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    2023年講題比賽獲獎論文之九:用思維分析揭示2023年天津卷第20題

    2024-06-23 06:52:48高文娟
    中學數(shù)學·高中版 2024年6期
    關鍵詞:化簡評析本題

    高文娟

    2023年天津卷第20題考查數(shù)列與不等式結構關系,運用函數(shù)思想解決問題.題目解法多樣,思維開源,充分考查學生的數(shù)學素養(yǎng)和思維分析能力.

    1 題目:2023年天津卷第20題

    已知函數(shù)f(x)=1x+12ln(x+1).

    (1)求y=f(x)在x=2處切線的斜率;

    (2)當x>0時,證明:f(x)>1;

    (3)證明:56

    2 分析與思維導圖

    2.1 思路分析

    第(1)問簡單,本文從略.

    第(2)問證明要觀察結構,化簡到合適結構再運算,也就是對構造函數(shù)的能力有較高要求.若令g(x)=1x+12ln(x+1)-1或g(x)=(x+2)\5ln(x+1)-2x,則其導數(shù)中含有“l(fā)n(x+1)”,不如選擇變形為g(x)=ln(x+1)-2xx+2,這就是本題化簡的本質(“對數(shù)單身”)!這一點在以往高考題中經(jīng)常出現(xiàn).

    本題第(3)問的命題背景源自大學數(shù)學專業(yè)《數(shù)學分析》的“斯特林公式”,但是該公式只是它的命題背景,我們無需知道,即可用高中知識解決它.當然,本題也深刻考查了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和思維分析能力.對于第(3)問:(指向最簡單與最本質的方法)觀察發(fā)現(xiàn)本題屬于數(shù)列型不等式,所以解答時可以結合數(shù)列知識.先看右邊不等式,要證ln(n?。?n+12\5ln n+n≤1,

    設該不等式左側為an,即證an≤1,

    不難發(fā)現(xiàn)a1=1,則即證an≤a1,猜想an+1-an≤0,因此解題思路就出來了,證明過程用到第(2)問的結論.再看左邊不等式,不等號方向決定需要構造f(x)<1+h(x),因為要證

    an-a1=(a2-1)+(a3-a2)+……+(an-an-1)=∑n-1i=11-f1i>-16,

    可聯(lián)想∑n-1i=1161i+1-1i>-16,等等,也可聯(lián)想泰勒展開、帕德逼近、斯特林公式等拓展知識結論,但是都需要具體運算后才能發(fā)現(xiàn)是否可行.相對來講,后面給出的利用數(shù)列知識、求和思想的方法,對分析能力的要求更低,但是運算量較大.拓展知識對于培優(yōu)生可以使用,但是對絕大部分學生而言,拓展知識的解法并不能讓其看到解題本質即思維的分析,所以建議教學中以初等數(shù)學知識方法為主.

    2.2 思維導圖

    第(2)問的思維導圖(如圖1):

    第(3)問需證明的是數(shù)列型不等式,解題時可根據(jù)結構特征選擇適當?shù)臄?shù)列知識解決問題,也可采用證明不等式問題常用的數(shù)學歸納法及放縮法.

    第(3)問證明右邊不等式的思維導圖(如圖2):

    第(3)問證明左邊不等式的思維導圖(如圖3):

    3 試題解答與解析

    3.1 第(2)問

    第(2)問有三種思路,這里只給出思路3的證明.

    證明:要證f(x)=1x+12ln(x+1)>1,x∈(0,+∞),

    即證ln(x+1)>2xx+2,x∈(0,+∞)(提示:這一步轉化化簡恰好是(1,1)階帕德逼近,重要且必要).

    設函數(shù)g(x)=ln(x+1)-2xx+2,x>0,則

    g′(x)=11+x-4(2+x)2=x2(1+x)(2+x)2>0,

    所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增,有g(x)>g(0)=0.

    故當x>0時,f(x)>1,得證.

    評析:化簡本質“對數(shù)單身”.

    3.2 第(3)問右邊不等式

    因為右邊不等式帶有等號,肯定是不完全放縮.

    3.2.1 法1:觀察聯(lián)想,構造數(shù)列

    證明:設an=ln(n?。?n+12ln n+n,則

    an+1-an=1-n+12ln1+1n=1-f1n.

    由(2)知f1n>1,所以

    an+1-an=1-f1n<0.

    所以,數(shù)列{an}為單調遞減數(shù)列,則an≤a1=1.

    故ln(n?。?n+12ln n+n≤1,得證.

    評析:本質是數(shù)列的“律”,對準“l(fā)n(n!)”,如何消掉?作差.

    3.2.2 法2:分析聯(lián)想,求和思想,消掉ln(n?。?/p>

    證明:要證ln(n!)-n+12ln n+n≤1,即證

    ln(n!)≤n+12ln n-n+1.

    聯(lián)想∑ni=1ln i≤∑ni=1bi=n+12ln n-n+1.

    設an=n+12ln n-n+1,則

    當n=1時,b1=a1=0.

    當n≥2時,

    bn=an-an-1=n+12ln n-n-12ln(n-1)-1.

    故bn=0,n=1,n+12ln n-n-12ln(n-1)-1,n≥2.

    只需證bn≥ln n.

    因為b1≥ln 1顯然成立,所以即證

    n+12ln n-n-12ln(n-1)-1≥ln n,n≥2.

    只需證n≥2時,有

    n-12ln n-n-12ln(n-1)≥1.

    只需證n≥2時,n-12lnnn-1≥1.

    只需證n≥2時,n-1+12lnn-1+1n-1≥1.

    即證n≥2時,f1n-1≥1.

    由(2)知,不等式

    f1n-1≥1顯然成立,所以有l(wèi)n(n?。?n+12ln n+n≤1,得證.

    評析:觀察聯(lián)想數(shù)列前n項和,利用求和思想,求出通項公式,消掉ln(n?。?

    3.2.3 法3:求和思想,結合(2)的結論構造ln(n!)

    證明:由(2)知f(x)=1x+12ln(x+1)>1,則

    n+12ln1n+1=n+12[ln(n+1)-ln n]>1.

    當n≥2時,1+12(ln 2-ln 1)>1,

    2+12(ln 3-ln 2)>1,

    …………

    n-2+12[ln(n-1)-ln(n-2)]>1,

    n-1+12[ln n-ln(n-1)]>1.

    由累加法可得

    n-1+12ln n-[ln(n-1)+ln(n-2)+……+ln 2]>n-1.

    所以當n≥2時,n+12ln n-ln(n?。?n-1,

    即ln(n?。?n+12ln n+n<1.

    又當n=1時,ln(n?。?n+12ln n+n=1,

    所以ln(n!)-n+12ln n+n≤1,得證.

    3.2.4 法4:觀察構造數(shù)列,利用“數(shù)學歸納法”

    具體過程略,可掃后面的二維碼查看.

    3.3 第(3)問左邊不等式

    3.3.1 法1:求和思想,平均化擬合

    證明:設an=ln(n?。?n+12ln n+n.

    猜想∑ni=1ci=ln(n!)-n+12ln n+n>56,

    即c1+c2+……+cn>56.因為c1=1,

    所以即證n≥2,c2+c3+……+cn>-16.

    只需證n≥2時,an-an-1=cn>-16(n-1).

    只需證cn=1-n-1+12ln1+1n-1>-16(n-1)(n≥2).

    只需證n≥2時,有

    n-1+12ln1+1n-1-16(n-1)-1<0.

    令t=1n-1∈(0,1],則只需證

    ln(1+t)<16t+11t+12=t(t+6)3(t+2).

    只需證F(t)=ln(1+t)-t(t+6)3(t+2)<0,t∈(0,1].

    因為t∈[0,1]時,F(xiàn)′(t)=-t[(t+1)2+3]3(t+2)2(t+1)<0(運算量大?。┣褾(0)=0,

    所以F(t)在(0,1]上單調遞減,則F(t)

    評析:本方法關鍵是聯(lián)想到平均化擬合,將c2+c3+……+cn>-16轉化為通項cn>-16(n-1),化簡過程中使用了“對數(shù)單身”的化簡本質和“整體代換”的化簡技巧.

    3.3.2 法2:求和思想,擬合熟悉的較簡單模型

    證明:設an=ln(n?。?n+12ln n+n.

    猜想∑ni=1ci=ln(n?。?n+12ln n+n>56,即

    c1+c2+……+cn>56.

    因為c1=1,聯(lián)想n≥2時,

    c2+c3+……+cn>-161-12+12-13+……+1n-1-1n=-161-1n>-16.

    只需證n≥2時,an-an-1=cn>-161n-1-1n.

    只需證cn=1-n-1+12ln1+1n-1>-16(n-1)n,n≥2.

    接下來整理與轉化方式同法1,略.

    評析:關鍵是聯(lián)想到簡單熟悉模型進行擬合.

    3.3.3 法3:加強后,利用數(shù)學歸納法

    具體過程略,可掃碼查看.

    3.3.4 法4:分析放縮+泰勒逼近

    掃碼看附錄

    秒殺法,具體過程略,可掃碼查看.

    其他拓展性解法,如尋找擬合函數(shù)、帕德逼近、斯特林公式等解法不再細述,可掃碼看附錄.

    4 方法延伸

    解決問題的一種放縮方式:根據(jù)學生儲備知識12x-1x12x-1x進行放縮,最終的結果是an>34不夠大,進一步通過12x-1x與2(x-1)x+1的加權值調整一下,讓左側放縮結果大一點,如取12·2(x-1)x+1+14x-1x,構造函數(shù)g(x)=ln x-12·2(x-1)x+1-14x-1x,x∈(0,1),經(jīng)過運算可得g(x)>0,即ln x>12·2(x-1)x+1+14x-1x,再用累加法即可得到an>78>56,得證.若取23·2(x-1)x+1+16x-1x,同理可證an>1112>56.這種構造方法學生可以掌握.

    5 溯源與新題練習

    5.1 溯源

    (1)2022年新高考Ⅱ卷第22題:

    已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

    (?。┊攁=1時,討論f(x)的單調性;

    (ⅱ)當x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍;

    (ⅲ)設n∈N*,證明:112+1+122+2+……+1n2+n>ln(n+1).

    (2)2018年全國Ⅲ卷理科卷第21題:

    已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

    (ⅰ)若a=0,證明:當-10時,f(x)>0.

    (ⅱ)若x=0是f(x)的極大值點,求a.

    5.2 新題練習

    (1)原創(chuàng)命題練習

    已知函數(shù)f(x)=x-aln(x+1).

    (ⅰ)當a=1時,求y=f(x)在x=2處的切線斜率;

    (ⅱ)若x∈(0,+∞),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍;

    (ⅲ)證明:n∈N+,ln(n?。?nln(n+1)+n>0.

    (2)2019年調研試題改編

    已知函數(shù)f(x)=7+x1+x(x>0).

    (?。┯懻揼(x)=x[f(x)]2的單調性;

    (ⅱ)設a1=1,an+1=f(an)(n∈N*),試證明

    2n-2|ln an-ln 7|<1.

    6 結語

    本題難點在第(3)問,它充分突出了數(shù)學學科的選拔性功能,深刻地考查了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和思維分析能力.具備泰勒展開等拓展知識的學生可以利用拓展知識解決問題,充分體現(xiàn)了數(shù)學教學的基本理念:以學生發(fā)展為本,立德樹人,提升素養(yǎng),實現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.

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