基于問題解決的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

黃守明

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在繼承原有“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）和“四能”（發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力）的基礎(chǔ)上，聚焦于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，這為基于問題解決的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供了新的思路。教師作為教學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者，應(yīng)該以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律、學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律，積極探究課堂教學(xué)新路徑。

“相似三角形”是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，它在幾何學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。在人教版初中數(shù)學(xué)教材中，相似三角形被安排在第二十七章“相似”中，是這一章的核心內(nèi)容之一。相似三角形的判定和性質(zhì)是本節(jié)課的重點(diǎn)，如兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例等，這些判定方法都是通過一定的條件來判斷兩個(gè)三角形是否相似。同時(shí)，相似三角形還具有一些重要的性質(zhì)，如對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例等。本節(jié)教材內(nèi)容豐富、結(jié)構(gòu)清晰，教師應(yīng)該結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)，以問題解決為主要線索，構(gòu)建高品質(zhì)數(shù)學(xué)課堂，幫助學(xué)生理解和掌握相似三角形的基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用技巧，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力等，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、啟疑——引入問題與創(chuàng)設(shè)情境

教師：同學(xué)們，今天我們要學(xué)習(xí)一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)——相似三角形。在開始之前，請(qǐng)大家先觀察兩張圖片。

（PPT出示兩張相似的三角形圖片，即△ABC和△A′B′C′）

教師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)這兩張圖片中的三角形有什么共同點(diǎn)呢？

學(xué)生：這兩個(gè)三角形的形狀好像差不多。

教師：很好，有同學(xué)說這兩個(gè)三角形的形狀差不多，大家再仔細(xì)觀察一下，還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生：我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形中的角也是對(duì)應(yīng)的，如△ABC和△A′B′C′中的角A和角A′，角B和角B′，角C和角C′，它們都是對(duì)應(yīng)相等的。

教師：這位同學(xué)說得很對(duì)，這兩個(gè)三角形中的對(duì)應(yīng)角是相等的，那么我們能不能說這兩個(gè)三角形是相似的呢？

學(xué)生：老師，我覺得可以這么說，因?yàn)樗鼈兊膶?duì)應(yīng)角相等，而且形狀也差不多。

教師：很好，這位同學(xué)的想法很有道理，那么我們就給這兩個(gè)三角形取個(gè)名字，叫做相似三角形?，F(xiàn)在請(qǐng)大家根據(jù)剛才的觀察和討論，總結(jié)一下相似三角形的定義。

學(xué)生：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。

教師：這位同學(xué)總結(jié)得非常好。

二、質(zhì)疑——引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究

教師：同學(xué)們，接下來，我們要來學(xué)習(xí)判定三角形相似的方法。大家先想象一下，如果我們想要判斷兩個(gè)三角形是否相似，可以從哪些方面來考慮呢？

學(xué)生：我覺得可以從邊和角來考慮。如果兩個(gè)三角形的邊成一定比例，或者有相同大小的角，那么它們可能就是相似的。

教師：這位同學(xué)提出了一個(gè)很好的思路，那么我們今天就來探討一下，如何從邊和角的角度來判定三角形的相似。請(qǐng)同學(xué)們先討論，然后提出看法。

（學(xué)生積極交流、討論，踴躍發(fā)言）

教師：同學(xué)們討論出什么結(jié)論了呢？

學(xué)生：如果有兩個(gè)三角形，它們有兩條邊的長(zhǎng)度成一定比例，并且夾角也相等，那么這兩個(gè)三角形就是相似的。

教師：不錯(cuò)。那么還有誰能說一說其他方法呢？

學(xué)生：我發(fā)現(xiàn)如果有兩個(gè)三角形，它們兩角分別對(duì)應(yīng)相等，又或者三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。

教師：很好。接下來，還有誰來說一說新的發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生：我發(fā)現(xiàn)可以根據(jù)三角形的三條邊的情況進(jìn)行判定。若兩個(gè)三角形的三條邊成一定比例，則這兩個(gè)三角形相似。例如，△ABC和△A′B′C′，它們所對(duì)應(yīng)的邊分別為4 cm、7 cm、9 cm和8 cm、14 cm、18 cm，則△ABC和△A′B′C′是相似的。

教師：是的，這種判斷方法非常簡(jiǎn)單。

學(xué)生：老師，我還發(fā)現(xiàn)如果平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

教師：沒錯(cuò)，這是平行線判定定理，是很多同學(xué)會(huì)忽略的一個(gè)點(diǎn)，看來你觀察得非常仔細(xì)。

那么，相似三角形的判定還有沒有第五種方法呢？

學(xué)生：如果有兩個(gè)直角三角形，它們的斜邊成一定比例，且相同的斜邊所對(duì)應(yīng)的直角邊長(zhǎng)度也成一定比例，那么這兩個(gè)直角三角形就是相似的。判定的關(guān)鍵點(diǎn)在于了解兩個(gè)直角三角形的斜邊和直角邊。

教師：非常棒。你們能舉例說明嗎？

學(xué)生：假設(shè)我們有兩個(gè)直角三角形，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)度為5 cm，它的一條直角邊長(zhǎng)度為3 cm；Rt△A′B′C′的斜邊長(zhǎng)度也為10 cm，它的一條直角邊長(zhǎng)度也為6 cm，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′就是相似的三角形。

教師：很好。這就是我們今天學(xué)習(xí)的五種判定三角形相似的方法。大家有沒有什么疑問？

（教師借助多媒體展示總結(jié)表，見表1）

三、解疑——實(shí)踐操作與問題解決

教師：同學(xué)們，我們來看一個(gè)實(shí)例，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察圖1，并思考以下幾個(gè)問題：

問題1：圖1中的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？

問題2：如果這兩個(gè)三角形相似，那么它們的相似比是多少？

問題3：如果這兩個(gè)三角形的相似比是2∶1，那么它們的周長(zhǎng)之比是多少？

（學(xué)生獨(dú)立思考，然后回答）

學(xué)生：這兩個(gè)三角形是相似的，因?yàn)榈谝粋€(gè)三角形的兩個(gè)角和一條邊的長(zhǎng)度與第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角和邊長(zhǎng)度相等。

學(xué)生：這兩個(gè)三角形的相似比是2∶1，因?yàn)榈谝粋€(gè)三角形的兩個(gè)角和一條邊的長(zhǎng)度分別是第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角和邊長(zhǎng)度的兩倍。

學(xué)生：如果這兩個(gè)三角形的相似比是2∶1，那么它們的周長(zhǎng)之比也是2∶1，因?yàn)橄嗨迫切蔚膶?duì)應(yīng)邊成比例。

教師：非常好，看來大家對(duì)相似三角形的定義、判定方法和性質(zhì)掌握得不錯(cuò)。現(xiàn)在，我將大家分成多個(gè)小組，以小組為單位，請(qǐng)大家根據(jù)所學(xué)知識(shí)，通過合作、分工，共同探討相似三角形的問題，并在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成。

例題1：如圖2，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD、BC上的點(diǎn)，且EF∥CD，G則是邊AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接了BG，那么圖2中有幾個(gè)三角形與△ABG相似，分別是哪幾個(gè)三角形？

（學(xué)生以小組為單位進(jìn)行合作探究，教師巡視并給予指導(dǎo)）

教師：好，時(shí)間到。同學(xué)們，經(jīng)過剛才的小組合作探究，相信大家對(duì)尋找相似三角形有了更深入的理解。那么，哪位同學(xué)愿意先來分享一下你們的討論成果呢？

學(xué)生：老師，我們小組在討論中發(fā)現(xiàn)，△GDM與△GAB相似，因?yàn)檫@兩個(gè)三角形有一個(gè)共同的角G，而由于DM與AB平行，所以兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)GA與GD、GB與GM之間存在比例關(guān)系，所以根據(jù)“平行線判定定理”，可以判定這兩個(gè)三角形相似。同樣，EN與AB平行，我們得出△GEN與△GAB相似。

學(xué)生：我們小組在討論中發(fā)現(xiàn)了其他平行線段，由于DM與EN平行，所以我們得出△GDM與△GEN相似。

教師：非常好！你們已經(jīng)熟練地應(yīng)用了“平行線判定定理”來尋找相似三角形。那么，與△ABG相似的三角形一共有多少個(gè)呢？

學(xué)生：根據(jù)我們的討論，與△ABG相似的三角形一共有4個(gè)。

教師：非常棒！你們的探究非常深入?？磥泶蠹叶颊莆樟藢ふ蚁嗨迫切蔚姆椒?。

四、回顧——課后總結(jié)與作業(yè)布置

教師：同學(xué)們，接下來，我們來回顧一下本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。誰來總結(jié)一下？

學(xué)生：首先，我們學(xué)習(xí)了相似三角形的定義，即對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。

學(xué)生：我們學(xué)習(xí)了相似三角形的判定方法，一共有五種，包括：平行線判定定理、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例、兩角對(duì)應(yīng)相等、直角三角形相似判定定理。

學(xué)生：我們學(xué)習(xí)了相似三角形的性質(zhì)，包括對(duì)應(yīng)邊成比例等。

學(xué)生：我們利用相似三角形的性質(zhì)解決了實(shí)際的問題。

教師：沒錯(cuò)，這就是我們今天所學(xué)的重要知識(shí)。接下來，請(qǐng)大家完成課后練習(xí)題，并嘗試解決以下問題：

作業(yè)1：完成課本相關(guān)練習(xí)題。

作業(yè)2：已知兩個(gè)相似三角形，其中第一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6 cm和8 cm，第二個(gè)三角形所對(duì)應(yīng)的兩邊長(zhǎng)分別為18 cm和24 cm。求它們的相似比。

作業(yè)3：在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE平行于BC，且BD∶AD=3∶2，那么△ABC與△ADE的周長(zhǎng)之比是多少？

在此次教學(xué)中，我主要設(shè)計(jì)了啟疑、質(zhì)疑、解疑、回顧等多個(gè)環(huán)節(jié)，教學(xué)過程的設(shè)計(jì)非常合理。在啟疑環(huán)節(jié)，我通過展示兩張相似的三角形圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)。這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)效果較好，但在引導(dǎo)學(xué)生觀察時(shí)，我應(yīng)該適當(dāng)提出一些更具啟發(fā)性的問題，如“這兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)有什么關(guān)系？”等，以幫助學(xué)生更全面地觀察和思考。

在質(zhì)疑環(huán)節(jié)中，我通過提問引導(dǎo)學(xué)生從邊和角的角度思考如何判斷兩個(gè)三角形是否相似。學(xué)生在討論中提出了五種判定方法。

在解疑環(huán)節(jié)中，我通過實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。學(xué)生在獨(dú)立思考后，能夠正確判斷兩個(gè)三角形是否相似，以及它們的相似比等。然后，我組織學(xué)生進(jìn)行小組合作探究，進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)。

在回顧環(huán)節(jié)中，我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納、總結(jié)，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)、鞏固，然后布置了課后作業(yè)，要求學(xué)生完成練習(xí)題，并嘗試解決一些拓展性問題。

總之，這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)相對(duì)科學(xué)，既有理論的學(xué)習(xí)，又有實(shí)踐的操作，既有課堂的學(xué)習(xí)，又有課后的拓展。但同時(shí)也存在一些可以改進(jìn)的地方，需要我們?cè)诮虒W(xué)過程中不斷反思和調(diào)整，以提高教學(xué)效果。

（作者單位：福建省福州市閩清縣教育局）

編輯：溫雪蓮