一道平面幾何最值問題的多種解法

馮興旺

【摘要】解三角形中的最值（或取值范圍）等問題，場景新穎，知識交匯融合，技巧方法眾多，是全面考查學(xué)生“四基”與能力的重要題型之一.文章基于一道平面圖形翻折的模擬題的創(chuàng)設(shè)，以解三角形的最值問題來合理設(shè)置，從角參與邊參的設(shè)置，以及坐標(biāo)構(gòu)建等多思維視角切入，巧妙解決相應(yīng)的解三角形的最值問題，拓展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

【關(guān)鍵詞】解三角形；翻折；函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；不等式

引 言

解三角形中的最值（或取值范圍）等問題，是近幾年新高考數(shù)學(xué)試卷命題的一個(gè)熱點(diǎn)，問題背景靈活多變，知識考查面廣.特別是在新高考數(shù)學(xué)試卷中，此類問題有時(shí)還巧妙融入現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)文化等應(yīng)用場景，成為一類創(chuàng)新性的綜合應(yīng)用問題，倍受各方關(guān)注.對其解題方法與技巧進(jìn)行探究與總結(jié)十分必要.

一、問題呈現(xiàn)

本題是一道以平面圖形翻折為背景的平面幾何的最值問題，此類問題主要考查正弦定理、余弦定理、不等式等相關(guān)知識，以及平面幾何、三角函數(shù)等知識.在解決此類問題時(shí)常用到平面幾何、三角函數(shù)、解三角形、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等相關(guān)知識，此類題有一定的綜合性，并且對代數(shù)變形能力要求較高，綜合考查直觀想象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

根據(jù)該問題的實(shí)際應(yīng)用場景，解題者可以從角參設(shè)置與邊參設(shè)置等不同思維視角切入，合理構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式，通過關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，利用函數(shù)思維或不等式思維并結(jié)合相關(guān)知識來分析與解決問題.

二、問題破解

（一）角參設(shè)置思維

解后反思 根據(jù)應(yīng)用場景引入邊參來合理構(gòu)建所求線段長度的關(guān)系式，也是解決問題時(shí)比較常用的一類技巧.以邊參為參數(shù)（注意對應(yīng)的取值范圍）所對應(yīng)的函數(shù)，可以通過函數(shù)的本質(zhì)，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來處理與轉(zhuǎn)化，這往往是解決與之相關(guān)的最值（或取值范圍）等問題中最為常用的思維方法.

（三）坐標(biāo)構(gòu)建思維

方法4（導(dǎo)數(shù)法3）

解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

解后反思 根據(jù)平面幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，將其放置于平面直角坐標(biāo)系中，通過平面幾何與平面解析幾何的交匯來綜合應(yīng)用.合理引入點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率等參數(shù)，巧妙構(gòu)建所求線段的長度關(guān)系式，進(jìn)而通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、重要不等式的應(yīng)用等來確定對應(yīng)的最值問題，從而實(shí)現(xiàn)問題的突破與解決.

三、教學(xué)啟示

（一）命題設(shè)置方式，知識綜合交匯

綜合性的解三角形問題可以很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力等.而處理解三角形問題往往可以利用平面幾何圖形來打開思路，這是近年各地高考模擬卷中解三角形問題的一個(gè)基本模式，在高考命題也必將占有一席之地.

此類解三角形問題求解的方法通常引入合理的角參或邊參，結(jié)合平面幾何圖形的特征，綜合解三角形的相關(guān)定理、性質(zhì)、公式等構(gòu)建關(guān)系式，通過對應(yīng)的函數(shù)、不等式等知識來分析與解決問題.

（二）思路方法歸納，技巧能力提升

解決此類解三角形問題的一般思路主要包括以下兩種：

（1）代數(shù)角度，尋找關(guān)于角或者邊的函數(shù)或不等式關(guān)系，進(jìn)而從函數(shù)或不等式視角來分析與求解.

（2）幾何角度，借助平面幾何知識，尋找圖形中蘊(yùn)藏的幾何關(guān)系，從直觀想象與數(shù)形結(jié)合視角來分析與求解.

當(dāng)然，解決此類解三角形問題經(jīng)常采用的思路是代數(shù)與幾何的綜合，從幾何中尋找關(guān)系，進(jìn)而合理構(gòu)建代數(shù)關(guān)系，對代數(shù)運(yùn)算與幾何推理加以綜合應(yīng)用，分析與解決問題.

結(jié) 語

此類平面幾何圖形翻折成對應(yīng)平面幾何圖形的創(chuàng)新應(yīng)用問題，要正確把握翻折過程中變與不變的量（涉及邊、角等），通過合理的參數(shù)引入來構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而將幾何問題代數(shù)化，解決此類解三角形問題.

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