利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的“恒成立”和“能成立”問(wèn)題

魏慶霞

【摘要】不等式的“恒成立”問(wèn)題是對(duì)于定義域內(nèi)的任意取值均成立，不等式的“能成立”問(wèn)題是定義域內(nèi)某一取值使其成立即可，都可以轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題進(jìn)行解答，但二者最值的范圍不一樣，考查學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)思想的綜合運(yùn)用.本文對(duì)不等式的“恒成立”和“能成立”問(wèn)題進(jìn)行分析總結(jié)，并列舉一道典型例題進(jìn)行詳細(xì)解答，以期望幫助學(xué)生對(duì)不等式的成立問(wèn)題有更清晰的理解.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；不等式

不等式在高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)非常重要的概念，它在解決問(wèn)題和證明定理中起著關(guān)鍵作用.在不等式的討論中，經(jīng)常會(huì)涉及 “恒成立”和“能成立”的問(wèn)題.當(dāng)一個(gè)不等式在任何情況下都成立時(shí)，我們稱(chēng)之為“恒成立”.換句話(huà)說(shuō)，即無(wú)論變量取什么值，不等式都是成立的.而當(dāng)一個(gè)不等式只在特定條件下成立時(shí)，我們稱(chēng)之為“能成立”.這意味著不等式并不是在所有情況下都成立，而是在某些特定的條件下才成立.在解決不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要判斷一個(gè)不等式是“恒成立”還是“能成立”時(shí)，需要對(duì)不等式進(jìn)行深入的研究和分析，找出它的特性和條件，準(zhǔn)確判斷它的成立情況.對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解不等式的“恒成立”和“能成立”問(wèn)題有助于他們更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)解題能力.同時(shí)，對(duì)于數(shù)學(xué)教育者來(lái)說(shuō)，不等式的“恒成立”和“能成立”問(wèn)題的教學(xué)是一個(gè)有挑戰(zhàn)性的課題，知識(shí)點(diǎn)容易混淆，題目難度偏大，解題過(guò)程復(fù)雜，需要教師在知識(shí)傳授和習(xí)題講解的過(guò)程中，始終保持科學(xué)的方法、嚴(yán)密的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度.

4 結(jié)語(yǔ)

不等式的“恒成立”和“能成立”是在解決不等式問(wèn)題時(shí)需要注意的兩個(gè)概念.只有正確地理解它們，才能更好地解決不等式問(wèn)題.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題，轉(zhuǎn)化是解決這類(lèi)題目的關(guān)鍵.已知不等式f（x，a）≥0（a為實(shí)參數(shù)）對(duì)任意的x∈D恒成立，求參數(shù)a的取值范圍，利用轉(zhuǎn)化思想解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，會(huì)用到分離參數(shù)法和函數(shù)思想法.分離參數(shù)法是先將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，從而求得未知參數(shù)的取值范圍.函數(shù)思想法則是將不等式轉(zhuǎn)化為某個(gè)含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值或最值，然后構(gòu)建不等式求解.

參考文獻(xiàn)：

［1］廖梓豪.不等式恒成立問(wèn)題的解法探究——2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)第22題［J］.數(shù)理化解題研究，2022（22）：36-38.

［2］呂學(xué)琴，劉冰.恒成立、能成立問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題策略［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2020（04）：25-27.

［3］肖斌.破解單變量“恒成立”與“能成立”問(wèn)題的利器［J］.中學(xué)生數(shù)理化（高二數(shù)學(xué)），2019（Z1）：24-29.

［4］陳小明.恒成立與存在性成立問(wèn)題在函數(shù)最值中的應(yīng)用［J］.科學(xué)咨詢(xún)（科技·管理），2015（08）：122+124.

［5］李可欣.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2015（09）：30-32.

［6］展佳.利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題的常見(jiàn)策略及其優(yōu)化［J］.數(shù)理化解題研究，2023（28）：28-30.