a-4aln 2a=2a（1-2ln 2a）.

令g′（a）=0，解得a=e2.所以

當(dāng)a∈0，e2時(shí)，g′（a）>0，函數(shù)g（a）單調(diào)遞增；當(dāng)a∈e2，+∞時(shí)，g′（a）<0，函數(shù)g（a）單調(diào)遞減.

所以g（a）max=ge2=e4，即ab的最大值為e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“雙變量”或“雙參”的相關(guān)問(wèn)題，往往是構(gòu)建雙變量之間的等量關(guān)系式，進(jìn)而因地制宜，直接選取其中一個(gè)變量作為“主元”，結(jié)合消元處理轉(zhuǎn)化為涉及該“主元”的關(guān)系式，從而巧妙將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，借助函數(shù)的構(gòu)建以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通過(guò)函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題.

解法2：消元法—基于主元思維2.

同解法1得到x0=2ln（ax0+b）=2ln 2a.

那么a=12ex02，b=2a-ax0=a（2-x0）=12ex02（2-x0），因此ab=14ex0（2-x0）.

設(shè)函數(shù)g（x）=14ex（2-x）（x>0），則有g(shù)′（x）=14ex（1-x），

令g′（x）=0，解得x=1.

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）>0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）<0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減.

所以g（x）max=g（1）=e4，即ab的最大值為e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“雙變量”或“雙參”的相關(guān)問(wèn)題，利用變量的引入以及條件關(guān)系的應(yīng)用，將雙變量同時(shí)轉(zhuǎn)化為另外同一個(gè)變量的關(guān)系式，達(dá)到消元的目的，同樣可以巧妙地將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，借助函數(shù)的構(gòu)建以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通過(guò)函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題.

解法3：消元法—基于換元思維.

同解法1可得ab=2a2-2a2ln 2a（a>0），

因此ab=2a2-2a2ln 2a=2a2-a2ln 4a2.

令t=4a2>0，函數(shù)g（t）=12t-14tln t=14t＼5（2-ln t），t>0，

則g′（t）=14（1-ln t），令g′（t）=0，解得x=e.

當(dāng)t∈（0，e）時(shí)，g′（t）>0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t∈（e，+∞）時(shí)，g′（t）<0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減.

所以g（t）max=g（e）=e4，即ab的最大值為e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“雙變量”或“雙參”的相關(guān)問(wèn)題，在消元并轉(zhuǎn)化為同一“主元”問(wèn)題時(shí)，有時(shí)結(jié)合表達(dá)式的復(fù)雜性進(jìn)行必要的換元處理，借助單變量函數(shù)問(wèn)題進(jìn)一步利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用來(lái)解決最值問(wèn)題.這里換元的目的往往是為了數(shù)學(xué)運(yùn)算的簡(jiǎn)捷與方便，優(yōu)化解題過(guò)程.

解法4：消元法—基于不等式放縮思維.

同解法1可得ab=2a2-2a2ln 2a（a>0），

結(jié)合切線不等式ln x≤xe（當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)等號(hào)成立），

因此得ab=2a2-2a2ln 2a=2a2（1-ln 2a）=a2·lne2a2≤a2·e2a2·1e=e4，當(dāng)且僅當(dāng)e2a2=e，即a=e2時(shí)等號(hào)成立，

則ab的最大值為e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“雙變量”或“雙參”的相關(guān)問(wèn)題，在消元并轉(zhuǎn)化為同一“主元”問(wèn)題時(shí)，利用單變量表達(dá)式的恒等變形與對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)特征，利用一些重要的不等式（基本不等式、柯西不等式、切線不等式等）進(jìn)行必要的放縮變形，也是用來(lái)確定代數(shù)式最值問(wèn)題中比較常用的一種技巧方法.

3 變式拓展

變式1? 已知a，b∈R，當(dāng)a＞0時(shí)，若ln（ax+b）≤x恒成立，則ab的最大值為.

解析：令函數(shù)f（x）=ln（ax+b）-x，則有f′（x）=aax+b-1（ax+b＞0），

令f′（x）=0，解得x=a-ba.

由a＞0，當(dāng)-ba＜x＜a-ba時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞a-ba時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減.

故f（x）在x=a-ba處取得最大值ln a-a-ba.

由題意可得ln a-a-ba≤0，即b≤a-aln a，所以ab≤a2-a2ln a.

設(shè)函數(shù)h（a）=a2-a2ln a，a＞0，則有h′（a）=2a-（2aln a+a）=a-2aln a=a（1-2ln a）.

令h′（a）=0，解得a=e.

當(dāng)0＜a＜e時(shí)，h′（a）＞0，h（a）單調(diào)遞增；當(dāng)a＞e時(shí)，h′（a）＞0，h（a）單調(diào)遞減.

所以h（a）在a=e處取得最大值e-12e=e2，

即當(dāng)a=e，b=e2時(shí)，ab的最大值為e2.

變式2? 已知a，b∈R，若集合{x|ex

e2

4 教學(xué)啟示

4.1 掌握技巧方法，合理消元化歸

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題中的“雙變量”或“雙參數(shù)”問(wèn)題常以切線、方程、不等式、最值、參數(shù)范圍等形式呈現(xiàn)，但最終的落腳點(diǎn)都是函數(shù)，其核心是研究函數(shù)的基本性質(zhì)，通過(guò)“減元”將雙元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題，確定待研究的函數(shù)成為解題的核心，再結(jié)合相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與技巧方法來(lái)分析與解決.

4.2 開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)思維，挖掘巧技妙解

解決此類涉及“雙變量”或“雙參數(shù)”的問(wèn)題，要充分挖掘題設(shè)條件的內(nèi)涵與本質(zhì)，深入理解題目條件與所求，合理變形與整合，巧妙消元并綜合應(yīng)用，開(kāi)拓思維，“一題多解”，從不同思維視角切入，挖掘巧技妙解，利用不同的技巧方法來(lái)分析與處理，舉一反三，靈活變通，借助“一題多變”，達(dá)到“一題多得”，真正達(dá)到融會(huì)貫通，從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維等層面融合，形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系，轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)能力，得以創(chuàng)新拓展.