基于波利亞解題理論的三角函數(shù)教學(xué)研究

朱鈺揚(yáng)

［摘? 要］ 三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容之一. 文章認(rèn)為波利亞解題理論對(duì)解決三角函數(shù)問(wèn)題具有重要指導(dǎo)意義與價(jià)值，具體表現(xiàn)在：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)，促進(jìn)知識(shí)生成；引導(dǎo)式教學(xué)，準(zhǔn)確表征問(wèn)題；整合式教學(xué)，明晰解題思路. 文章以“兩角差的余弦公式”的教學(xué)為例，用“理解題目—擬訂方案—執(zhí)行方案—回顧總結(jié)”四步分析法展開(kāi)教學(xué)實(shí)踐.

［關(guān)鍵詞］ 波利亞解題理論；三角函數(shù)；四步分析法

喬治·波利亞是美國(guó)著名數(shù)學(xué)家，長(zhǎng)期致力于數(shù)學(xué)教育研究，他的著作《怎樣解題》為一線教師的解題教學(xué)提供了明確的方法指導(dǎo). 波利亞的解題思想著重強(qiáng)調(diào)啟發(fā)式、引導(dǎo)式與整合式教學(xué)，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)的形成與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升具有重要意義.

教學(xué)價(jià)值

高中三角函數(shù)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)多，公式繁雜，各部分知識(shí)間、公式間又存在著縱橫交錯(cuò)的聯(lián)系. 實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，借助波利亞解題理論進(jìn)行解題教學(xué)，能起到事半功倍的教學(xué)成效. 具體表現(xiàn)在以下幾方面.

1. 啟發(fā)式教學(xué)，促進(jìn)知識(shí)生成

波利亞解題理論著重強(qiáng)調(diào)教會(huì)學(xué)習(xí)者思考的能力，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程就是對(duì)實(shí)際問(wèn)題思考的過(guò)程［1］. 想要從真正意義上提升學(xué)生的解題能力，教育工作者首先要做的就是通過(guò)各種教學(xué)手段啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生能靈活、熟練地掌握基本概念、公式與定理等.

在三角函數(shù)章節(jié)的教學(xué)中，部分教師將概念、定理、公式等直接灌輸給學(xué)生，學(xué)生只能采取機(jī)械性記憶，因此常被大量的概念、定理、公式所困擾，導(dǎo)致記憶混亂、思維受阻，無(wú)法靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，解題出現(xiàn)障礙.

想要解決這一困境，就需要在基礎(chǔ)知識(shí)構(gòu)建時(shí)采用啟發(fā)式教學(xué)模式，讓學(xué)生了解概念、定理、公式等的形成過(guò)程，在追根溯源中掌握知識(shí)本質(zhì)，為后續(xù)靈活應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

2. 引導(dǎo)式教學(xué)，準(zhǔn)確表征問(wèn)題

想要解題，首先要理解問(wèn)題問(wèn)的是什么，這是波利亞解題理論對(duì)學(xué)生提出精準(zhǔn)表征問(wèn)題的要求［2］. 事實(shí)上，“一聽(tīng)就會(huì)，一做就錯(cuò)”的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)解題中屢見(jiàn)不鮮. 三角函數(shù)既有函數(shù)的特點(diǎn)，又存在大量的運(yùn)算，屬于代數(shù)與幾何的統(tǒng)一體. 這就要求學(xué)生不僅要了解這些公式，還要靈活應(yīng)用這些公式.

在教學(xué)中，教師可應(yīng)用引導(dǎo)式教學(xué)模式，通過(guò)一些語(yǔ)言的引導(dǎo)幫助學(xué)生準(zhǔn)確表征問(wèn)題，讓思維有據(jù)可依. 值得注意的是，學(xué)生的認(rèn)知水平存在一定的差異，教師在引導(dǎo)時(shí)要注重分層引導(dǎo)，通過(guò)不同層次問(wèn)題的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生的理解能力.

如sin56°，cos56°，tan56°究竟誰(shuí)大誰(shuí)小呢？為了讓學(xué)生有思考方向，教師可通過(guò)引導(dǎo)式語(yǔ)言，鼓勵(lì)學(xué)生借助三角函數(shù)線來(lái)解題，即將數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言來(lái)解題. 這是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的過(guò)程，也是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的過(guò)程，對(duì)提煉數(shù)學(xué)思想方法具有積極意義.

3. 整合式教學(xué)，明晰解題思路

當(dāng)學(xué)生能自主分析與精準(zhǔn)表征問(wèn)題后，就進(jìn)入了整體分析問(wèn)題的階段. 從波利亞解題理論出發(fā)，即制定解題步驟實(shí)施解題，整合材料是此環(huán)節(jié)的重中之重，同時(shí)要分析之前是否遇到過(guò)類(lèi)似問(wèn)題［3］.

想要解決這個(gè)問(wèn)題，首先要引導(dǎo)學(xué)生回顧之前是否接觸過(guò)與之類(lèi)似的問(wèn)題，是否可以通過(guò)類(lèi)似解法完成解題. 事實(shí)證明，此問(wèn)題與學(xué)生遇到過(guò)的給值求值的問(wèn)題類(lèi)似，都是將未知角轉(zhuǎn)化為已知角，利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，而不同之處在于本題出現(xiàn)了“二次”，想要解決這個(gè)問(wèn)題，可將角－θ假設(shè)為t，解題思路就清晰了.

通過(guò)此例不難看出，借助波利亞解題理論進(jìn)行整合式教學(xué)，能有效促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展，幫助學(xué)生提煉類(lèi)比與轉(zhuǎn)化思想，明晰解題思路.

教學(xué)過(guò)程

1. 情境創(chuàng)設(shè)，導(dǎo)入新課

師：大家都有去超市購(gòu)物的經(jīng)歷，對(duì)電動(dòng)扶梯并不陌生，現(xiàn)在我們一起來(lái)分析一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：已知某超市一樓到二樓的電動(dòng)扶梯長(zhǎng)度為10米，該電梯與底面形成的夾角α=30°，求從一樓到達(dá)二樓時(shí)，人在水平方向移動(dòng)了多少米？

這是基于學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)提出的問(wèn)題，其中30°這個(gè)特殊角的余弦值是學(xué)生熟悉的一個(gè)數(shù)據(jù). 此問(wèn)可設(shè)人在水平方向移動(dòng)了x米，則x=10×cos30°=5（米）. 在此基礎(chǔ)上，教師提出：若α=15°，x的值又該怎么求呢？雖然學(xué)生沒(méi)有遇到過(guò)15°這個(gè)特殊角的余弦值，但學(xué)生對(duì)30°與45°并不陌生，因此易得cos15°=cos（45°－30°）.

設(shè)計(jì)意圖 此情境從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，引出相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，一方面讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，另一方面意在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2. 理解問(wèn)題，引入新知

師：巡視發(fā)現(xiàn)，一些同學(xué)列出了式子cos（45°－30°）=cos45°－cos30°，現(xiàn)在我們一起來(lái)探討一下這個(gè)式子的正確性，建議大家從余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象的角度來(lái)甄別.

學(xué)生自主探索并相互交流，發(fā)現(xiàn)cos（45°－30°）的值必然為正數(shù)，但通過(guò)畫(huà)圖作差發(fā)現(xiàn)cos45°－cos30°的值卻是負(fù)數(shù)，這里就出現(xiàn)了矛盾. cos（45°－30°）的值究竟該怎么求呢？要求學(xué)生在草稿紙上將問(wèn)題條件羅列出來(lái)進(jìn)行思考.

學(xué)生經(jīng)獨(dú)立思考與合作交流，在教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥下，先建立平面直角坐標(biāo)系，然后畫(huà)出單位圓，再以x軸的非負(fù)半軸作為始邊分別作出45°，30°，15°角.

設(shè)計(jì)意圖 借助波利亞解題理論對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維引導(dǎo)與點(diǎn)撥，引發(fā)學(xué)生猜想，讓學(xué)生以合作交流的方式對(duì)猜想進(jìn)行檢驗(yàn)與證明. 教師鼓勵(lì)學(xué)生重新整理問(wèn)題條件，意在促使學(xué)生進(jìn)一步深入了解問(wèn)題，挖掘題干條件中所蘊(yùn)含的內(nèi)涵，并將待解決的問(wèn)題與教學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系，以強(qiáng)化學(xué)生的讀題、審題能力，為建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系奠定基礎(chǔ).

3. 分析問(wèn)題，擬訂方案

師：觀察示意圖（圖2），可以從中提取到哪些關(guān)鍵性的信息或等量關(guān)系？

師：現(xiàn)在我們回歸到最原始的問(wèn)題，若想獲得cos15°的值，該怎么辦呢？

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)通過(guò)一些前后關(guān)聯(lián)的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考，意在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 引導(dǎo)學(xué)生積極思考與參與，不僅能體現(xiàn)學(xué)生在課堂中的主體地位，還能讓學(xué)生產(chǎn)生自主擬定解題方案的意識(shí)，為培養(yǎng)學(xué)生的解題習(xí)慣奠定基礎(chǔ).

4. 執(zhí)行方案，深入思考

教師留下充足的時(shí)間讓學(xué)生將解題步驟寫(xiě)清楚，在巡視時(shí)給予適當(dāng)點(diǎn)撥，并在指導(dǎo)過(guò)程中引發(fā)學(xué)生自主思考，分析每一個(gè)解題步驟的作用以及與前后知識(shí)的關(guān)系等. 鼓勵(lì)學(xué)生將自己的推導(dǎo)過(guò)程展示出來(lái)，通過(guò)同伴的互相提問(wèn)檢驗(yàn)解題成效，并著重強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)步驟的嚴(yán)謹(jǐn)性.

師：大家已經(jīng)清晰完整地寫(xiě)出了cos（45°－30°）的求解過(guò)程，同時(shí)分析出cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30°. 假設(shè)角α與β為任意角，那么還可以用這種方法進(jìn)行類(lèi)比推理嗎？該結(jié)論是否依然成立呢？

分析發(fā)現(xiàn)，任意角α±2kπ和β±2kπ的終邊與角α與β的終邊一樣，因此僅需研究α，β∈［0，2π］就可以了. 探尋出α與β的位置，借助相同方法即可獲得cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ這個(gè)結(jié)論.

在此過(guò)程中，須給予學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行計(jì)算與思考，尤其需要根據(jù)α與β的位置的不同畫(huà)法進(jìn)行分析，不過(guò)教師只需要順應(yīng)學(xué)生的思維進(jìn)行引導(dǎo)即可. 當(dāng)學(xué)生獲得結(jié)論后，可擇取一些具有代表意義的結(jié)論進(jìn)行展示，主要選擇以下兩類(lèi)情況：①α與β位于同一象限；②α與β位于不同象限. 這兩類(lèi)情況都可以用相同的方法來(lái)構(gòu)造全等三角形，獲得cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ這個(gè)結(jié)論.

基于以上分析，教師板書(shū)：對(duì)于任意角α與β，存在cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ，記為C（α－β）.

設(shè)計(jì)意圖 要求學(xué)生自主書(shū)寫(xiě)推理與證明的過(guò)程，意在提升學(xué)生的邏輯思維能力. 任意角問(wèn)題的探索可引發(fā)學(xué)生自主進(jìn)行，培養(yǎng)學(xué)生在解題過(guò)程中的自我監(jiān)控意識(shí).

5. 回顧反思，經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

師：大家自主探索獲得了結(jié)論，現(xiàn)在請(qǐng)大家想一想該怎樣檢驗(yàn)結(jié)論的正確性呢？還有其他方法能獲得這個(gè)結(jié)論嗎？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)整個(gè)解題過(guò)程的回顧，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的反思意識(shí)，讓學(xué)生形成積累知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

6. 新知應(yīng)用，鞏固提升

想要解決本題，應(yīng)先將本題中的重要條件與未知量標(biāo)注出來(lái)，然后結(jié)合波利亞解題結(jié)論來(lái)擬定解題方案——兩角差的余弦公式. 兩角差的余弦公式雖然適用，但公式的應(yīng)用條件不全，需要先求出cosα和sinβ的值，然后結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可獲得問(wèn)題的解.

設(shè)計(jì)意圖 本練習(xí)屬于比較簡(jiǎn)單的兩角差的余弦定理的直接應(yīng)用，通過(guò)本題的解決可訓(xùn)練學(xué)生的解題思維，這是借助波利亞理論的“四步分析法”來(lái)鞏固學(xué)生對(duì)新建公式的理解與應(yīng)用.

教學(xué)評(píng)價(jià)與思考

本節(jié)課以波利亞解題理論作為教學(xué)設(shè)計(jì)的依據(jù)，遵循“理解題目—擬訂方案—執(zhí)行方案—回顧總結(jié)”四步分析法實(shí)施教學(xué).

教學(xué)初始，教師以豐富的生活情境激發(fā)學(xué)生的探索欲，讓學(xué)生保持高漲的熱情進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí). 隨著問(wèn)題的逐漸深入，成功激活了學(xué)生的思維，讓學(xué)生進(jìn)入了積極思考的狀態(tài). 當(dāng)學(xué)生遇到思維障礙時(shí)，教師再通過(guò)問(wèn)題串的方式進(jìn)行降維處理，以滿足不同學(xué)生的思維需求.

課堂尾聲，教師帶領(lǐng)學(xué)生一起對(duì)本節(jié)課教學(xué)進(jìn)行回顧與反思，這不僅是優(yōu)化學(xué)生思維的過(guò)程，還是幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的重要舉措，使學(xué)生能更深刻地理解公式. 因此，波利亞解題理論對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的發(fā)展具有重要意義，它也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要理念之一.

總之，就三角函數(shù)章節(jié)來(lái)說(shuō)，學(xué)生在解題中遇到的障礙不少，雖然解決每一道題所應(yīng)用到的基礎(chǔ)知識(shí)有所差別，但解題過(guò)程中的思維程序卻有高度的相似性. 筆者認(rèn)為，將波利亞解題理論與三角函數(shù)解題教學(xué)有機(jī)地融合在一起，對(duì)解題教學(xué)具有深遠(yuǎn)的指導(dǎo)意義.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 喬治·波利亞.怎樣解題［M］. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2002.

［2］ 喬治·波利亞. 數(shù)學(xué)與猜想（第一卷）［M］. 李心燦，王月爽，李志堯，譯. 北京：科學(xué)出版社，2001.

［3］ 喬治·波利亞. 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)［M］. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學(xué)出版社，2006.