數(shù)列探索性問題的分析與探究

張智

摘要：數(shù)列是高考數(shù)學的必考知識點，其中數(shù)列的探索性問題是數(shù)列知識的一個重要方面，它涉及到數(shù)列的性質(zhì)、規(guī)律和特殊性的探索和研究，題目難度通常較大，解題過程較為復雜，對學生的綜合分析能力和運算能力要求高.本文中對數(shù)列的探索性問題進行探究，并給出了具體案例的詳細分析，有利于幫助學生對數(shù)列的探索性問題有更深刻的認識，在遇到此類問題時能夠細致作答.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；探索性問題；例析

數(shù)列中的探索性問題主要有兩類：結(jié)論探索性問題和存在探索性問題.在解答探索性問

題時，學生需要不斷地質(zhì)疑和思考，積極尋找解決問題的方法和途徑，不僅要求他們對數(shù)

列知識有深刻的理解，還需要他們善于觀察、比較、剖析和歸納，勇于做出猜想，總

結(jié)規(guī)律，并進行證明驗證.解答雖然有一定的難度，但在解答問題的過程中，可以培養(yǎng)學

生獨立思考和解決問題的能力，使他們能更好地應(yīng)對學習中的挑戰(zhàn)和困難，取得更好的學

習效果［1-2］.

1 存在探索性問題

關(guān)于數(shù)列的存在探索性問題，其最明顯的特點是要求證明在某些特定條件下，與數(shù)列通項、首項、或前n項和有關(guān)的的一些結(jié)論是否成立或一些參數(shù)是否存在.解決這類問題的主要思路是：首先假設(shè)問題中所要求的結(jié)論成立或者參數(shù)存在，然后進行推理計算，若經(jīng)過推理得到肯定的結(jié)論，則假設(shè)成立，問題得證，若經(jīng)過推理得到否定的結(jié)論，則假設(shè)不成立，問題矛盾.下面以一道實例進行講解［3］.

例1? 現(xiàn)有數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}，已知a1=1，an+an+1=2n+1（n∈N*），bn=1anan+1，設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.

（1）求{an}的通項公式；

（2）是否存在正整數(shù)m，k（其中1

思路分析：（1）由an+an+1=2n+1，可得an+1+an+2=2n+3，兩式相減得an+2-an=2，可知數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項均成等差數(shù)列，分別求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，然后合并便可得到{an}的通項公式；（2）根據(jù)題干條件可得bn=1n-1n+1，利用裂項相消法求出Sn的表達式，先假設(shè)Sk=4S2m成立，根據(jù)1

解：（1）由a1=1，an+an+1=2n+1，

得a2=3-a1=2，

再由

an+an+1=2n+1，

①

可以得到

an+1+an+2=2n+3.

②

①-②，得an+2-an=2.

所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是以2為公差的等差數(shù)列.

當n=2k（k∈N*）時，

an=a2+2（k-1）=2k=n.

當n=2k-1（k∈N*）時，

an=a1+2（k-1）=2k-1=n.

所以an=n，n∈N*.

（2）根據(jù)（1），可得bn=1n（n+1）=1n-1n+1，

所以

Sn=b1+b2+……+bn=1-12+12-13+……+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.

若Sk=4S2m，則kk+1=4m2（m+1）2，即

1+1k=（m+1）24m2.

所以1k=-3m2+2m+14m2.

又因為1

故0<-3m2+2m+14m2<1m<1.

整理，得3m2-2m-1<0，3m2+2m-1>0，m>1.

解得131，無解.

所以不存在滿足題意的m，k.

2 結(jié)論探索性問題

數(shù)列的結(jié)論探索性問題最明顯的特點是題目中給出的條件是明確的，需要探求結(jié)論或證明某個結(jié)論是否正確.解決這類問題，通常采用歸納總結(jié)的方法，其基本思路是先探索結(jié)論，然后再對結(jié)論進行論證.在探索結(jié)論的過程中，先從特殊情形入手，通過觀察、分析、歸納、判斷等手段進行推理猜測，歸納出相應(yīng)的結(jié)論，然后從特殊到一般，對一般的情形進行證明即可［4］.

例2? 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=-94，4Sn+1=3Sn-9（n∈N*），有數(shù)列{bn}滿足3bn+（n-4）an=0（n∈N*），設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若對任意n∈N*，都有Tn≤λbn恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.

思路分析：（1）由4Sn+1=3Sn-9（n∈N*）和a1=-94可得到a1與a2之間的關(guān)系，進而得到數(shù)列{an}是等比數(shù)列，然后求其通項公式；（2）根據(jù)題意得bn=（n-4）×34n，易知數(shù)列{bn}是由等差數(shù)列{n-4}和等比數(shù)列34n相乘構(gòu)成，因此可直接采用錯位相減法求出Tn，然后將Tn代入Tn≤λbn，即可求得λ的取值范圍.使用錯位相減法時，要認真細致，不可錯項、漏項.

解：（1）因為4Sn+1=3Sn-9，所以當n≥2時有4Sn=3Sn-1-9，則4an+1=3an（n≥2）.

又n=1時，4（a1+a2）=3a1-9，則a1=-94，可得a2=-2716，

所以a2=34a1.

所以{an}是以-94為首項，34為公比的等比數(shù)列.

因此an=-3×34n.

（2）由（1）得bn=（n-4）×34n，則

Tn=（-3）×34+（-2）×342+（-1）×343+……+（n-4）×34n.③

兩邊同乘34，得

34Tn=（-3）×342+（-2）×343+……+（n-4）×34n+1.④

③—④，得

14Tn=（-3）×34+342+343+……+34n-（n-4）×34n+1.

所以Tn=-4n×34n+1.

因為對任意n∈N*，都有Tn≤λbn恒成立，所以

-4n×34n+1≤λ（n-4）×34n，

亦即（λ+3）n-4λ≥0恒成立.

記f（n）=（λ+3）n-4λ（n∈N*），則

λ+3≥0，f（1）≥0.

解得-3≤λ≤1.

故入的取值范圍為［-3，1］.

點評：解決數(shù)列的結(jié)論探索性問題，可以依據(jù)以下思路進行分析.第一步聯(lián)想知識，根據(jù)題設(shè)條件，聯(lián)想相應(yīng)的知識要點；第二步篩選方法，根據(jù)題目要求，選擇相應(yīng)的求解通法；第三步構(gòu)建思路，構(gòu)思求解問題的思路和步驟；第四步規(guī)范推導，嚴格按邏輯關(guān)系進行推導、演算、論證；第五步反思回顧，解答完題目要回過頭來查看關(guān)鍵點、易錯點及解題是否規(guī)范，看解答過程是否有不當之處［5］.

數(shù)列的存在探索性問題是一種需要邏輯推理和假設(shè)驗證的重要數(shù)學問題，考查學生的自主思考和邏輯推理能力.在高中數(shù)學的學習中，掌握解決這類問題的基本策略和方法，對學生邏輯推理能力的培養(yǎng)與訓練至關(guān)重要.

參考文獻：

［1］劉志林.探究數(shù)列中三類探索性問題的求解策略［J］.福建

中學數(shù)學，2023（10）：34-37.

［2］付素玲.直擊數(shù)列中的探索性問題［J］.高中數(shù)理化，2024

（7）：24-25.

［3］姜興榮.數(shù)列中探索性問題的類型與破解策略［J］.中學數(shù)學研究，2023（2）：50-52.

［4］黃保球.數(shù)列探索性問題分類和對應(yīng)解題思路分析［J］.高中數(shù)理化，2022（15）：66-67.

［5］林婉瑜.點擊數(shù)列中的幾類探索性問題［J］.福建中學數(shù)學，2022（9）：42-44.