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    一道平面幾何最值問題的多種解法

    2024-06-13 05:53:03馮興旺
    關(guān)鍵詞:解三角形不等式導(dǎo)數(shù)

    馮興旺

    【摘要】解三角形中的最值(或取值范圍)等問題,場景新穎,知識交匯融合,技巧方法眾多,是全面考查學(xué)生“四基”與能力的重要題型之一.文章基于一道平面圖形翻折的模擬題的創(chuàng)設(shè),以解三角形的最值問題來合理設(shè)置,從角參與邊參的設(shè)置,以及坐標(biāo)構(gòu)建等多思維視角切入,巧妙解決相應(yīng)的解三角形的最值問題,拓展數(shù)學(xué)思維,提升數(shù)學(xué)品質(zhì),引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

    【關(guān)鍵詞】解三角形;翻折;函數(shù);導(dǎo)數(shù);不等式

    引 言

    解三角形中的最值(或取值范圍)等問題,是近幾年新高考數(shù)學(xué)試卷命題的一個(gè)熱點(diǎn),問題背景靈活多變,知識考查面廣.特別是在新高考數(shù)學(xué)試卷中,此類問題有時(shí)還巧妙融入現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)文化等應(yīng)用場景,成為一類創(chuàng)新性的綜合應(yīng)用問題,倍受各方關(guān)注.對其解題方法與技巧進(jìn)行探究與總結(jié)十分必要.

    一、問題呈現(xiàn)

    本題是一道以平面圖形翻折為背景的平面幾何的最值問題,此類問題主要考查正弦定理、余弦定理、不等式等相關(guān)知識,以及平面幾何、三角函數(shù)等知識.在解決此類問題時(shí)常用到平面幾何、三角函數(shù)、解三角形、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等相關(guān)知識,此類題有一定的綜合性,并且對代數(shù)變形能力要求較高,綜合考查直觀想象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

    根據(jù)該問題的實(shí)際應(yīng)用場景,解題者可以從角參設(shè)置與邊參設(shè)置等不同思維視角切入,合理構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式,通過關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,利用函數(shù)思維或不等式思維并結(jié)合相關(guān)知識來分析與解決問題.

    二、問題破解

    (一)角參設(shè)置思維

    解后反思 根據(jù)應(yīng)用場景引入邊參來合理構(gòu)建所求線段長度的關(guān)系式,也是解決問題時(shí)比較常用的一類技巧.以邊參為參數(shù)(注意對應(yīng)的取值范圍)所對應(yīng)的函數(shù),可以通過函數(shù)的本質(zhì),利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來處理與轉(zhuǎn)化,這往往是解決與之相關(guān)的最值(或取值范圍)等問題中最為常用的思維方法.

    (三)坐標(biāo)構(gòu)建思維

    方法4(導(dǎo)數(shù)法3)

    解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

    解后反思 根據(jù)平面幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征,將其放置于平面直角坐標(biāo)系中,通過平面幾何與平面解析幾何的交匯來綜合應(yīng)用.合理引入點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率等參數(shù),巧妙構(gòu)建所求線段的長度關(guān)系式,進(jìn)而通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、重要不等式的應(yīng)用等來確定對應(yīng)的最值問題,從而實(shí)現(xiàn)問題的突破與解決.

    三、教學(xué)啟示

    (一)命題設(shè)置方式,知識綜合交匯

    綜合性的解三角形問題可以很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力等.而處理解三角形問題往往可以利用平面幾何圖形來打開思路,這是近年各地高考模擬卷中解三角形問題的一個(gè)基本模式,在高考命題也必將占有一席之地.

    此類解三角形問題求解的方法通常引入合理的角參或邊參,結(jié)合平面幾何圖形的特征,綜合解三角形的相關(guān)定理、性質(zhì)、公式等構(gòu)建關(guān)系式,通過對應(yīng)的函數(shù)、不等式等知識來分析與解決問題.

    (二)思路方法歸納,技巧能力提升

    解決此類解三角形問題的一般思路主要包括以下兩種:

    (1)代數(shù)角度,尋找關(guān)于角或者邊的函數(shù)或不等式關(guān)系,進(jìn)而從函數(shù)或不等式視角來分析與求解.

    (2)幾何角度,借助平面幾何知識,尋找圖形中蘊(yùn)藏的幾何關(guān)系,從直觀想象與數(shù)形結(jié)合視角來分析與求解.

    當(dāng)然,解決此類解三角形問題經(jīng)常采用的思路是代數(shù)與幾何的綜合,從幾何中尋找關(guān)系,進(jìn)而合理構(gòu)建代數(shù)關(guān)系,對代數(shù)運(yùn)算與幾何推理加以綜合應(yīng)用,分析與解決問題.

    結(jié) 語

    此類平面幾何圖形翻折成對應(yīng)平面幾何圖形的創(chuàng)新應(yīng)用問題,要正確把握翻折過程中變與不變的量(涉及邊、角等),通過合理的參數(shù)引入來構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而將幾何問題代數(shù)化,解決此類解三角形問題.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]朱小成.等腰三角形中不確定性問題的解決[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2023(24):64-65.

    [2]羅培洲.高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的解題技巧:以三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)為例[J].數(shù)理化解題研究,2023(30):50-52.

    [3]王東海.由2023年高考題談解三角形中三線問題的破解策略[J].中學(xué)生理科應(yīng)試,2023(12):14-16.

    [4]沈鴻羽,顧予恒.探究“一破二”模型,破解三角形問題:以2023年高考題為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2023(Z2):15-16.

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