利用絕對(duì)值解決分類討論問題探討

賈曉菲

［摘 要］利用絕對(duì)值可以有效避免分類討論的麻煩。文章結(jié)合具體例題，說明如何利用絕對(duì)值解決分類討論問題，以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用絕對(duì)值的方法，提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］絕對(duì)值；分類討論；坐標(biāo)系

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2024）11-0022-03

解決平面直角坐標(biāo)系中有關(guān)的問題，時(shí)常用分類討論的方法。分類討論有時(shí)會(huì)比較麻煩，而利用絕對(duì)值可以有效避免分類討論的麻煩。本文結(jié)合具體例題說明如何利用絕對(duì)值解決平面直角坐標(biāo)系中的分類討論問題。

一、與三角形面積有關(guān)的問題

計(jì)算一次函數(shù)圖線所在平面的三角形面積問題時(shí)，一般需要作平行于[y]軸的直線，這條直線被兩條一次函數(shù)圖線所截得的線段長(zhǎng)等于兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式差的絕對(duì)值。計(jì)算二次函數(shù)圖線所在平面的三角形面積問題時(shí)，一般需要過拋物線上一點(diǎn)作[x]軸的垂線，這條垂線段的長(zhǎng)就是這點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值。

［例1］如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)[A（2 ，2）]，點(diǎn)[C0，43]，直線[AC]交[x]軸于點(diǎn)[B]。（1）求直線[AC]的表達(dá)式和點(diǎn)[B]的坐標(biāo)；（2）在直線[OA]上有一點(diǎn)[P]，使得△[BCP]的面積為4，求點(diǎn)[P]的坐標(biāo)。

解析：（1）過程略，答案：直線[AC]的表達(dá)式為[y=13x+43]，點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[（-4，0）]。

（2）如圖2所示，設(shè)直線[OA]的表達(dá)式為[y=mx]，把[A（2 ，2）]代入得[2m=2]，解得[m=1]，∴直線[OA]的表達(dá)式為[y=x]，過點(diǎn)[P]作[PQ]∥[y]軸交直線[BC]于點(diǎn)[Q]，設(shè)[P（t，t）]，則[Qt，13t+43]，∴[PQ=t-13t-43=23t-43]?！摺鱗BCP]的面積[=△CPQ]的面積+[△BPQ]的面積，而△[CPQ]的面積[=12×PQ×OH]，[△BPQ]的面積[=12×PQ×BH]，∴[△BCP]的面積[=12PQ×OB]，∵△[BCP]的面積為4，∴[12×23t-43×4=4]，解得[t=-1]或[t=5]，∴點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為（-1，-1）或[（5，5）]。

評(píng)注：點(diǎn)[P]在直線[OA]上運(yùn)動(dòng)，采用分類討論的方法時(shí)，需要分為點(diǎn)[P]在點(diǎn)[A]的上方和點(diǎn)[P]在點(diǎn)[A]的下方兩種情況。當(dāng)點(diǎn)[P]在點(diǎn)[A]的上方時(shí)，如圖3所示；當(dāng)點(diǎn)[P]在點(diǎn)[A]的下方時(shí)，如圖2所示。而利用絕對(duì)值則避免了分類討論的麻煩。

［例2］如圖4所示，拋物線[y=ax2+bx+3（a≠0）]與[x]軸交于[A（-1，0）]，[B（3，0）]，與[y]軸交于點(diǎn)[C]，連接[BC]。（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)[M]，使△[MAB]的面積與△[ABC]的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)[M]的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

解析：（1）過程略，答案：[y=-x2+2x+3]。

（2）存在點(diǎn)[M]，使△[MAB]的面積與△[ABC]的面積相等，理由如下?！遊A（-1，0）]，[B（3，0）]，[C（0，3）]，∴[S△ABC=12AB·OC=6]，∵[S△MAB=12×4×yM=S△ABC=6]，∴[yM=3]，因?yàn)辄c(diǎn)[M]是拋物線[y=-x2+2x+3]上一點(diǎn)，所以設(shè)點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[（x，-x2+2x+3）]，所以[-x2+2x+3=3]，所以[-x2+2x+3=±3]，當(dāng)[-x2+2x+3=3]時(shí)，解得[x=0]（舍去）或[x=2]，此時(shí)[M（2，3）]，如圖5所示。當(dāng)[-x2+2x+3=-3]時(shí)，解得[x=1+7]或[x=1-7]，∴[M（1+7，-3）]，[M（1-7，-3）]，如圖6所示。綜上所述，點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[（2，3）]或[（1+7，-3）]或[（1-7，-3）]。

評(píng)注：采用分類討論的方法，應(yīng)分為點(diǎn)[M]在[x]軸上方和點(diǎn)[M]在[x]軸下方兩種情況，如圖5和圖6所示。當(dāng)點(diǎn)[M]在[x]軸上方時(shí)，△[MAB]的高就等于點(diǎn)[M]的縱坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)[M]在[x]軸下方時(shí)，△[MAB]的高就等于點(diǎn)[M]的縱坐標(biāo)的相反數(shù)。而利用絕對(duì)值可以避免分類討論的麻煩。

二、與線段數(shù)量關(guān)系有關(guān)的問題

與線段數(shù)量關(guān)系有關(guān)的問題，一般表現(xiàn)為兩種：一是兩條直線被一條豎直直線截得的線段是已知線段的幾倍；二是一條直線與一條拋物線被一條豎直直線截得的線段是已知線段的幾倍。設(shè)出兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值等于已知線段長(zhǎng)的幾倍，可以避免分類討論，直接建立絕對(duì)值方程即可解決。

［例3］如圖7所示，已知函數(shù)[y=-12x+b]的圖象與[x]軸、[y]軸分別交于點(diǎn)[A、B]，與函數(shù)[y=x]的圖象交于點(diǎn)[M（2，2）]，在[x]軸上有一動(dòng)點(diǎn)[P（a，0）]，過點(diǎn)[P]作[x]軸的垂線，分別交函數(shù)[y=-12x+b]和[y=x]的圖象于點(diǎn)[C、D]。（1）求點(diǎn)[A]的坐標(biāo)；（2）當(dāng)[CD=2OB]時(shí)，求[a]的值。

解析：（1）過程略，答案：一次函數(shù)的解析式為[y=-12x+3]， 點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[（6，0）]。

（2）把[x=0]代入[y=-12x+3]得[y=3]，∴點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[（0，3）]，∴[OB=3]，∵[CD=2OB]，∴[CD=6]，∵[PC⊥x]軸，動(dòng)點(diǎn)[P（a，0）]，∴點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為[a，-12a+3]，點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為[（a，a）]，∴[CD=a--12a+3=6]，即[32a-3=6]，∴[32a-3=±6]，當(dāng)[32a-3=6]時(shí)，解得[a=6]，如圖7所示；當(dāng)[32a-3=-6]時(shí)，解得[a=-2]，如圖8所示。綜上所述，[a=6]或[-2]。

評(píng)注：過動(dòng)點(diǎn)[P]作[x]軸的垂線與兩條直線相交，被兩條直線截得的線段長(zhǎng)等于6的情況可能有兩種：一種是在交點(diǎn)[M]的右側(cè)（如圖7），另一種是在交點(diǎn)[M]的左側(cè)（如圖8），而利用絕對(duì)值建立并求解絕對(duì)值方程就可以求得全部符合題意的[a]值。

［例4］如圖9所示，拋物線[y=ax2+bx-3]與[x]軸交于點(diǎn)[A]和點(diǎn)[B（1，0）]，與[y]軸交于點(diǎn)[C]，連接[AC]，經(jīng)過點(diǎn)[A]的一次函數(shù)[y=kx+c（k≠0）]圖象與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)[D2，533]，點(diǎn)[P]是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接[AC、CP]。（1）求拋物線[y=ax2+bx-3]的表達(dá)式，并直接寫出點(diǎn)[A]的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)[P]位于[y]軸左側(cè)，過點(diǎn)[P]作[PE]∥[y]軸，交直線[AD]于點(diǎn)[E]，當(dāng)[PE=2OC]時(shí)，求點(diǎn)[P]的坐標(biāo)。

解析：（1）過程略，答案：拋物線的表達(dá)式為[y=33x2+233x-3]，[A（-3，0）]。

（2）∵點(diǎn)[P]是拋物線[y=33x2+233x-3]上的一動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)[Pt，33t2+233t-3]，由[A（-3，0）]，[D2，533]得直線[AD]的表達(dá)式為[y=33x+3]，∵過點(diǎn)[P]作[PE]∥[y]軸，交直線[AD]于點(diǎn)[E]，∴[Et，33t+3]，∴[PE=33t2+233t-3-33t+3=33t2+33t-23]，∵[PE=2OC]，∴[33t2+33t-23=2×3]，∴[33t2+33t-23=23]或[33t2+33t-23=-23]，解得[t=3]（此時(shí)點(diǎn)[P]不在[y]軸左側(cè)，舍去）或[t=-4]或[t=0]（此時(shí)點(diǎn)[P]不在[y]軸左側(cè)，舍去）或[t=-1]，∴[P-4，533]或[-1，-433]，如圖10、圖11所示。

評(píng)注：由圖10與圖11可以看到，即使點(diǎn)[P]是[y]軸左側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)[PE=2OC]時(shí)，也有兩種情況。而利用絕對(duì)值，只用解絕對(duì)值方程即可，不用畫出圖形就可以求出所有的情況，也無須分類討論。

三、與正方形有關(guān)的問題

與正方形有關(guān)的問題，當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)確定而另外兩個(gè)頂點(diǎn)不確定時(shí)，這兩個(gè)確定點(diǎn)聯(lián)結(jié)而成的線段可能作為正方形的邊，也可能作為正方形的對(duì)角線，在每種情況下還可能存在多種情況，利用絕對(duì)值可以簡(jiǎn)化解答過程。

［例5］如圖12所示，已知拋物線[y=x2+bx+c]的圖象經(jīng)過點(diǎn)[A（1，0）]，[B（-3，0）]，與[y]軸交于點(diǎn)[C]，拋物線的頂點(diǎn)為[D]，對(duì)稱軸與[x]軸相交于點(diǎn)[E]，連接[BD]。（1）求拋物線的表達(dá)式。（2）若點(diǎn)[P]在直線[BD]上，當(dāng)[PE=PC]時(shí)，求點(diǎn)[P]的坐標(biāo)。（3）在（2）的條件下，作[PF⊥x]軸于[F]，點(diǎn)[M]為[x]軸上一動(dòng)點(diǎn)，[N]為直線[PF]上一動(dòng)點(diǎn)，[G]為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以[F]、[N]、[G]、[M]四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)[M]的坐標(biāo)。

解析：（1）過程略，答案：拋物線的表達(dá)式為[y=x2+2x-3]。

（2）由（1）知，拋物線的表達(dá)式為[y=x2+2x-3]，∴C（0，-3），拋物線的頂點(diǎn)D（-1，-4），∴E（-1，0），設(shè)直線BD的表達(dá)式為[y=mx+n]，∴[-3m+n=0，-m+n=-4，]∴[m=-2，n=-6，]∴直線BD的表達(dá)式為[y=-2x-6]，設(shè)點(diǎn)[P（a，-2a-6）]，∵[C（0，-3）]，E（-1，0），根據(jù)勾股定理得[PE2=（a+1）2+（-2a-6）2]，[PC2=a2+（-2a-6+3）2]，∵[PC=PE]，∴[（a+1）2+（-2a-6）2=a2+（-2a-6+3）2]，∴[a=-2]，∴[y=-2×（-2）-6=-2]，∴P（-2，-2）。

（3）如圖13所示，作[PF⊥x]軸于[F]，∴[F（-2，0）]，∵點(diǎn)[M]為[x]軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)[N]為直線[PF]上一動(dòng)點(diǎn)，[G]為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，以[F]、[N]、[G]、[M]四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，∴設(shè)[M（d，0）]，∴[G（d，d2+2d-3）]，[N（-2，d2+2d-3）]，∵以點(diǎn)[F]、[N]、[G]、[M]四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，必有[FM=MG]，∴[d+2=d2+2d-3]，∴[d=-1±212]或[d=-3±132]，∴點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[-1+212，0]，[-1-212，0]，[-3+132，0]，[-3-132，0]。

評(píng)注：從圖14可以看出，以[F]、[N]、[G]、[M]四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形有四種情況：點(diǎn)[M]在[y]軸左側(cè)且在點(diǎn)[B]左側(cè)；點(diǎn)[M]在[y]軸左側(cè)且在點(diǎn)[B]右側(cè)；點(diǎn)[M]在[y]軸右側(cè)且在點(diǎn)[A]左側(cè)；點(diǎn)[M]在[y]軸右側(cè)且在點(diǎn)[A]右側(cè)，采用分類討論的方法非常復(fù)雜，但利用絕對(duì)值，建立絕對(duì)值方程，則可以求出所有符合題意的解。

［例6］如圖15所示，直角坐標(biāo)系中，[A]、[B]、[C]、[D]四點(diǎn)的坐標(biāo)依次為[A（-1，0）]，[B（a，b）]，[C（-1，4）]，[D（c，d）]。若以[A]、[B]、[C]、[D]為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，寫出所有滿足條件[b≥d]的點(diǎn)[B]的坐標(biāo)。

解析：依據(jù)題意畫出圖形，如圖16所示?！遊b≥d]，∴點(diǎn)[B]不在點(diǎn)[D]的下方。以[A]、[B]、[C]、[D]為頂點(diǎn)的四邊形是正方形分兩種情況：當(dāng)[AC]為正方形的邊時(shí)，有[a-（-1）=4-0]，且[b=4]，解得[a=3]或[a=-5]，此時(shí)點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[（-5，4）]或[（3，4）]；當(dāng)[AC]為正方形的對(duì)角線時(shí)，有[a-（-1）=4-02=2]，[b=0+42=2]，解得[a=1]或[a=-3]，此時(shí)點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[（-3，2）]或[（1，2）]。綜上可知，點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為（[-5，4）]，[（3，4）]，[（-3，2）]，[（1，2）]。

綜上，利用絕對(duì)值可避免分類討論的麻煩，是一種既省事又準(zhǔn)確的策略。

（責(zé)任編輯? ? 黃桂堅(jiān)）