2023年常州市中考數(shù)學(xué)第18題解法探究

李昕雨

摘? 要：文章從幾何角度出發(fā)，以中點為切入點，對2023年常州市中考數(shù)學(xué)第18題進(jìn)行多解分析.幫助學(xué)生在復(fù)雜的動態(tài)幾何問題中抓住關(guān)鍵點，構(gòu)建幾何模型，感悟轉(zhuǎn)化思想，形成解題思路.

關(guān)鍵詞：動態(tài)幾何；最值問題；中點；幾模模型；轉(zhuǎn)化

中圖分類號：G632??? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0015-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：雨（2001.4—），女，江蘇省常州人，碩士研究生，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

幾何綜合題中的動態(tài)幾何最值問題在中考中頻頻出現(xiàn)，其常見思路有：將多動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題、設(shè)參數(shù)構(gòu)造函數(shù)、建立坐標(biāo)系等［1］.但在實際解題中，學(xué)生往往難以從復(fù)雜的幾何圖形中找到切入點，建立解題思路.基于此，筆者從幾何角度出發(fā)，對2023年常州市中考數(shù)學(xué)第18題進(jìn)行深入分析，以中點為切入點構(gòu)建相應(yīng)的幾何模型，運用轉(zhuǎn)化思想形成解題思路，使學(xué)生能夠在較為復(fù)雜的動態(tài)幾何問題中抓住關(guān)鍵點，將幾何模型與思路方法相結(jié)合，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)

（2023年常州市中考數(shù)學(xué)第18題）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是AC延長線上的一點，CD=2，M是邊BC上的一點（點M與B，C不重合），以CD，CM為鄰邊作平行四邊形CMND.連接AN，并取AN的中點P，連接PM，則PM的取值范圍是．

2 試題簡析

本題是一道動態(tài)幾何中的最值問題，主要考查中點的性質(zhì)、中位線定理、等腰直角三角形、平行四邊形、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、函數(shù)最值等核心知識.解決本題的難點在于需要求解取值范圍的線段PM的兩個端點都是動點，且兩個動點之間的關(guān)聯(lián)方式較為復(fù)雜.這就需要抓住點P是AN中點這一關(guān)鍵條件，依據(jù)中點構(gòu)建相關(guān)幾何模型，將復(fù)雜的動態(tài)關(guān)系轉(zhuǎn)化為清晰的幾何或函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而利用幾何或函數(shù)的有關(guān)知識求解.

3 思路與解法

思路1? 利用中點構(gòu)造全等三角形

解法1? 如圖2，延長MP交AC于點E.因為四邊形CMND是平行四邊形，所以MN∥AD，所以∠AEP=∠NMP.又因為P是AN中點，所以PN=PA，∠NPM=∠APE，所以△MPN≌△EPA，所以PM=PE，即PM=EM/2，AE=MN=EC=2.在Rt△ABC中，∠BAC =90°，AB =AC =4，所以∠ACB=45°，BC=42.作EF⊥BC并連接EB，則易得EF≤EM=2PM＜EB.易知EF=2，EB=25，所以PM取值范圍為2/2≤PM＜5.

評注? 解法1利用中點和平行構(gòu)造“8字形”全等三角形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，便于觀察動態(tài)幾何圖形的變化，推理和判斷取最值時所處的臨界情況.

思路2? 利用中點構(gòu)造中位線模型

解法2? 如圖3，取AC中點F，作平行四邊形BCFE，延長NM交EF于點G，連接AG.因為四邊形CMND和四邊形BCFE都是平行四邊形，所以GM∥FC，GF∥MC，所以四邊形GMCF為平行四邊形，所以GM=FC=DC=MN=2，即M為NG的中點.又點P是AN中點，所以由三角形的中位線定理得PM=AG/2.作AH⊥EF并連接AE，則易得AH≤AG=2PM＜AE，易知AH=2，AE=25，所以PM取值范圍為2/2≤PM＜5.

解法3? 延長AC到E使CE=AC，過點E作直線l∥BC，連接AM并延長交直線l于點F，作NG⊥EF，MH⊥EF，AI⊥BC，延長DN交MH于點J，則當(dāng)點M在點I右邊時，如圖4所示；當(dāng)點M在點I左邊時，如圖5所示.因為BC∥EF，所以 △ACM∽△AEF，所以AM/MF=AC/CE=1，即M為AF的中點，又因為P為AN的中點，所以由三角形的中位線定理可得PM=NF/2.因為四邊形JNGH是矩形，易知HG=2.因為AI∥MH，所以∠FMH=∠MAI.所以當(dāng)點M在點I右邊時，F(xiàn)G=HG-MH·tan∠FMH=2-22tan∠MAI；當(dāng)點M在點I左邊時，F(xiàn)G=HG+MH·tan∠FMH=2+22tan∠MAI.因為0°＜∠MAI＜45°，所以0≤FG＜32，所以NF=NG2+FG2=（2）2+FG2，易知2≤NF＜25，所以PM取值范圍為2/2≤PM＜5.

評注? 解法2和解法3都通過構(gòu)造三角形的中位線模型，得到長度為2PM的線段AG和NF.解法2中AG的兩個端點一定一動，便于求解取值范圍；而解法3中NF的兩個端點都是動點，求解取值范圍的過程就較為復(fù)雜.故構(gòu)造三角形的中位線模型時，應(yīng)盡量向定點轉(zhuǎn)化.

思路3? 利用中點和平行構(gòu)造平行四邊形

解法4? 如圖6，連接MD，NC交于點O，連接PO.因為P，O分別是AN，NC的中點，所以PO∥AC∥MN，PO=AC/2=MN，所以四邊形MPON為平行四邊形，所以MP=ON=CN/2.作CE⊥DN，作平行四邊形BCDF并連接CF，則易得CE≤CN=2PM＜CF.易知CE=2，CF=25，所以PM取值范圍為2/2≤PM＜5.

解法5? 如圖7，取DN中點E并連接PE，在PE上取點F，作NF∥MP，作FG⊥ND.因為P，E分別是AN，DN的中點，所以PE∥AD∥MN，PE=1/2AD=3.又因為NF∥MP，所以四邊形MPFN為平行四邊形，所以MP=NF且PF=MN=2.因為PE∥AD，所以∠PEN=∠D=45°，所以EG=FG=EF·sin∠PEN =2/2.設(shè)MC=x（0

ND/2=MC/2=x/2，NG=NE-EG=x/2-2/2，所以PM=NF=NG2+FG2=（x/2-2/2）2+1/2，所以x=2時，PMmin=22;x=42時，PMmax=5（取不到），PM取值范圍為2/2

≤PM＜5.

解法6? 如圖8，取AD中點E并連接PE，取MC中點F并連接PF，作PG⊥BC.因為P，E為AN，AD中點，所以PE∥DN∥BC，PE=1/2ND=1/2MC，所以PE=CF，PE∥CF，所以四邊形PFCE為平行四邊形，所以PF∥AC，PF=EC=1.所以∠PFB=∠ACB=45°，所以FG=PG=PF·sin∠PFB=2/2.設(shè)MF=x，則MC=2x，所以0＜2x＜42，即0＜x＜22.又PM =MG2+PG2=（x-22）2+1/2，所以PM取值范圍為22≤PM＜5.

評注? 以上三種解法都利用中點構(gòu)造平行四邊形以獲得相關(guān)邊角的等量關(guān)系.其中，解法4又通過平行四邊形的對角線性質(zhì)將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題；解法5和解法6則通過設(shè)參數(shù)，根據(jù)勾股定理得到PM長度的函數(shù)表達(dá)式.

思路4? 利用解析法求解

解法7? 如圖9，以AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（4，0），C（0，4），D（0，6），所以BC的解析式為y=-x+4.因為M在BC上運動，所以M（a，4-a），N（a，6-a） （0＜a＜4）.易知P（a/2，3-a/2），易知PM=1/2（a-1）2+1/2（0＜a＜4），所以PM取值范圍為2/2≤PM＜5.

4 解題反思

解法1、解法2及解法4分別通過中點構(gòu)造全等三角形、中位線和平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，便于觀察圖形的變化，易于得到線段取最值時所處的極限情況.

解法3、解法5及解法6先通過中點構(gòu)造中位線、平行四邊形獲得相關(guān)邊角的值，再設(shè)參數(shù)建立線段長度的函數(shù)表達(dá)式，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.解法7在建立平面直角坐標(biāo)系后求得相關(guān)點的坐標(biāo)或直線的函數(shù)表達(dá)式，再通過中點坐標(biāo)公式獲得線段長度的函數(shù)表達(dá)式.

由此可以看出，中考試題綜合考查學(xué)生多方面的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其中的動態(tài)幾何問題既考查學(xué)生對幾何核心知識的掌握，也考查學(xué)生解題思路的建構(gòu)、解題方法的運用.教師在教學(xué)中既要打牢知識基礎(chǔ)，挖掘題目考查的核心知識，也要歸納總結(jié)，講解題目采用的普遍思路和方法，使學(xué)生能夠?qū)⒅R和方法融會貫通，在學(xué)習(xí)中觸類旁通、舉一反三，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)習(xí)效率，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］ 周琛.幾何中動態(tài)最值問題的求解策略：一道中考壓軸題的思路及解法賞析［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（13）：26-28，43.

［責(zé)任編輯：李? 璟］