“三新”夯基礎(chǔ)，素養(yǎng)重創(chuàng)新：“概率”單元教學(xué)

范繼榮 楊喜霞

在“三新”背景下，“概率”單元教學(xué)更加側(cè)重于數(shù)學(xué)實(shí)踐，依托數(shù)學(xué)“四基”層面，合理創(chuàng)設(shè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)與體系，落實(shí)核心素養(yǎng)；并在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步借助典型實(shí)例問題與剖析，落實(shí)數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)性，凸顯數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用性，展示數(shù)學(xué)思維的靈活性，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性等，促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的形成.

1 構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，落實(shí)核心素養(yǎng)

對于“概率”單元教學(xué)的設(shè)計(jì)與研究，必須圍繞數(shù)學(xué)“四基”層面，借助該單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，合理聯(lián)系起各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建一個(gè)完整的網(wǎng)絡(luò)體系，為進(jìn)一步落實(shí)相應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供條件.

圖1為“概率”單元的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖.

對于以上“概率”單元教學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，從“四基”的不同視角合理展開，有效關(guān)注學(xué)生對“四基”的落實(shí)情況，強(qiáng)化發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題以及解決問題能力的培養(yǎng)與提升，重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展.

2 借助典例設(shè)置，強(qiáng)化核心素養(yǎng)

2.1 從問題場景中加以數(shù)據(jù)分析

例1? 九宮格的起源可以追溯到遠(yuǎn)古神話中的洛書，其圖案中填有1到9九個(gè)數(shù)字，滿足圖案中的三條線（縱向、橫向、斜向）上的三個(gè)數(shù)字的和都等于15，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的三階幻方，這個(gè)和值叫做幻和.根據(jù)洛書記載：“以五居中，五方皆為陽數(shù)，四隅為陰數(shù).”其意思為：九宮格中5位于居中位置，四個(gè)頂角為偶數(shù)，其余位置為奇數(shù).如圖2所示，

若隨機(jī)填寫一組幻和等于15的九宮格數(shù)據(jù)，記事件A=“a+b≥9”，則P（A）的值為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，依托問題場景，從中加以分析并抽取出對應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，合理進(jìn)行數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用，進(jìn)而從不同的思維視角切入，對數(shù)據(jù)分析給予全新的思維，達(dá)到解決概率求解的目的.

解法1：常規(guī)方法——枚舉法.

根據(jù)九宮格的特征，可知四個(gè)頂角a，c，h，f是偶數(shù)2，4，6，8的一個(gè)排列，b，e，g，d是奇數(shù)1，3，7，9的一個(gè)排列.

而九宮格的幻和等于15，則知（2，8），（4，6）出現(xiàn)在對角線上，（1，9），（3，7）出現(xiàn)在上下（或左右）位置上.

通過枚舉，其結(jié)果如圖3所示.

294

753

618

276

951

438

438

951

276

492

357

816

618

753

294

672

159

834

816

357

492

834

159

672

所以P（A）=68=34.

解法2：對稱法.

根據(jù)九宮格的特征，可知a+b+c=15，而a+b≥9，則c≤6.

而九宮格的四個(gè)頂角為偶數(shù)，根據(jù)對稱性可知，c取偶數(shù)2，4，6，8是等可能的，則所求的概率為34.所以P（A）的值為34.

點(diǎn)評(píng)：與解法1中的枚舉法比較，“抓地位對等，定概率相同”，借助概率事件的對稱性，解法2中的對稱法應(yīng)用，解題方法更加靈活，技巧思維層次更高，數(shù)學(xué)運(yùn)算與解題過程更加簡捷，數(shù)據(jù)分析與數(shù)據(jù)處理更加合理.

2.2 從概率求解中加以數(shù)學(xué)運(yùn)算

例2? 籃球隊(duì)的5名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊(duì)員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為（? ）.

A.1564

B.932

C.2764

D.3364

分析：根據(jù)題設(shè)條件，通過概率求解時(shí)對應(yīng)的不同情況加以分析，進(jìn)而借助相互獨(dú)立事件的概率公式來計(jì)算.注意事件的判斷與概率計(jì)算公式的正確運(yùn)算.

解析：由題意可知，每位隊(duì)員把球傳給其他4人的概率都為14.由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的情況可分為只在第一次接到球、只在第二次接到球，以及只在第三次接到球.

故所求概率為14×1×34+34×14×1+34×34×14=3364.

點(diǎn)評(píng)：歸納解決相互獨(dú)立事件概率計(jì)算問題的基本步驟.（1）判斷獨(dú)立性.若一個(gè)事件是否發(fā)生對另一個(gè)事件的發(fā)生沒有影響則二者相互獨(dú)立.（2）合理利用性質(zhì).若A，B是相互獨(dú)立事件，則A與B，A與B，A與B也是相互獨(dú)立事件.（3）利用公式計(jì)算.若A，B相互獨(dú)立，則P（AB）=P（A）P（B）.特別要注意的是，求解獨(dú)立事件中的概率問題時(shí)，關(guān)鍵在于先判斷出題目中相關(guān)的事件的獨(dú)立性，然后由事件的性質(zhì)對事件進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化，從而得以解決問題.

2.3 從事件分析中加以邏輯推理

在概率問題中，不同事件之間的判定與關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵所在.特別是涉及互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件等問題，在實(shí)際解決概率問題時(shí)，要合理正確判斷并加以邏輯推理.

2.4 從應(yīng)用情境中加以數(shù)學(xué)建模

例3? 2022年11月21日，第22屆世界杯在卡塔爾開幕.小組賽階段，已知某小組有甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)，這四支球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽（每支球隊(duì)均與另外三支球隊(duì)進(jìn)行一場比賽）；每場比賽勝者積3分，負(fù)者積0分；若出現(xiàn)平局，則比賽雙方各積1分.若每場比賽中，一支球隊(duì)勝對手或負(fù)對手的概率均為14，出現(xiàn)平局的概率為12.小組賽結(jié)束后，求四支球隊(duì)積分均相同的概率.

分析：根據(jù)比賽規(guī)則以及對應(yīng)的應(yīng)用情境，從中確定積分的規(guī)則，進(jìn)而加以合理數(shù)學(xué)建模，利用相互獨(dú)立事件的概率來分析與求解.

解析：由于小組賽共打6場比賽，每場比賽兩個(gè)球隊(duì)共積2分或者3分，6場比賽總積分的所有情況為12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分，共7種.要使四支球隊(duì)積分相同，則總積分能被4整除.所以每支球隊(duì)總積分為3分或者4分.若每支球隊(duì)得3分，則6場比賽都出現(xiàn)平局，其概率為P1=164；若每支球隊(duì)得4分，則每支球隊(duì)3場比賽結(jié)果均為1勝1平1負(fù)，其概率為P2=14×12×14×14×12×14×6=3512.

所以四支球隊(duì)積分均相同的概率為P=P1+P2=11512.

點(diǎn)評(píng)：挖掘比賽規(guī)則，對應(yīng)構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，加以巧妙數(shù)學(xué)建模.這里，積分制體育比賽中，規(guī)定比賽m場后各隊(duì)按照積分排名決定比賽名次，此時(shí)要注意積分的規(guī)則.積分制體育比賽在實(shí)際體育項(xiàng)目中有世界杯的小組賽等.

3 體現(xiàn)感悟反思，注重核心素養(yǎng)

在“三新”背景下，進(jìn)一步落實(shí)“雙減”政策與新改革理念，積極貫徹《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》要求，“概率”單元教學(xué)的設(shè)計(jì)與研究，應(yīng)該更加關(guān)注基礎(chǔ)、本質(zhì)、能力、創(chuàng)新等層面，更多側(cè)重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)與關(guān)鍵能力的考查，強(qiáng)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向，更加注重?cái)?shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用等.