指向?qū)W生運(yùn)算能力培養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略

羅禮紅

摘要：培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理、簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。“運(yùn)算律”是與小學(xué)數(shù)學(xué)整數(shù)四則混合運(yùn)算領(lǐng)域有關(guān)的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的關(guān)鍵。教師要站在整體、系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)的高度把握和處理教材，引導(dǎo)學(xué)生充分感受和把握數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，體驗數(shù)學(xué)知識體系的發(fā)展過程。

關(guān)鍵詞：整體構(gòu)建；本質(zhì)；結(jié)構(gòu)化；運(yùn)算能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）指出，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題?！斑\(yùn)算律”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級上冊第四單元的內(nèi)容，是與小學(xué)數(shù)學(xué)整數(shù)四則混合運(yùn)算領(lǐng)域有關(guān)的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的關(guān)鍵。這個單元不僅是對整數(shù)四則混合運(yùn)算進(jìn)行總結(jié)性學(xué)習(xí)和梳理混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，也是對運(yùn)算律意義與簡便運(yùn)算的系統(tǒng)學(xué)習(xí)和對算式的等值變形的感受。兩者互相依存，同等重要，勾勒出此單元在整個小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的核心地位。教材注重混合運(yùn)算中運(yùn)算順序與運(yùn)算律的聯(lián)系與區(qū)別，運(yùn)算順序是關(guān)于運(yùn)算的一般規(guī)則，運(yùn)算律是等值變形實現(xiàn)合理簡便計算的特殊規(guī)則，一般規(guī)則與特殊規(guī)則巧妙編排在一起，能讓學(xué)生全面看待運(yùn)算問題，對運(yùn)算有整體認(rèn)識（見下頁圖1）。

教師要站在整體、系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)的高度把握和處理教材，引導(dǎo)學(xué)生充分感受和把握數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程。筆者所在的團(tuán)隊開展了“運(yùn)算律”單元知識的結(jié)構(gòu)化教學(xué)實踐研究，旨在探索結(jié)構(gòu)化教學(xué)的多維路徑。

一、關(guān)聯(lián)知識原點，奠定結(jié)構(gòu)根基

數(shù)學(xué)知識之間有著天然的結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，舊知是新知的基礎(chǔ)，新知是舊知的發(fā)展，環(huán)環(huán)相扣，組成互相聯(lián)系的整體，即“結(jié)構(gòu)”。四則運(yùn)算的意義、加法驗算、問題解決等成為運(yùn)算律知識的生長點。教

師在“運(yùn)算律”單元教學(xué)中需要自身建立結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，促使學(xué)生頭腦中新知、舊知融合共生。

在一至三年級的學(xué)習(xí)中，運(yùn)算律都是以具體的生活實例出現(xiàn)。學(xué)生在探索計算方法和解決簡單的實際問題的過程中憑直覺運(yùn)用，早已經(jīng)將運(yùn)算律自然滲透。也就是說，運(yùn)算律是運(yùn)算的基礎(chǔ)算理，曾反復(fù)出現(xiàn)在整數(shù)運(yùn)算中（見圖2）。

例如，在“乘法分配律”一課中，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：我們今天學(xué)習(xí)的乘法分配律，其實早已經(jīng)默默地出現(xiàn)在我們的學(xué)習(xí)中，如學(xué)習(xí)乘法口訣時，學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)時，都用到了拆分計算的原理，其實就是乘法分配律。這樣，能讓學(xué)生學(xué)習(xí)的知識一脈相承，有利于相互關(guān)聯(lián)，重構(gòu)意義，實現(xiàn)認(rèn)識結(jié)構(gòu)化。

二、梳理關(guān)鍵知識，形成結(jié)構(gòu)全貌

本單元可提煉為如下頁圖3所示的知識結(jié)構(gòu)，主要學(xué)習(xí)整數(shù)四則混合運(yùn)算、加法和乘法的運(yùn)算律、運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算三個方面的內(nèi)容。從內(nèi)容框架分析，四則混合運(yùn)算和中括號的認(rèn)識，是對小學(xué)領(lǐng)域混合運(yùn)算進(jìn)行了概括，是小數(shù)、分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的基礎(chǔ)；五個運(yùn)算律學(xué)習(xí)的意義是理解及簡便計算，借助運(yùn)算律及數(shù)據(jù)特點改變了運(yùn)算順序，但運(yùn)算結(jié)果沒有改變。

從思維框架分析，學(xué)生在探索、辨析中理解四則混合運(yùn)算的方法多樣性，增強(qiáng)對運(yùn)算意義的理解，提高運(yùn)算能力；在探索運(yùn)算律的過程中積累合情推理的思維經(jīng)驗。

從內(nèi)容編排分析，五個運(yùn)算律的編排結(jié)構(gòu)基本一致，即觀察算式→仿寫算式→解釋規(guī)律→表述規(guī)律→應(yīng)用規(guī)律，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、確認(rèn)發(fā)現(xiàn)、提出問題、歸納結(jié)論，積累合情推理的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升思維能力。

從核心素養(yǎng)分析，學(xué)生在探索運(yùn)算規(guī)律中培養(yǎng)符號意識、模型思想、推理能力；在應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行簡便運(yùn)算、解決生活中的問題時，培養(yǎng)數(shù)感、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)?？梢?，本單元的學(xué)習(xí)能考查學(xué)生多項數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，具有非常重要的學(xué)習(xí)價值。

在實施結(jié)構(gòu)化教學(xué)的過程中，教師應(yīng)通過關(guān)聯(lián)知識原點、整體構(gòu)建結(jié)構(gòu)、搭建結(jié)構(gòu)“承重墻”，打斷結(jié)構(gòu)“隔斷墻”，設(shè)計有效的教學(xué)活動和課中作業(yè)，形成運(yùn)算律教學(xué)改進(jìn)策略，最終達(dá)成“運(yùn)算律”教學(xué)結(jié)構(gòu)化，促進(jìn)學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化思維（見圖4）。

三、凸顯意義教學(xué)，把牢結(jié)構(gòu)主脈

教師要抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)（見表1）。

【教學(xué)片段】在乘法分配律中突出意義

師：剛才同學(xué)們沒有經(jīng)過計算，怎么就知道教材中的兩個算式是相等的呢？

生：因為左邊的數(shù)和右邊的數(shù)都是相同的。

生：舉例子，第一個算式左邊先是4 + 6=10，再乘9，就是10個9；右邊是6個9加4個9，加起來也是10個9，因此不用計算就能知道它們相等。

生：第二個算式左邊先是71 + 29=100，再乘18就是100個18，右邊是71個18加29個18，加起來也是100個18，所以不用算就能知道它們相等。

師：例子是舉不完的，通過分析幾個幾的意思，借助乘法運(yùn)算的意義，就能知道兩邊的算式相等（出示圖5）。

學(xué)生舉例驗證乘法分配律時，往往采用計算來驗證，但實際上也可以采用觀察來驗證，突出對意義的理解及表達(dá)，夯實結(jié)構(gòu)中的核心支點。通過表1可知，連減性質(zhì)和乘法分配律改變了計算方法，但結(jié)果不變，這就需要學(xué)生去理解意義。加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律改變的是運(yùn)算順序，運(yùn)算和數(shù)據(jù)都沒有增減或變化。這樣，當(dāng)面對題目125 × 8 × 4和（125 + 8） × 4時，學(xué)生就不會有太多的誤解。

四、激活簡便計算，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)遷移

（一）分類梳理，整理簡便運(yùn)算的編排結(jié)構(gòu)

從教材編排的19道典型的簡便計算題可以看出，僅有4道題作為新授中的例子出現(xiàn)，其余大多數(shù)出現(xiàn)在練習(xí)中。加法、乘法結(jié)合律的題型較為完善，加法、乘法交換律則缺乏及時的練習(xí)，減法性質(zhì)也缺乏完整的探究。乘法分配律有11道典型的簡便計算題，涉及乘法分配律的逆向運(yùn)用、變式的乘法分配律、拆數(shù)再運(yùn)用、對減法分配等，將部分難點類型穿插到5個運(yùn)算律的綜合練習(xí)題中，未能聚焦分析，增加了學(xué)生的理解難度。

（二）對比辨析，厘清簡便運(yùn)算的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)

教師可將乘法分配律的典型題目獨立出來，加強(qiáng)與乘法結(jié)合律的辨析，加強(qiáng)乘法分配律（對減法分配）的學(xué)習(xí)，設(shè)計“光看就能算”“分開與合攏”“對比出真知”等活動，充分發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生或觀察湊整，或靈活拆分，基于算理理解簡便運(yùn)算。

【教學(xué)片段】乘法分配律

在運(yùn)用乘法分配律時，不少學(xué)生把它理解為求兩個積的和，忽略了乘法分配律適用的一個重要條件：有一個相同的乘數(shù)。為此，筆者設(shè)計了這樣的兩道題進(jìn)行對比。

（1）36 × 69 + 37 × 69

（2）36 × 69 + 37 × 49

師：這兩個算式有什么相同點和不同點？

生：相同點都是求兩個積的和。

生：不同點在于（1）有相同的乘數(shù)，（2）沒有。

師：請你將兩個算式與乘法分配律進(jìn)行對比，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：（1）可以用乘法分配律，（2）不能。

通過這樣的對比，學(xué)生認(rèn)識到用乘法分配律的一個重要條件是：必須有一個相同的乘數(shù)。

同理，乘法分配律與乘法結(jié)合律也特別容易混淆，學(xué)生需要結(jié)合實例，如（125 × 25） × 8和（125 + 17） × 8，重點對比并辨析三個問題：兩個運(yùn)算律的意義有何不同？什么時候改變運(yùn)算順序？怎么改變運(yùn)算順序？在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行其他運(yùn)算定律的綜合練習(xí)（見圖6）。

（三）實例運(yùn)用，優(yōu)化簡算的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

結(jié)合生活實例的運(yùn)用，學(xué)生積累了簡便運(yùn)算與解決問題結(jié)合的經(jīng)驗，更有利于理解運(yùn)算律，將運(yùn)算律與生活實例進(jìn)行聯(lián)系，讓簡便運(yùn)算的結(jié)構(gòu)遷移。遇到類似的實例時，學(xué)生會判斷與辨析，會選擇合適的方法解決問題，會靈活運(yùn)用運(yùn)算定律，增強(qiáng)應(yīng)用能力。

在實施結(jié)構(gòu)化教學(xué)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過關(guān)聯(lián)知識原點、整體構(gòu)建結(jié)構(gòu)，搭建結(jié)構(gòu)“承重墻”，打斷結(jié)構(gòu)“隔斷墻”，促使“運(yùn)算律”教學(xué)結(jié)構(gòu)化，形成結(jié)構(gòu)化思維。通過單元結(jié)構(gòu)化的整體教學(xué)， 能有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］凌乾川，周波，周婷.建造“關(guān)聯(lián)性”圖譜實施“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)：以小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”結(jié)構(gòu)化教學(xué)為例［J］.四川教育，2020（Z4）.

［2］朱俊華，吳玉國.基于單元整體的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)［J］.中小學(xué)教師培訓(xùn)，2019（9）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）