函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主題教學(xué)設(shè)計案例分析

劉化剛

課題信息：甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度“普通高中數(shù)學(xué)新課程實驗跟蹤與質(zhì)量監(jiān)測教改實驗項目”專項課題“高中數(shù)學(xué)選擇性必修課程‘函數(shù)主題教學(xué)設(shè)計與實施研究”，課題立項號為GS［2023］GHBZX0003.

摘要：通過主題教學(xué)設(shè)計案例分析的方式，明確函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主題教學(xué)設(shè)計的內(nèi)容為函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過提出問題、探究分析問題到解決問題，以及在解決問題過程中關(guān)于主題教學(xué)設(shè)計的計劃、實施、檢驗和優(yōu)化等流程，論證了運用導(dǎo)數(shù)法可以簡便、快捷地判斷函數(shù)的單調(diào)性及求其單調(diào)區(qū)間.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；主題教學(xué)設(shè)計；案例分析

函數(shù)單調(diào)性的判斷，主要有定義法和圖象法.然而，相比一次、二次函數(shù)而言，運用定義法和圖象法判斷三次及以上，或者圖象難畫的函數(shù)的單調(diào)性，會比較復(fù)雜、困難.例如，函數(shù)f（x）=-5x3+5x+10，圖象復(fù)雜，利用定義法通過作差、變形和判斷符號來判斷其單調(diào)性的過程也很繁瑣.那么，運用什么方法可以簡便、快捷地判斷上述復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性呢？本文中采用主題教學(xué)設(shè)計的方式對利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題進(jìn)行案例探究和分析.

1 主題教學(xué)說明

主題教學(xué)是一種關(guān)于交叉內(nèi)容的教學(xué)方式.教學(xué)主題的確定在于教學(xué)設(shè)計內(nèi)容的選擇.主題教學(xué)內(nèi)容的選擇策略主要有兩種：一是根據(jù)相關(guān)概念進(jìn)行遷移選擇，二是根據(jù)相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行比較選擇.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)聯(lián)性，在于運用導(dǎo)函數(shù)能簡捷地判斷函數(shù)的單調(diào)性.由此，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主題教學(xué)設(shè)計的內(nèi)容為函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù).主題教學(xué)設(shè)計的步驟主要包括主題教學(xué)設(shè)計的準(zhǔn)備和計劃、實施和檢驗，以及總結(jié)和完善3個環(huán)節(jié).

本文中通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主題教學(xué)設(shè)計的方式，對運用導(dǎo)數(shù)方法簡便、快捷地判斷函數(shù)的單調(diào)性及求其單調(diào)區(qū)間進(jìn)行案例分析.該案例分析主要包括主題教學(xué)設(shè)計的準(zhǔn)備和計劃、實施和檢驗，以及總結(jié)和完善3個環(huán)節(jié).

2 主題教學(xué)設(shè)計的準(zhǔn)備和計劃

主題教學(xué)設(shè)計的準(zhǔn)備和計劃主要包括如下4步.首先，明確教學(xué)設(shè)計的主題.其次，分析教材以及教學(xué)內(nèi)容和課程標(biāo)準(zhǔn).再次，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)情況.最后，結(jié)合學(xué)情和教情，設(shè)計教學(xué)目標(biāo)、重點和難點，以及教學(xué)方式等.

2.1 明確教學(xué)設(shè)計主題

教學(xué)主題的確定在于主題教學(xué)設(shè)計內(nèi)容的選擇.主題教學(xué)設(shè)計的內(nèi)容主要有兩種選擇策略：一是根據(jù)相關(guān)概念進(jìn)行遷移選擇，二是根據(jù)相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行比較選擇.

2.2 分析教材及教學(xué)內(nèi)容和課程標(biāo)準(zhǔn)

函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)是教材教學(xué)內(nèi)容中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是在導(dǎo)數(shù)基本概念和計算等學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的教學(xué)，是研究函數(shù)極值和最值的基礎(chǔ).

2.3 了解學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)情況

函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)內(nèi)容.學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)在于關(guān)于導(dǎo)數(shù)基本概念、計算和幾何意義的學(xué)習(xí)情況.

2.4 設(shè)計教學(xué)目標(biāo)、重難點和教學(xué)方式

結(jié)合學(xué)情和教情，設(shè)計關(guān)于函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的主題教學(xué)目標(biāo)，重點和難點以及教學(xué)方式.

（1）教學(xué)目標(biāo)：探索可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，掌握運用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性以及求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法.

（2）教學(xué)重點：通過分組合作，探究并掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.

（3）教學(xué)難點：運用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性及求其單調(diào)區(qū)間.

（4）教學(xué)方式：主要采取如下2種類型的教學(xué)方式.一是設(shè)置生活教學(xué)情境，例如高臺跳水情境，引入跳水運動軌跡函數(shù)單調(diào)性問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣.二是將學(xué)生分組，通過學(xué)習(xí)小組的方式，合作探究跳水運動軌跡可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其運動速度函數(shù)的關(guān)系.

3 主題教學(xué)設(shè)計的實施和檢驗

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主題教學(xué)設(shè)計的實施和檢驗，在引入實際生活情境的基礎(chǔ)上，結(jié)合課堂分組教學(xué)互動的實際反饋，按照主題教學(xué)設(shè)計的計劃，分步驟地實施和檢驗.

3.1 主題教學(xué)設(shè)計的實施

圍繞函數(shù)單調(diào)性的概念和性質(zhì)，主題教學(xué)設(shè)計的實施步驟主要包括如下3個方面：一是引入生活情境，通過分組教學(xué)的方式，讓學(xué)生體驗從直觀圖形—抽象導(dǎo)函數(shù)—判斷函數(shù)單調(diào)性—求其單調(diào)區(qū)間的演變.二是結(jié)合圖形解決函數(shù)單調(diào)性問題，讓學(xué)生體驗運用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性問題的本質(zhì).三是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性在實際生活中的應(yīng)用，讓學(xué)生深刻理解所構(gòu)建的函數(shù)模型的單調(diào)性可以更清晰、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)現(xiàn)實生活.

主題教學(xué)設(shè)計的具體實施步驟，如下所述：

例題? 跳水運動員小華在10米高臺跳水項目中，從高臺跳板起跳，在跳板的作用下反彈到最高點，再從最高點下落入水的過程中，若運動員小華的重心相對于水面的高度為h，運動速度為v，運動時間為t，則h與t的函數(shù)關(guān)系為h（t）=-5t2+5t+10，速度v與運動時間t的關(guān)系為v（t）=-10t+5.試比較運動員小華從跳臺起跳到最高點與從最高點到落水的兩段時間內(nèi)的運動狀態(tài)的區(qū)別.

具體的主題教學(xué)設(shè)計實施的分析，主要包括如下4步：

首先，明確運動員小華高臺跳水的運動軌跡是一條開口向下的拋物線，定義域為運動員小華從跳臺起跳時間t0到落水時間t1，記作［t0，t1］.

其次，將拋物線的定義域分為2個區(qū)間，分別為運動員小華從跳臺起跳時間t0到最高點時間tm，記作［t0，tm］，從最高點時間tm到落水時間t1，記作［tm，t1］.

再次，比較運動員小華從跳臺起跳到最高點，以及從最高點到落水的兩段時間內(nèi)的運動狀態(tài)的區(qū)別，轉(zhuǎn)化為判斷運動員小華高臺跳水運動軌跡在2個定義域區(qū)間上的單調(diào)性.

最后，將學(xué)生分為2個學(xué)習(xí)小組，分別合作探究利用圖象法和導(dǎo)數(shù)法判斷跳水運動軌跡可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，以及跳水運動軌跡可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與運動速度函數(shù)的關(guān)系.

3.2 主題教學(xué)設(shè)計的檢驗

主題教學(xué)設(shè)計的檢驗過程主要包括如下3步：

首先，分組合作運用圖象法判斷運動員小華高臺跳水運動軌跡在2個定義域區(qū)間上的單調(diào)性.畫出運動員小華跳水高度h與運動時間t的關(guān)系為h（t）=-5t2+5t+10的圖象，如圖1所示.

從圖1可以看出，運動員小華從跳臺起跳時間t0到最高點時間tm的運動軌跡在

區(qū)間［t0，tm］上的單調(diào)性為單調(diào)遞增狀態(tài)，從最高點時間tm到落水時間t1的運動軌跡在區(qū)間

［tm，t1］上的單調(diào)性為單調(diào)遞減狀態(tài).

其次，分組合作探究跳水運動軌跡可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其運動速度函數(shù)的關(guān)系.

從圖2所示來看，運動員小華從跳臺起跳時間t0到最高點時間tm的運動速度v（t）>0，從最高點時間tm到落水時間t1的運動速度v（t）<0.通過比較運動員小華跳水高度h與運動時間t的關(guān)系和運動速度v與運動時間t的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

運動員小華在［t0，tm］區(qū)間內(nèi)，運動軌跡的導(dǎo)函數(shù)與運動速度函數(shù)一致，記作h′（t）=v（t）>0，運動軌跡為單調(diào)遞增狀態(tài).同理，在［tm，t1］區(qū)間內(nèi)，運動軌跡的導(dǎo)函數(shù)與運動速度函數(shù)也一致，記作h′（t）=v（t）<0，運動軌跡為單調(diào)遞減狀態(tài).由此，結(jié)合圖形判斷函數(shù)單調(diào)性，讓學(xué)生體驗到運用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)在于函數(shù)切線斜率的正負(fù).

最后，通過跳水運動員小華運動軌跡函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或者切線斜率的正負(fù)來判斷上述函數(shù)的單調(diào)性以及求其單調(diào)區(qū)間在實際生活中的應(yīng)用，學(xué)生能夠深刻地理解所構(gòu)建的函數(shù)模型的單調(diào)性可以更清晰、嚴(yán)謹(jǐn)、便捷地表達(dá)現(xiàn)實生活.

4 主題教學(xué)設(shè)計的總結(jié)和完善

4.1 主題教學(xué)設(shè)計的總結(jié)

主題教學(xué)設(shè)計的流程可以總結(jié)為從提出問題、探究分析問題到解決問題，以及在解決問題過程中，關(guān)于主題教學(xué)設(shè)計的計劃、實施、檢驗和優(yōu)化等環(huán)節(jié).

4.2 主題教學(xué)設(shè)計的完善

對實施后的主題教學(xué)設(shè)計進(jìn)行優(yōu)缺點總結(jié)，提出進(jìn)一步完善主題教學(xué)設(shè)計內(nèi)容的措施.例如，增加利用定義法和導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性及求其單調(diào)區(qū)間的主體教學(xué)設(shè)計，并且在后期教學(xué)計劃的設(shè)計和實施中不斷進(jìn)行優(yōu)化.

通過主題教學(xué)設(shè)計案例分析的方式，明確教學(xué)設(shè)計內(nèi)容的主題為函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)，論證了運用導(dǎo)數(shù)法可以簡便、快捷地判斷函數(shù)單調(diào)性及求其單調(diào)區(qū)間.其中，主題教學(xué)設(shè)計流程主要包括計劃，實施和檢驗，以及優(yōu)化3個環(huán)節(jié).利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的主要步驟為：確定函數(shù)的定義域，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求解導(dǎo)函數(shù)大于0的解集，定義域在該解集內(nèi)的區(qū)間為函數(shù)的增區(qū)間，求解導(dǎo)函數(shù)小于0的解集，定義域

在該解集內(nèi)的區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間.