全等三角形幾種判定方法的應(yīng)用技巧

摘? 要：文章主要探討全等三角形幾種判定方法的應(yīng)用技巧，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供系統(tǒng)的教學(xué)資源.首先討論了各種判定方法的原理和應(yīng)用，然后以豐富的實(shí)例幫助學(xué)生深刻理解全等三角形的判定方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：全等三角形；判定方法；應(yīng)用；技巧

中圖分類(lèi)號(hào)：G632??? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）14-0036-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡(jiǎn)介：王繁銀（1973.12— ），男，甘肅省隴南人，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

全等三角形是初中數(shù)學(xué)課程中的一個(gè)重要概念，也是幾何學(xué)的基礎(chǔ)之一.全等三角形之間的關(guān)系不僅有助于學(xué)生理解幾何圖形的形狀，還有助于學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題.然而，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，三角形全等的判定對(duì)學(xué)生而言有一定的困難.本文將探討全等三角形的幾種判定方法及其應(yīng)用技巧，旨在為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供有用的課程資源.

1 全等三角形的基本概念

在探討全等三角形的判定方法之前，首先需要了解全等三角形的基本概念.如果兩個(gè)三角形的三條邊和三個(gè)角分別相等，那么它們就是全等三角形.這意味著全等三角形具有相同的形狀和大小，但位置和方向可能不同［1］.全等三角形的性質(zhì)對(duì)于幾何證明和問(wèn)題解決至關(guān)重要.

2 全等三角形的判定方法

2.1 SSS判定法

SSS判定法是一種基于三角形的三邊相等的條件來(lái)判定全等的方法.例如，兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)度分別相等，那么它們是全等的.這一方法通常用于相對(duì)較為簡(jiǎn)單的情況.根據(jù)已知條件易得到兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等［2］，例如在△ABC和△DEF中，AB=5，BC=7，CA=8，DE=5，EF=7，F(xiàn)D=8.顯然，△ABC的每一條邊的長(zhǎng)度分別等于△DEF的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度.因此，根據(jù)SSS判定法，可以確定△ABC和△DEF是全等的，即△ABC≌△DEF.

2.2 SAS判定法

SAS判定法是一種用于判定全等三角形的方法，它依賴兩邊和夾角相等的條件.兩個(gè)三角形具有一對(duì)相等的邊，并且這兩組邊的夾角也相等，那么可以確定它們是全等的.例如，在△PQR和△STU中，它們的邊長(zhǎng)和夾角如下：在△PQR中，PQ=6，QR=8，∠Q=40°.在△STU中，ST=6，TU=8，∠T=40°.在這個(gè)例子中，根據(jù)已知條件可以發(fā)現(xiàn)，△PQR的一對(duì)邊PQ和QR與△STU的一對(duì)邊ST和TU分別相等，而夾角∠Q也等于△STU的相應(yīng)邊ST和TU之間的夾角∠T.根據(jù)SAS判定法，可以確定△PQR和△STU是全等的，即△PQR≌△STU.

2.3 ASA判定法

ASA判定法是一種用于判定全等三角形的方法，它依賴兩個(gè)角和兩角之間的夾邊相等的條件.例如，兩個(gè)三角形具有兩個(gè)相等的角，并且這兩個(gè)角之間的夾邊也相等，那么可以確定它們是全等的.為了更清晰地說(shuō)明ASA判定法，可考慮以下具體實(shí)例：在△XYZ和△ABC中，它們的兩個(gè)角和夾邊如下：在△XYZ中，∠X=45°，∠Y=60°，XY=5.在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=5.在這個(gè)例子中，根據(jù)已知條件易發(fā)現(xiàn)，△XYZ的兩個(gè)角∠X和∠Y分別等于△ABC的對(duì)應(yīng)角∠A和∠B，并且它們之間的夾邊XY和AB也相等.根據(jù)ASA判定法，可以確定△XYZ和△ABC是全等的，即△XYZ≌△ABC.為了應(yīng)用ASA判定法，學(xué)生需要根據(jù)已知條件和圖形特征，尋找兩個(gè)三角形中相等的邊和角，然后結(jié)合圖形確定它們之間的關(guān)系是不是滿足ASA判定條件，最后確定兩個(gè)三角形的全等關(guān)系.

2.4 RHS判定法

RHS判定法是一種用于判定全等三角形的方法，它依賴一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角和斜邊相等的條件.例如，兩個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等，那么可以確定它們是全等的.為了更清晰地說(shuō)明RHS判定法，可考慮以下兩個(gè)三角形：在△PQR和△XYZ中，∠P=90°，∠Q=30°，QR=7，∠X=90°，∠Y=30°，YZ=7.在這個(gè)例子中，根據(jù)已知條件可以發(fā)現(xiàn)，△PQR中的直角∠P等于△XYZ中的直角∠X，一組銳角∠Q與∠Y相等，而斜邊QR等于斜邊YZ.根據(jù)RHS判定法，可以確定△PQR和△XYZ是全等的，即△PQR≌△XYZ.

2.5 HL判定法

HL判定法是一種用于判定全等三角形的方法，它依賴兩個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊相等的條件.例如，兩個(gè)三角形具有一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等，那么可以確定它們是全等的.為了更清晰地說(shuō)明HL判定法，可考慮以下兩個(gè)三角形：在△MNO和△XYZ中，∠N=90°，ON=10，MN=6，∠X=90°，YZ=10，XY=6.在這個(gè)例子中，根據(jù)已知條件易發(fā)現(xiàn)，△MNO的一條直角邊MN等于△XYZ的直角邊XY，而斜邊ON等于斜邊YZ.根據(jù)HL定法，可以確定△MNO和△XYZ是全等的，即△MNO≌△XYZ.

3 三角形全等判定的應(yīng)用技巧

為了更好地應(yīng)用全等三角形的判定方法，學(xué)生需要掌握以下技巧，這些技巧將有助于他們?cè)诮鉀Q各類(lèi)幾何問(wèn)題時(shí)更加靈活和高效地應(yīng)用判定方法.

3.1 深刻理解每種判定方法的原理

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需指導(dǎo)學(xué)生深刻理解每種判定法的原理，這對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)至關(guān)重要.學(xué)生需要明白兩個(gè)三角形滿足什么條件能夠確保其全等，以便能夠正確選擇適當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，深刻理解每種判定方法的原理將有助于學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)靈活選擇適當(dāng)?shù)呐卸l件.

對(duì)于每種判定方法，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生探究其基本原理.例如，在SSS判定法中，學(xué)生需要了解為什么三邊相等可以判定兩個(gè)全等三角形.這可以通過(guò)幾何證明來(lái)展示，讓學(xué)生理解這一原理的邏輯.對(duì)于SAS判定法，學(xué)生需要明白為什么兩個(gè)三角形的兩組邊對(duì)應(yīng)相等且?jiàn)A角相等就能確保其全等.類(lèi)似地，對(duì)于ASA判定法、RHS判定法和HL判定法，學(xué)生也需要了解各自的原理.

教師可以提供一些幾何問(wèn)題，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)用這些判定方法，從而進(jìn)一步加深他們的理解［3］.在教學(xué)中，教師需逐步引導(dǎo)學(xué)生解決不同類(lèi)型的問(wèn)題，以幫助他們理解何時(shí)使用哪種判定條件解決問(wèn)題.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，深刻理解每種判定法的原理將使學(xué)生更自信地應(yīng)用這些方法解決幾何問(wèn)題，并增強(qiáng)他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.教師的任務(wù)是提供清晰的解釋和引導(dǎo)，以確保學(xué)生掌握這些重要的幾何概念和技巧.

3.2 準(zhǔn)確繪制三角形

在解決全等三角形問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確繪制三角形是至關(guān)重要的.學(xué)生應(yīng)該養(yǎng)成繪制圖形的良好習(xí)慣，并在圖形上標(biāo)明已知信息.這一步驟對(duì)于問(wèn)題的清晰展示和更好地理解、分析幾何問(wèn)題至關(guān)重要，準(zhǔn)確的圖形有助于減少誤差并提高解決問(wèn)題的準(zhǔn)確性.繪制圖形時(shí)，學(xué)生需要使用三角板或直尺確保邊的長(zhǎng)度準(zhǔn)確，還需使用量角器來(lái)測(cè)量和標(biāo)記角度，確保角度的大小準(zhǔn)確［4］.標(biāo)明已知信息，如已知邊的長(zhǎng)度、已知角度的大小等，可以幫助學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.

在實(shí)際問(wèn)題中，準(zhǔn)確的圖形可以使學(xué)生更容易識(shí)別潛在的全等條件，例如SSS、SAS、ASA等.學(xué)生可以將已知信息與全等條件進(jìn)行比較，以確定哪種判定法適用，這種方法有助于提高問(wèn)題解決的有效性和準(zhǔn)確性.教師可以提供實(shí)際問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生繪制準(zhǔn)確的幾何圖形，并在圖形上注明已知信息.如此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生將逐漸形成繪制和標(biāo)記圖形的技能，從而更好地應(yīng)用全等三角形判定法解決幾何問(wèn)題.

3.3 靈活應(yīng)用幾何工具

在解決全等三角形問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以運(yùn)用各種幾何工具，如輔助線、垂線、平行線等，這些幾何工具可以簡(jiǎn)化問(wèn)題，為問(wèn)題解決創(chuàng)造便利條件.這些幾何工具可以幫助學(xué)生理清已知條件與所證結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，幫助學(xué)生找到相關(guān)的全等條件，從而更輕松地解決問(wèn)題，提高解題效率.

在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，學(xué)生可以使用輔助線創(chuàng)造三角形全等的條件，使問(wèn)題更易于解決.例如，在一個(gè)已知的三角形中，引入一條垂線分割一個(gè)角，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，這種方法有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)全等條件，如角相等、邊相等；垂線在解決全等三角形問(wèn)題中非常有用，它可以幫助學(xué)生識(shí)別直角三角形，從而應(yīng)用RHS判定法；在解題過(guò)程中，學(xué)生還可以利用平行線簡(jiǎn)化幾何問(wèn)題.平行線的性質(zhì)可以幫助學(xué)生找到一些相等的角，進(jìn)而找到一些相等的邊，從而確定三角形全等的條件，這種方法在SAS判定法中尤為有用.

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以提供一些實(shí)際問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用幾何工具簡(jiǎn)化問(wèn)題，并找到相關(guān)的全等條件.通過(guò)練習(xí)和實(shí)踐，學(xué)生將逐漸掌握如何靈活使用這些工具解決各種全等三角形問(wèn)題，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.4 單位的正確使用

在解決全等三角形問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要特別注意每個(gè)角度和邊長(zhǎng)的單位.確保使用正確的單位進(jìn)行比較，以避免混淆或得出錯(cuò)誤的結(jié)論.單位的一致性對(duì)于判定全等條件至關(guān)重要.

在比較角度時(shí)，學(xué)生應(yīng)該明確使用“度”作為角度的單位，確保所有的角度測(cè)量都使用相同的單位，以便正確比較它們，混合使用度和弧度等不同單位可能會(huì)導(dǎo)致混淆和錯(cuò)誤的判定.對(duì)于邊的長(zhǎng)度，學(xué)生應(yīng)該使用相同的單位，如分米、厘米或毫米等，確保在比較邊長(zhǎng)時(shí)，使用統(tǒng)一的單位，以確保準(zhǔn)確性，不同的單位可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的大小比較.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成使用正確單位的習(xí)慣，并在練習(xí)中強(qiáng)調(diào)單位的一致性.通過(guò)示范和實(shí)際練習(xí)，學(xué)生將逐漸理解單位的重要性，并在解決全等三角形問(wèn)題時(shí)更加謹(jǐn)慎和準(zhǔn)確.

這些技巧的掌握將有助于學(xué)生更好地應(yīng)用全等三角形的判定方法，提高學(xué)生的幾何問(wèn)題解決能力.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)這些技巧，并通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的練習(xí)幫助學(xué)生熟練運(yùn)用判定法來(lái)解決各種幾何問(wèn)題.通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維能力和解決問(wèn)題的能力，他們將能夠更自信地應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實(shí)際問(wèn)題的挑戰(zhàn).

4 結(jié)束語(yǔ)

全等三角形的判定方法是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，對(duì)于幾何學(xué)的理解和解決實(shí)際問(wèn)題都有著重要意義.通過(guò)深入學(xué)習(xí)每種判定方法的原理和應(yīng)用技巧，學(xué)生可以更好地掌握全等三角形的概念，提高數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生理解判定方法的邏輯，培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］ 應(yīng)琴芬，唐笑敏，王羅那.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指向下單元整體教學(xué)的設(shè)計(jì)及反思：以“三角形全等的判定（SSS）”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2023（8）：60-63.

［2］ 宋佳明.全等三角形幾種判定方法的應(yīng)用技巧［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（11）：10-11.

［3］ 姜志根.基于圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征的深度思考：以“借助中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形”專(zhuān)題復(fù)習(xí)教學(xué)為例［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2022（8）：5-7.

［4］ 歸艷蘭.中考“三角形”類(lèi)選擇題解法例析：以江蘇省部分地市歷年中考數(shù)學(xué)試題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（8）：81-82.

［責(zé)任編輯：李? 璟］