數(shù)列試題評析，復(fù)習(xí)備考引領(lǐng)

張偉芳

近幾年的數(shù)學(xué)（全國卷）高考數(shù)列試題，突出數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，重視理性思維，堅持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則，突出數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)列知識本身的特點，發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)學(xué)科的選拔功能，在考查學(xué)生對數(shù)列知識的理解運(yùn)用的基礎(chǔ)上，頗具特色，也為高三復(fù)習(xí)備考了指明方向.

1 重視基礎(chǔ)數(shù)列，盯緊基本量法

數(shù)列是研究按一定次序排列的一列數(shù)的規(guī)律，是一類特殊的函數(shù)，也是研究其他函數(shù)的工具.其重點研究內(nèi)容有遞推關(guān)系、通項公式以及前n項和公式等，特別是兩類重要的基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列.

在等差（等比）數(shù)列中，我們稱a1和公差d（公比q）為基本量.如果給出的是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，解這類問題的基本思想就是利用基本公式（通項、中項、前n項和公式等）、基本方法（公式法）、基本思想（方程思想、函數(shù)思想），根據(jù)已知條件建立并求解方程（組）、不等式.在等差（等比）數(shù)列中，包含a1，公差d（公比q），n，an，Sn這五個量，可知三求二.在運(yùn)用等比數(shù)列前n項和公式時，要按q=1和q≠1進(jìn)行分類討論.

同時，數(shù)列問題一般具有“新、巧、活”的特點，若能充分挖掘數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，從等差（等比）數(shù)列的性質(zhì)出發(fā)求解可以簡化計算.這些性質(zhì)一般是整體運(yùn)算的體現(xiàn)，不用性質(zhì)也可以求解.

例1? （2023年新高考Ⅱ卷·8）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4=-5，S6=21S2，則S8=（? ）.

A.120

B.85

C.-85

D.-120

解法1：基本量法.

依題知，顯然等比數(shù)列的公比q≠1，

由S6=21S2，利用求和公式可以得到a1（1-q6）1-q=21×a1（1-q2）1-q，可得1-q6=21（1-q2），

展開有（1-q2）＼5（1+q2+q4）=21（1-q2），即（1-q2）（q4+q2-20）=0，亦即（1-q2）（q2-4）（q2+5）=0.

解得q=-1或q2=4或q2=-5<0（舍去）.

當(dāng)q=-1時，有S4=a1（1-q4）1-q=0，與條件S4=-5矛盾，也舍去，故q2=4.

由于S4=a1（1-q4）1-q=-5，所以S8=a1（1-q8）1-q=a1（1-q4）1-q（1+q4）=-5×（1+42）=-85.

故選：C.

解法2：基本性質(zhì)法.

依題知，在等比數(shù)列{an}中，有S2n=Sn+qnSn.

結(jié)合S6=21S2，可得S6=S3×2=（1+q2+q4）S2=21S2，則q4+q2-20=0，解得q2=4.余略.

點評：本題主要考查（解法1）等比數(shù)列前n項和公式及整體思想的簡單應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握S4，S8的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算；（解法2）還可以根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)，通過列方程的形式避開基本量的求解，簡化運(yùn)算.本題考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).

利用等差、等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)及前n項和公式的過程中，要重視一些“二級結(jié)論”成立的前提條件，不能忽視條件的限制，避免學(xué)生解題時出現(xiàn)錯誤.特別是解數(shù)列客觀題時，靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)往往可以起到化繁為簡、化腐朽為神奇的效果.因此，在等差、等比數(shù)列的復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)重視簡化運(yùn)算的方法技巧，這樣學(xué)生在考試中才會得心應(yīng)手.

2 注重核心考點，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向

不少教師認(rèn)為2024年高考對數(shù)列的考查“不夠創(chuàng)新”，幾個試題只涉及了最簡單的通項公式和求和公式及一些求和公式性質(zhì)的考查，但這不影響對學(xué)生綜合思維能力的考查，與套模式的“能力題”相比，2024年的題目更新、更活、更能選拔出思維敏捷的考生，命題難度把握得比較適中.

例2? （2023年新高考Ⅰ卷·7）記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：Snn為等差數(shù)列，則（? ）.

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解析：若{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則有Sn=na1+n（n-1）2d=12dn2+a1-12dn，

可得Snn=12dn+a1-12d，

而Sn+1n+1-Snn=d2為常數(shù)，

故Snn為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件.

反之，若{Snn}為等差數(shù)列，則有Sn+1n+1-Snn=nSn+1-（n+1）Snn（n+1）=nan+1-Snn（n+1）為常數(shù).

設(shè)常數(shù)t=nan+1-Snn（n+1），則Sn=nan+1-n（n+1）t，

Sn-1=（n-1）an-n（n-1）t（n≥2），

兩式對應(yīng)相減，可得an=nan+1-（n-1）an-2nt，即an+1-an=2t為常數(shù).

當(dāng)n=1時，上式也成立，

故{an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件.

綜上分析，可知甲是乙的充要條件.

故選：C.

點評：本題以等差數(shù)列為載體，考查充分條件和必要條件以及對等差數(shù)列定義的理解，考查學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).

3 創(chuàng)設(shè)實例情境，體現(xiàn)應(yīng)用價值

新高考改革命題強(qiáng)調(diào)“核心素養(yǎng)”，應(yīng)用題或者數(shù)學(xué)文化題是考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的最好載體，特別是在數(shù)列模塊中創(chuàng)設(shè)實例應(yīng)用情境，在歷年高考全國卷中也都有所涉及.

例3? （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·3）中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖面圖，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD1，CC1，BB1，AA1是脊，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的脊步的比分別為DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3，若k1，k2，k3是公差為0.1的等差數(shù)列，直線OA的斜率為0.725，則k3=（? ）.

A.0.75

B.0.8

C.0.85

D.0.9

解析：設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=1，則有CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3，

依題可得k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，

結(jié)合比例性質(zhì)有DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，即0.5+k1+k2+k34=0.725，解得k3=0.9，故選擇答案：D.

2022年新高考Ⅱ卷第3題（此略）以古代建筑為數(shù)學(xué)文化背景，考查等差數(shù)列以及斜率等基礎(chǔ)知識的基本運(yùn)用.以實例場景為問題背景，從2017年新高考改革以來，全國卷就開始考查此類實例情境的應(yīng)用問題，值得關(guān)注.

4 突出基礎(chǔ)本質(zhì)，凸顯通性通法

數(shù)列的基礎(chǔ)本質(zhì)還是與兩個基本數(shù)列相關(guān)的通項公式、前n項和公式等問題，以及一些相關(guān)的基本性質(zhì)，解答題也往往是圍繞這些重點知識點設(shè)置與考查.在具體解答過程中，還是強(qiáng)調(diào)通性通法，以最基本的方法來解決最基本的問題，這往往是數(shù)列試題設(shè)置的本質(zhì)所在.

例3? （2023年全國甲卷理科·17）已知數(shù)列{an}中，a2=1，設(shè)Sn為{an}前n項和，2Sn=nan.

（1）求{an}的通項公式；

（2）求數(shù)列{an+12n}的前n項和Tn.

解析：（1）依題知2Sn=nan，a2=1.

當(dāng)n=1時，2a1=a1，即a1=0；當(dāng)n=3時，2（1+a3）=3a3，即a3=2；

當(dāng)n≥2時，有2Sn-1=（n-1）an-1，所以2（Sn-Sn-1）=nan-（n-1）an-1=2an，

化簡可得（n-2）an=（n-1）an-1，則當(dāng)n≥3時，可得anan-1=n-1n-2.

所以an=anan-1·an-1an-2·……·a3a2·a2=n-1n-2·n-2n-3·……·21·1=n-1.

上式中當(dāng)n=2或n=1時，a2=1，a1=0也適合，所以{an}的通項公式為an=n-1，n∈N*.

（2）由（1）知，an=n-1，n∈N*，可得an+12n=n2n，

所以Tn=12+222+323+……+n2n，可得12Tn=122+223+324+……+n2n+1.

以上兩式對應(yīng)相減，可得12Tn=12+122+123+124+……+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1.

所以Tn=2-22n-2n2n+1=2-2+n2n，n∈N*.

點評：本題看似難度不大，但對學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及構(gòu)造新數(shù)列思維有一定的要求.第（1）問看似常規(guī)，但解題過程中充滿思辨，間接考查了利用累乘法求等數(shù)列通項的思維過程.

5 總結(jié)試題特征，挖掘命題特點

（1）注重對等差、等比數(shù)列通項公式、求和公式及一些重要性質(zhì)的考查.

（2）注重等差、等比數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相結(jié)合，本質(zhì)還是考查等差、等比數(shù)列通項公式與求和公式的應(yīng)用.

（3）新定義下的數(shù)列題目及數(shù)列與三角函數(shù)、集合交匯的綜合試題，是新高考的熱點題型.