多視角解題反思，促運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展

陳爾明

課題信息：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“新課標(biāo)背景下高中數(shù)學(xué)反思性解題教學(xué)研究”，課題編號為Fjxczx22-030.

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，尤其是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課大部分是解題教學(xué)．高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生需要解大量的題目，多數(shù)學(xué)生常因為陷入題海，缺少反思意識或無暇實施反思過程導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)陷入困境．在新課程標(biāo)準(zhǔn)和評價方式下，從會解題轉(zhuǎn)型到會解決問題，對學(xué)生知識體系建構(gòu)是否完整、探究問題是否深刻、素養(yǎng)能力是否提升等方面提出了更具發(fā)展性的一般要求．那么，教師如何在解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思性解題，充分挖掘題目的內(nèi)在價值，思考題目蘊(yùn)含的概念、原理、思想方法，提高課堂教學(xué)效率，提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)？本文中以一道圓錐曲線壓軸題為例，多視角探討解題反思．

1 試題及解答

（2023年福建省高三質(zhì)檢考試第21題）已知圓A1：（x+1）2+y2=16，直線l1過點A2（1，0）且與圓A1交于點B，C，BC中點為D，過A2C的中點E且平行于A1D的直線交A1C于點P，記P的軌跡為Γ．

（1）求Γ的方程；

（2）坐標(biāo)原點O關(guān)于A1，A2的對稱點分別為B1，B2，點A1，A2關(guān)于直線y=x的對稱點分別為C1，C2，過A1的直線l2與Γ交于點M，N，直線B1M，B2N相交于點Q．請從下列結(jié)論中，選擇一個正確的結(jié)論并給予證明．

①△QB1C1的面積是定值；②△QB1B2的面積是定值；③△QC1C2的面積是定值．

這是一道以極點、極線為背景的綜合性圓錐曲線壓軸題，主要考查圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力、直觀想象能力和創(chuàng)新能力，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等多種思想，同時對學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)提出了很高要求．第（1）問難度不大，利用定義法求軌跡方程，但對學(xué)生的作圖能力提出了較高的要求；第（2）問大部分學(xué)生未能預(yù)判點Q的軌跡，進(jìn)而無法確定哪一個三角形的面積為定值，導(dǎo)致思路受阻，后續(xù)不能選擇合理的方法也導(dǎo)致運(yùn)算變得繁瑣，本問實測結(jié)果得分率較低．

解法1：（1）x24+y23=1（x≠±2）（過程略）．

（2）結(jié)論③正確．下面證明：△QC1C2的面積是定值．

依題意可得，B1（－2，0），B2（2，0），C1（0，－1），C2（0，1），直線l2的斜率不為0，如圖1．

（?。┊?dāng)直線l2垂直于x軸時，l2：x=－1.

聯(lián)立x24+y23=1，x=－1，得x=－1，y=－32或x=－1，y=32.

不妨設(shè)M－1，32，N－1，－32，則直線B1M的方程為y=32（x+2），直線B2N的方程為y=12（x－2）.

由y=32（x+2），y=12（x－2），得x=－4，y=－3，所以Q（－4，－3）.

故點Q到直線C1C2的距離d=4，此時S△QC1C2=12|C1C2|·d=4.

（ⅱ）當(dāng)直線l2不垂直于x軸時，設(shè)直線l2：y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），且x1≠±2，x2≠±2．

由x24+y23=1，y=k（x+1），得（4k2+3）x2+8k2x+4k2－12=0，所以x1+x2=－8k24k2+3，x1x2=4k2－124k2+3．

直線B1M的方程為y=y1x1+2（x+2），

直線B2N的方程為y=y2x2－2（x－2）.

由y=y1x1+2（x+2），y=y2x2－2（x－2），可得

x=2y2（x1+2）+y1（x2－2）y2（x1+2）－y1（x2－2）

=2k（x2+1）（x1+2）+k（x1+1）（x2－2）k（x2+1）（x1+2）－k（x1+1）（x2－2）

=4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4．

下面證明：4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4=－4．即證2x1x2+5（x1+x2）+8=0，即證8k2－244k2+3+5－8k24k2+3+8=0.

而上式顯然成立，則點Q在直線x=－4上，故點Q到C1C2的距離d=4，此時S△QC1C2=12|C1C2|·d=4.

由（ⅰ）（ⅱ）可知，△QC1C2的面積是定值．

2 對解題過程的反思

羅增儒教授說過，問題一旦獲解，就立刻產(chǎn)生感情上的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機(jī)會，無異于“入寶山而空返”．本題實測得分率不高，為了發(fā)揮試題的最大作用，培養(yǎng)學(xué)生對問題拓展研究的反思習(xí)慣，提升學(xué)生的解題能力，因此在講評試題時引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進(jìn)行多視角反思．

2.1 對審題的反思

審題是解題過程的重要組成部分，仔細(xì)審題是解題的前提和依據(jù)，是正確解題的根本保證．多數(shù)學(xué)生審題帶有習(xí)慣性和經(jīng)驗主義思維，看到題目信息，沒有對題目進(jìn)行周密的揣摩、審查以及深入的思考，最后習(xí)慣性地按照以往的解題經(jīng)驗答題，導(dǎo)致失分．本題第（1）問屬于常規(guī)題，但實測數(shù)據(jù)顯示大部分學(xué)生未能得滿分，究其原因是審題不到位．學(xué)生根據(jù)題目所給的條件作出一般性的圖形，結(jié)合橢圓的定義得到點P的軌跡為橢圓，由于未能考慮到圖形的特殊性，造成失分．實際上，當(dāng)直線l1與x軸重合時，點A1與點D重合，此時與題干“平行于A1D”的條件相矛盾，故而點P的軌跡為除去左右頂點的橢圓．這其實不是真正的馬虎、粗心，而是一種學(xué)習(xí)力的問題，是審題思維淺表層凸顯出來的問題．審題能力是一種獲取信息、分析信息、處理信息的能力，這種能力的獲得需要一個學(xué)習(xí)、積累、反思、鞏固、發(fā)展的過程.因此，平時教學(xué)中需注重培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，防止因為刷題出現(xiàn)經(jīng)驗主義審題．

2.2 對設(shè)線形式的反思

解題教學(xué)中，要注重提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)水平，使學(xué)生能針對運(yùn)算問題，合理選擇運(yùn)算方法、設(shè)計運(yùn)算程序解決問題．圓錐曲線解答題的運(yùn)算量龐大，有思路而解不出是較為常見的現(xiàn)象，合理運(yùn)算、優(yōu)化解法是快速解題的關(guān)鍵.細(xì)節(jié)決定成敗，對細(xì)節(jié)的處理尤為重要．題中直線l2過點A1（－1，0），解法1對直線l2的斜率是否存在進(jìn)行分類，相對繁瑣，后續(xù)運(yùn)算量也較大，如果設(shè)直線l2：x=my－1.可避免分類，整體運(yùn)算量也會小很多．一般來說，直線過x軸上的定點（n，0）時，直線方程設(shè)為x=my+n；直線過y軸上的定點（0，b）時，直線方程設(shè)為y=kx+b.合理選擇直線方程形式，可以減少分類，降低運(yùn)算量．

解法2：（2）結(jié)論③正確．下面證明△QC1C2的面積是定值．

依題意得，B1（－2，0），B2（2，0），C1（0，－1），C2（0，1），且直線l2的斜率不為0．

設(shè)直線l2：x=my－1，M（x1，y1），N（x2，y2），且x1≠±2，x2≠±2．

由x24+y23=1，x=my－1，得（3m2+4）y2－6my－9=0，所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=－93m2+4.

所以2my1y2=－3（y1+y2）．

直線B1M的方程為y=y1x1+2（x+2），直線B2N的方程為y=y2x2－2（x－2）.

由y=y1x1+2（x+2），y=y2x2－2（x－2），得

x=2y2（x1+2）+y1（x2－2）y2（x1+2）－y1（x2－2）

=2y2（my1+1）+y1（my2－3）y2（my1+1）－y1（my2－3）

=22my1y2+y2－3y1y2+3y1

=2－3（y1+y2）+y2－3y1y2+3y1

=－4．

所以點Q在直線x=－4上.故點Q到C1C2的距離d=4，此時S△QC1C2=12|C1C2|·d=4為定值．

2.3 對整體處理的反思

解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在深入理解和分析運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上形成優(yōu)化的運(yùn)算思路，是提升學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)水平的關(guān)鍵．學(xué)生在解題過程中不難發(fā)現(xiàn)，聯(lián)立直線B1M，B2N的方程組，求出x的表達(dá)式的運(yùn)算量頗大.轉(zhuǎn)換思維角度，要求x的值，可以通過方程組先求出x+2x－2的值，這樣“欲擒故縱”的整體處理方式可以大大減少計算量，起到四兩撥千斤的作用．

解法3：（2）上同解法1，由y=y1x1+2（x+2），y=y2x2－2（x－2），得x+2x－2=y2（x1+2）y1（x2－2）=y2（my1+1）y1（my2－3）=my2y1+y2my1y2－3y1

=－32y1+y2+y2－32y1+y2－3y1=13，解得x=－4.

所以可得S△QC1C2=12|C1C2|·d=4為定值．

2.4 對非對稱結(jié)構(gòu)問題的反思

充分理解問題的解決思路，才能掌握解決一類問題的通性通法．本題不同解法的解答過程中均出現(xiàn)了非對稱韋達(dá)式結(jié)構(gòu)問題，無法直接利用韋達(dá)定理代入化簡.非對稱問題是圓錐曲線的一大難點，平時教學(xué)中可以以微專題的形式講透其特征以及常見處理方法.解決非對稱問題的關(guān)鍵是將非對稱結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為對稱結(jié)構(gòu)，處理策略與思路較多．比如解法1，對于非對稱韋達(dá)式4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4，利用特殊到一般的思想進(jìn)行處理，將證明4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4=－4轉(zhuǎn)化為對稱韋達(dá)式2x1x2+5（x1+x2）+8=0的證明；再如解法2的2my1y2+y2－3y1y2+3y1、解法3的my2y1+y2my1y2－3y1非對稱表達(dá)式，利用兩根之和與兩根之積存在的倍數(shù)關(guān)系式2my1y2=－3（y1+y2）代入化簡．本題也可以利用曲線方程轉(zhuǎn)化斜率來求解．

解法4：（2）上同解法2.因為x224+y223=1，所以y2x2－2=－34x2+2y2.

故直線直線B2N的方程為

y=－34x2+2y2（x－2）．

由y=y1x1+2（x+2），y=－34x2+2y2（x－2），得

x－2x+2=－4y1y23（x1+2）（x2+2）

=－4y1y23（my1+1）（my2+1）

=－43y1y2m2y1y2+m（y1+y2）+1

=－43－9－9m2+6m2+（3m2+4）

=3，

解得x=－4.

所以可得S△QC1C2=12|C1C2|·d=4為定值．

2.5 對極點極線拓展知識的反思

波利亞說過，觀察可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，觀察將揭示某種規(guī)則、模式或定律．幾何直觀在探索解決問題的思路上發(fā)揮著重要作用.通過幾何直觀能把幾何情境問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題，借助運(yùn)算得到幾何的結(jié)果．本題第（2）問為結(jié)構(gòu)不良問題，給出三個三角形，需確定哪一個面積為定值，如果無法確定是哪個三角形會導(dǎo)致思路受阻，后續(xù)的解題思路也會不明朗.細(xì)心的同學(xué)通過觀察會發(fā)現(xiàn)這是一道以極點極線為背景的問題．事實上，直線B1B2與直線MN交于點A1，利用極點極線知識可知A1為極點，所以直線B1M與直線B2N的交點Q在對應(yīng)的極線x=－4上，順理成章地判斷△QC1C2的面積是定值．近幾年高考常涉及極點極線為背景的考題，高三復(fù)習(xí)時可安排極點極線的微專題講清楚概念與常見模型，特別是優(yōu)生要掌握極點極線基本模型與解決策略．

3 反思解題過程，提升運(yùn)算素養(yǎng)

3.1 注重通性通法，夯實運(yùn)算功底

數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識，掌握基本技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的不斷提升．對于數(shù)學(xué)概念、定理、法則，教師除了強(qiáng)調(diào)其應(yīng)用，還應(yīng)重視其生成過程，達(dá)到夯實運(yùn)算基礎(chǔ)的目的．在解題教學(xué)中，應(yīng)注重通性通法，淡化運(yùn)算技巧．比如在解析幾何運(yùn)算中，關(guān)注零元設(shè)線，合理設(shè)直線方程，降低運(yùn)算量．對于非對稱問題的多種解題策略，應(yīng)讓學(xué)生反思體會最優(yōu)方法，從一題多解中領(lǐng)悟通性通法，打牢運(yùn)算功底．

3.2 重視簡化運(yùn)算，提升解題能力

簡化運(yùn)算是針對運(yùn)算問題，通過對照不同算理，選擇簡便的方法進(jìn)行邏輯推理運(yùn)算．在解題教學(xué)中，對于不同的方法教師要能從學(xué)生的思維角度去考量、對比各種方法的優(yōu)劣，引導(dǎo)學(xué)生感悟更簡便的算法．比如弦長問題的本質(zhì)是兩點間的距離，如果直接采用兩點間的距離公式勢必造成運(yùn)算量加大，可以通過公式變形得到弦長|AB|=1+k2|x1－x2|，進(jìn)一步利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系處理|x1－x2|，可以起到簡化運(yùn)算求解的目的，優(yōu)化解題．再如（kx1+m－1）＼5（kx2+m－1）+（x1－3n+1）＼5（x2－3n+1）的化簡整理，如果告訴學(xué)生去括號整理，絕大部分學(xué)生是無法完成的，教學(xué)中讓學(xué)生反思解題過程，并提出目標(biāo)運(yùn)算的算法，只需要填寫x1x2，x1+x2的系數(shù)，便可以完成式子的整理，實現(xiàn)解題效率最大化．