基于百分數(shù)統(tǒng)計意義的理解發(fā)展學生數(shù)據(jù)意識*

摘要 對百分數(shù)統(tǒng)計意義的感悟與理解是學生數(shù)據(jù)意識發(fā)展的表現(xiàn)之一。扇形統(tǒng)計圖的教學要基于百分數(shù)統(tǒng)計意義的理解，以具有統(tǒng)計意義的現(xiàn)實數(shù)據(jù)為基點，以引發(fā)數(shù)據(jù)需求的現(xiàn)實情境為起點，以意義表征中理解圖表結(jié)構(gòu)為支點，以指向問題解決的數(shù)據(jù)分析為重點，以對于不確定性的統(tǒng)計感悟為拐點，培養(yǎng)、發(fā)展學生數(shù)據(jù)意識，并促進其向數(shù)據(jù)觀念進階。

關(guān)? 鍵? 詞 數(shù)據(jù)意識；百分數(shù)；統(tǒng)計意義；隨機性；扇形統(tǒng)計圖；大數(shù)據(jù)

引用格式 趙斌.基于百分數(shù)統(tǒng)計意義的理解發(fā)展學生數(shù)據(jù)意識[J].教學與管理，2024（17）：41-44+51.

與《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》相比，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年課標》）將原有的“數(shù)據(jù)分析觀念”發(fā)展為指向小學的“數(shù)據(jù)意識”和指向初中的“數(shù)據(jù)觀念”，這一改變體現(xiàn)了《2022年課標》在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標上的一致性、層次性和階段性?！?022年課標》中另一變化就是將百分數(shù)從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整到“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，建議通過現(xiàn)實問題中的隨機數(shù)據(jù)引入百分數(shù)學習，幫助學生了解百分數(shù)的統(tǒng)計意義，了解利用百分數(shù)可以認識現(xiàn)實世界中的隨機現(xiàn)象，作出判斷、制訂標準，同時引導學生了解扇形統(tǒng)計圖可以更好地表達和理解百分數(shù)。這一改變意味著在“百分數(shù)”和“扇形統(tǒng)計圖”這兩個單元的教學中，需要一以貫之、循序漸進地促進學生對百分數(shù)統(tǒng)計意義的感悟和理解。在“扇形統(tǒng)計圖”教學中，如何結(jié)合“百分數(shù)”單元共同促進學生對百分數(shù)統(tǒng)計意義的理解？如何在統(tǒng)計圖特征理解的基礎(chǔ)上發(fā)展數(shù)據(jù)意識？如何落實小學與初中在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標上的一致性、層次性和階段性？筆者在“扇形統(tǒng)計圖”第一課時的教學中進行了一些思考與探索。

一、具有統(tǒng)計意義的現(xiàn)實數(shù)據(jù)是培育數(shù)據(jù)意識的基點

數(shù)據(jù)材料的選擇是統(tǒng)計教學的難點。這些數(shù)據(jù)材料首先要貼近學生生活現(xiàn)實，這有助于減輕學生的認知負荷，有利于學生更有效地參與學習活動；其次要源自真實的統(tǒng)計問題，體現(xiàn)統(tǒng)計學的特點，以激發(fā)學生學習的情感認同[1]。扇形統(tǒng)計圖作為小學階段學習的最后一種統(tǒng)計圖，其數(shù)據(jù)是百分數(shù)而非具體數(shù)量?！?022年課標》指出了百分數(shù)的兩種意義：一種是描述兩個確定數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系，即百分數(shù)的數(shù)學意義，如酒精含量、利率、稅率等；另一種是描述兩個隨機數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系，即百分數(shù)的統(tǒng)計意義，如射擊命中率、植物成活率等。只有用百分數(shù)描述隨機數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系時其才具有統(tǒng)計意義[2]?！吧刃谓y(tǒng)計圖”的教學，數(shù)據(jù)材料的選擇上應(yīng)選用隨機性數(shù)據(jù)，表達出百分數(shù)的統(tǒng)計意義，這是進行統(tǒng)計推斷的保障，也是培育統(tǒng)計意識的基點。

在“扇形統(tǒng)計圖”第一課時的教學中，筆者以“對比沿海城市和內(nèi)陸城市空氣質(zhì)量”為主題，以描述空氣質(zhì)量情況的百分數(shù)數(shù)據(jù)實施教學。環(huán)保主題，市民關(guān)注度高，貼近學生生活現(xiàn)實；空氣質(zhì)量，有一定的規(guī)律性，又具有隨機性，計算出的百分數(shù)具有統(tǒng)計意義?？諝赓|(zhì)量的對比屬于“質(zhì)”的對比，需要通過“量”進行刻畫，又可轉(zhuǎn)化為“率”實施對比，有助于深化學生對百分數(shù)統(tǒng)計意義的理解，催生數(shù)據(jù)意識。兩類城市的數(shù)據(jù)對比，需要通過抽樣、大數(shù)據(jù)等技術(shù)手段進行分析，同時又蘊涵著大量的、可從不同維度進行分析的信息，有助于學生開展統(tǒng)計推斷、演繹推理、批判質(zhì)疑等活動，發(fā)展、提升他們的數(shù)據(jù)意識。

二、引發(fā)數(shù)據(jù)需求的現(xiàn)實情境是培養(yǎng)數(shù)據(jù)意識的起點

數(shù)據(jù)意識，其實質(zhì)就是每當遇到問題的時候，會想到通過事實來分析，用數(shù)據(jù)來說話，只有這樣，才有可能客觀地反映實際情況，進而解決問題[3]。數(shù)據(jù)意識的形成不是表現(xiàn)為對統(tǒng)計指令的機械執(zhí)行和對統(tǒng)計方法的被動接受，而是表現(xiàn)為對數(shù)據(jù)意義、價值及其隨機性的感悟與理解，以及統(tǒng)計數(shù)據(jù)需求、統(tǒng)計方法需求的自覺萌發(fā)，并逐步形成知、情、意的統(tǒng)一。教師應(yīng)營造包含隨機性數(shù)據(jù)、具有數(shù)據(jù)沖突的現(xiàn)實情境，讓學生沉浸情境、萌發(fā)內(nèi)需、主動思辨、體驗感悟、反思內(nèi)省，這是培養(yǎng)數(shù)據(jù)意識的起點。

隨機性數(shù)據(jù)從哪里來？我國著名統(tǒng)計學家陳希孺將隨機數(shù)據(jù)分為：重復測量同一對象數(shù)據(jù)、抽樣數(shù)據(jù)、試驗設(shè)計所得數(shù)據(jù)三類[4]。分析抽樣數(shù)據(jù)的性質(zhì)或特征可以推斷總體的情況?！俺闃优c數(shù)據(jù)分析”是初中階段學習的主題內(nèi)容之一，小學階段未作要求，但在小學階段教學中適時結(jié)合具體問題情境，引導學生初步萌發(fā)抽樣的需求，了解簡單的抽樣方法，不僅有助于數(shù)據(jù)意識的形成，更能與初中教學內(nèi)容相銜接，體現(xiàn)不同學段在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標上的一致性、層次性和階段性。

數(shù)據(jù)的沖突性又該如何體現(xiàn)？扇形統(tǒng)計圖的特征在于能直觀、清楚地反映各分量與總量之間的百分率關(guān)系，扇形統(tǒng)計圖的教學在情境創(chuàng)設(shè)中要體現(xiàn)生活數(shù)據(jù)與百分數(shù)間的轉(zhuǎn)換需求，體現(xiàn)百分數(shù)形成的必要性[5]。因此，雖然扇形統(tǒng)計圖的價值在于描述一個總量內(nèi)各分量與總量的“縱向”比較關(guān)系，但要引發(fā)百分數(shù)形成的必要性內(nèi)需，需要借助幾個不同總量中分量與分量的“橫向”比較關(guān)系展開，在“橫向”比較中引發(fā)認知沖突并引出百分數(shù)，這是學生對扇形統(tǒng)計圖用百分數(shù)進行數(shù)據(jù)表達，進而形成價值認可的前提。

在本課教學中，筆者創(chuàng)設(shè)了引發(fā)數(shù)據(jù)需求、抽樣需求、百分數(shù)形成需求三個現(xiàn)實情境。

1.基于經(jīng)驗猜測，引發(fā)數(shù)據(jù)需求

課始通過關(guān)于假期旅游的簡短談話，引導學生猜測沿海城市的空氣質(zhì)量好，還是內(nèi)陸城市的空氣質(zhì)量好？學生基于海風、降水、綠化等經(jīng)驗，均猜測是沿海城市空氣質(zhì)量好。筆者追問：同學們結(jié)合經(jīng)驗對兩類城市的空氣質(zhì)量作出判斷，但經(jīng)驗一定可靠嗎？怎樣進行準確比較？學生認為可以通過調(diào)查，收集沿海城市和內(nèi)陸城市的空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)進行對比。學生在真實情境中現(xiàn)實問題的引導下，感受到許多問題的解決要先做調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)，只要有足夠的數(shù)據(jù)就能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，自覺產(chǎn)生收集數(shù)據(jù)、用數(shù)據(jù)說話的內(nèi)需。

2.呈現(xiàn)現(xiàn)實困境，引發(fā)抽樣需求

之后，筆者展示中國地圖并提出問題：中國的沿海城市有五六十個，內(nèi)陸城市有五百多個，數(shù)量這么多，怎么比呢？有學生認為可以分別挑選一些有特點的城市，收集它們的空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)進行對比；也有學生認為如果要公平地比較，就應(yīng)該在兩類城市中任意挑選一些，收集數(shù)據(jù)進行對比。筆者介紹，這樣的方法都叫“抽樣”，后一種方法屬于“隨機抽樣”。學生感受到，在面對現(xiàn)實問題時不必得到所有城市的相關(guān)數(shù)據(jù)，只需分析一部分數(shù)據(jù)（樣本）的性質(zhì)或特征就可以推斷總體的情況。這樣，學生的抽樣意識自主萌發(fā)，為初中階段具體抽樣方法的學習積累經(jīng)驗。

3.設(shè)計對比障礙，引發(fā)百分數(shù)形成需求

隨后，筆者呈現(xiàn)隨機抽樣的40個沿海城市和50個內(nèi)陸城市的空氣質(zhì)量等級信息，再將信息分類整理成復式統(tǒng)計表（見表1），引導學生仔細觀察并比較哪類城市空氣質(zhì)量好。學生均認為因抽樣的沿海城市和內(nèi)陸城市總數(shù)不相等，不好直接比較。還有學生提出建議：在這些數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，可以分別算出兩類城市中空氣質(zhì)量為優(yōu)的城市占百分之幾、良的城市占百分之幾、污染的城市占百分之幾，通過百分數(shù)就可以比較。建議得到大家認可后，筆者呈現(xiàn)百分數(shù)統(tǒng)計表（見表2）。學生面對情境中的數(shù)據(jù)沖突，自覺產(chǎn)生將“量”轉(zhuǎn)化為“率”的需求，數(shù)據(jù)意識得以發(fā)展。

三、意義表征中理解圖表結(jié)構(gòu)是形成數(shù)據(jù)意識的支點

在大數(shù)據(jù)背景下進行數(shù)據(jù)深度分析，是以理解統(tǒng)計圖表結(jié)構(gòu)、掌握相關(guān)統(tǒng)計術(shù)語和符號為前提的。因扇形統(tǒng)計圖結(jié)構(gòu)相對復雜，小學階段未對其制作提出教學要求，但學生在百分數(shù)學習過程中，已經(jīng)積累了對百分數(shù)意義進行多元表征的經(jīng)驗，因此，教學中可引導學生對同一單位“1”中的幾個簡單百分數(shù)進行多元表征，一方面能發(fā)展數(shù)感和幾何直觀，另一方面能深化對扇形統(tǒng)計圖中百分數(shù)意義的理解，還能通過學生差異化表征的展示、交流，讓學生理解扇形統(tǒng)計圖的結(jié)構(gòu)，感悟扇形統(tǒng)計圖的特征，為后續(xù)進行數(shù)據(jù)分析提供支撐，為數(shù)據(jù)意識的形成和發(fā)展提供支點。呈現(xiàn)表2后，筆者組織三次活動，引導學生逐步理解數(shù)據(jù)意義、圖表結(jié)構(gòu)，以及圖表內(nèi)數(shù)據(jù)間的邏輯關(guān)系。

1.多元表征，分層展示作品

筆者以表2中沿海城市數(shù)據(jù)為例，組織學生寫一寫或用示意圖畫一畫，表示出對各個百分數(shù)意義的理解。之后筆者請學生上臺展示、介紹幾種典型作品（如圖1、圖2、圖3）。

2.對比評價，理解作品共性

展示、介紹后，組織學生對三位同學的作品進行點評，概括它們的異同。筆者首先肯定三位同學表示得都對，然后一邊用板貼逐步呈現(xiàn)完整的扇形統(tǒng)計圖（如圖４），一邊說明：數(shù)學統(tǒng)計時，通常用一個圓表示單位“1”的量，將圓平均分成100份，用不同大小的扇形表示各個部分量所占的百分率，再加上標題、制圖日期，就形成我們用數(shù)據(jù)說話的一種重要方式——扇形統(tǒng)計圖。

3.圖表初析，理解內(nèi)部邏輯

接著筆者引導學生觀察完整的沿海城市空氣質(zhì)量情況扇形統(tǒng)計圖，交流從中了解到的信息。期間筆者提問：如何計算各空氣質(zhì)量等級的沿海城市的個數(shù)？之后筆者再呈現(xiàn)內(nèi)陸城市空氣質(zhì)量情況扇形統(tǒng)計圖（如圖5），學生交流圖表中信息時提問：已知空氣質(zhì)量為優(yōu)的城市有15個，怎樣計算內(nèi)陸城市的總數(shù)？通過兩次提問，引導學生遷移運用百分數(shù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系，促進他們對扇形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)間邏輯關(guān)系的理解，發(fā)展學生應(yīng)用意識。

四、指向問題解決的數(shù)據(jù)分析是發(fā)展數(shù)據(jù)意識的重點

讓數(shù)據(jù)說話，意味著尊重客觀事實。通過分析數(shù)據(jù)中蘊涵的信息，不僅可以讓學生感受統(tǒng)計應(yīng)用的多樣性，滲透培養(yǎng)實事求是的科學精神，還能拓寬學生的知識面[6]。通過指向問題解決的問題設(shè)計，引發(fā)學生對數(shù)據(jù)的深度分析，有助于提升他們的數(shù)據(jù)感悟能力，體驗統(tǒng)計價值，這是發(fā)展學生數(shù)據(jù)意識的重點。

1.對比選擇，理解統(tǒng)計圖表特征

統(tǒng)計圖表是為了直觀地表達數(shù)據(jù)，因所要研究的問題不同，表達方式和特征也有所不同。扇形統(tǒng)計圖是為了直觀地表示各分量與總量間的百分率關(guān)系。這一特征，需要教師引導學生通過對比分析、選擇判斷等活動，體驗扇形統(tǒng)計圖與其他統(tǒng)計圖表的不同之處，感悟并認可其價值。

在引導學生依次分析圖4、圖5兩幅扇形統(tǒng)計圖后，筆者引導學生回顧前一階段的學習，課件一一呈現(xiàn)抽樣城市的空氣質(zhì)量情況記錄表、復式數(shù)量統(tǒng)計表、復式百分率統(tǒng)計表、兩幅扇形統(tǒng)計圖，提出問題：要比較兩類城市的空氣質(zhì)量情況，你會選擇哪種方式比較？說說理由。交流中，學生均選擇扇形統(tǒng)計圖，理由是前兩種方式中的數(shù)據(jù)都只能看出具體數(shù)量，總數(shù)量不同時不好直接比較哪類城市空氣質(zhì)量好，后兩種統(tǒng)計方式中的數(shù)據(jù)都是百分率，能直接比較空氣質(zhì)量情況。扇形統(tǒng)計圖是在圓中用大小不同的扇形表示出各部分數(shù)量占總量的百分率，更清楚、直觀。學生通過整體回顧，梳理對同一組數(shù)據(jù)所用的不同表達方式，在現(xiàn)實問題的引導下、在多維對比中體驗扇形統(tǒng)計圖的鮮明特征，為今后結(jié)合問題背景靈活選擇合適的統(tǒng)計方式提供可能。

2.比較判斷，感悟數(shù)據(jù)蘊涵的信息

數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計教學的核心內(nèi)容和重要目標，通過呈現(xiàn)一定量的真實數(shù)據(jù)，引導學生在“混亂”的數(shù)據(jù)中開展比較、判斷、預(yù)測、推斷等活動，能讓學生對數(shù)據(jù)的分析從局部走向整體，對問題的理解也會更具整體性、客觀性和深刻性。

學生都認為扇形統(tǒng)計圖更便于比較時，筆者再整體呈現(xiàn)兩類城市空氣質(zhì)量情況統(tǒng)計圖，引導學生比一比：12月9日哪類城市空氣質(zhì)量好些呢？說說你的想法。有學生認為是內(nèi)陸城市空氣質(zhì)量好，因為空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的內(nèi)陸城市所占的百分率更大；有的學生認為是沿海城市空氣質(zhì)量好，這些同學有的通過空氣質(zhì)量為“污染”的城市所占百分率進行比較，有的綜合考慮空氣質(zhì)量為“污染”“良”的城市所占百分率，同時兼顧空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的城市所占百分率進行比較。在最后的交流辨析中，學生達成共識：整體看來，12月9日沿海城市空氣質(zhì)量好一些。

3.結(jié)論推斷，培育大數(shù)據(jù)意識

在以往，隨機采樣能最大限度保證采樣分析的精確性，但隨機采樣可能存在信息遺漏，而大數(shù)據(jù)能夠為研究者提供數(shù)據(jù)的全部細節(jié)，彌補隨機采樣分析的劣勢。因此，大數(shù)據(jù)時代樣本統(tǒng)計在某些特定情境下仍具應(yīng)用價值，但不再是數(shù)據(jù)分析的主要方式[7]。小學數(shù)學統(tǒng)計教學中，難以讓學生經(jīng)歷真正意義的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，但適時引導學生感受大數(shù)據(jù)的特點，感悟大數(shù)據(jù)的價值，培育學生大數(shù)據(jù)意識，不僅體現(xiàn)數(shù)據(jù)意識培養(yǎng)的時代性，也體現(xiàn)統(tǒng)計與概率領(lǐng)域核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標的上的一致性、層次性和階段性。

對12月9日兩類城市空氣質(zhì)量對比分析后，筆者提問：通過這一天數(shù)據(jù)的對比分析，我們能說沿海城市的空氣質(zhì)量一定比內(nèi)陸城市好嗎？學生均認為不能，因為這里只統(tǒng)計了一天的數(shù)據(jù)，其他時段的空氣質(zhì)量情況不一定也是如此。同時學生進一步提出，要比較兩類城市的空氣質(zhì)量情況，還要收集更多的數(shù)據(jù)。于是筆者呈現(xiàn)兩類城市2023年整個12月空氣質(zhì)量情況的扇形統(tǒng)計圖，再次引導學生對比空氣質(zhì)量情況。學生通過分析、交流，均認為沿海城市空氣質(zhì)量好。筆者追問：從一天的數(shù)據(jù)分析到一個月的數(shù)據(jù)分析可知，沿海城市的空氣質(zhì)量比內(nèi)陸城市好?，F(xiàn)在可以下定論了嗎？學生還是認為不能下定論，有的認為一個月的數(shù)據(jù)雖然比一天的數(shù)據(jù)有說服力，但還是不夠；有的認為這里只是40個沿海城市和50個內(nèi)陸城市的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)也不夠。筆者再追問：時間還不夠長，城市數(shù)量還不夠多，那該怎么辦呢？學生均認為要收集更多城市，最好是所有城市、更長時間的數(shù)據(jù)，制作成扇形統(tǒng)計圖再對比分析。最后，筆者說明：看來要得出最終結(jié)論，需要更多量的數(shù)據(jù)，我們可以稱之為“大數(shù)據(jù)”。學生在問題引導下，體驗到數(shù)據(jù)既有差異性又有規(guī)律性，數(shù)據(jù)越多則規(guī)律越明顯，所得到的規(guī)律也越可靠，感受到只要有足夠的數(shù)據(jù)，就可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

五、對于不確定性的統(tǒng)計感悟是提升數(shù)據(jù)意識的拐點

自然界是混亂的、不可預(yù)測的，自然界的定律不過是對平均效應(yīng)所進行的方便的、暫時的描述，這種對待自然界和自然界規(guī)律的態(tài)度就是眾所周知的觀察自然界的統(tǒng)計觀點——用統(tǒng)計觀點看世界[8]。統(tǒng)計思維具有辯證性，前提是自然界是偶然的，統(tǒng)計推斷就是從偶然中發(fā)現(xiàn)必然但又不是“必然”的必然，這就使得統(tǒng)計推斷的結(jié)論不同于數(shù)學結(jié)論的唯一性和確定性，它并不是百分之百可靠，但卻有意義。這種思維屬于人類的高級思維，小學階段培養(yǎng)這種思維很難，但對這種意識的培養(yǎng)要從早期教育開始，它屬于高階的統(tǒng)計意識。

本課最后，筆者結(jié)合課件，引導學生回顧整節(jié)課的學習路徑，提出問題：我們最終還是沒有得出哪類城市空氣質(zhì)量一定好的定論，那我們這節(jié)課的學習是不是毫無意義呢？片刻思考后，學生均認為這節(jié)課的學習有意義：有的學生認為，這節(jié)課認識了扇形統(tǒng)計圖，它能直觀地表示出各部分數(shù)量與總數(shù)量的關(guān)系，知道了當總數(shù)量不相同時，可以算出各個部分占總量的百分率，制作成扇形統(tǒng)計圖進行分析比較；有的學生認為，學習本課后知道通過數(shù)據(jù)可以清楚地分析、比較兩類城市的空氣質(zhì)量情況；有的學生認為，通過本課學習知道了對大量數(shù)據(jù)進行比較的時候，可以抽樣調(diào)查再進行分析，而想要得到準確結(jié)果，需要用大數(shù)據(jù)進行分析；還有學生認為，并未得出定論，是因為數(shù)據(jù)還不夠多，數(shù)據(jù)越多，得出的結(jié)論就會越可靠。學生對統(tǒng)計學習價值的認可有的源自知識技能層面的收獲，還有的源自對隨機現(xiàn)象的深刻體驗、大數(shù)據(jù)意識的覺醒和統(tǒng)計價值的理解，這標志著學生數(shù)據(jù)意識的提升，并開始向數(shù)據(jù)觀念進階。

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［責任編輯：陳國慶］