APOS理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

張琦

［摘? 要］ 概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心，正確理解概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提. 研究者以APOS理論為指導(dǎo)設(shè)計(jì)“組合”概念教學(xué)，讓學(xué)生全面、深刻理解概念的同時(shí)，完成知識(shí)點(diǎn)的自我建構(gòu)，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 概念；APOS理論；自我建構(gòu)

概念具有高度的抽象性. 為了讓學(xué)生正確理解和掌握概念，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)有效問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)問(wèn)題的探究與解決獲得正確的認(rèn)識(shí)，形成深刻的理解. “排列與組合”既是高中數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)，又是高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn). “排列與組合”是處理隨機(jī)抽樣計(jì)算的基本方法，其在生產(chǎn)生活中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值. 不過(guò)“排列與組合”的思想方法與以往所學(xué)的知識(shí)完全不同，因此為教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”帶來(lái)了壓力與挑戰(zhàn). 筆者在教學(xué)“組合”概念時(shí)，以APOS理論為指導(dǎo)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，取得了較好的教學(xué)效果，現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程呈現(xiàn)給同行，供參考.

APOS理論概述

20世紀(jì)80年代，杜賓斯基等人針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)提出了APOS理論，該理論指出：數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷“操作、過(guò)程、對(duì)象、圖式”四個(gè)階段. “操作”階段，教師會(huì)結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)一些教學(xué)情境，從而為接下來(lái)經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程做鋪墊. “過(guò)程”是概念教學(xué)的關(guān)鍵，通過(guò)前面“操作”階段的鋪墊，教師要預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考，提出自己對(duì)新概念的看法，進(jìn)一步頓悟概念的意義. “對(duì)象”階段則是引導(dǎo)學(xué)生將已有知識(shí)與新知建立聯(lián)系，以此深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解. “圖示”階段，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度反復(fù)感知概念，抽象概念的本質(zhì)屬性，從而達(dá)到對(duì)概念本質(zhì)性的理解，構(gòu)建新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

“組合”概念教學(xué)設(shè)計(jì)

1. “操作”階段

在“操作”階段，以學(xué)生已有認(rèn)知為起點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，以此讓學(xué)生獲得直觀感知能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性.

問(wèn)題1 上節(jié)課學(xué)習(xí)了“排列”，請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)何為“排列”.

問(wèn)題2 某列火車在上海虹橋站與寧波站之間往返運(yùn)行，途經(jīng)嘉興南、杭州東、紹興東，共需準(zhǔn)備多少種不同的火車票？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生回顧“排列”概念及排列數(shù)的計(jì)算公式，為接下來(lái)“組合”相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)做鋪墊.

問(wèn)題3 某校舉行朗誦比賽，某班從3名選手中任意選取2名代表本班參加比賽，共有多少種選取方法？

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，以此讓學(xué)生感悟探索新知的重要性和必要性，提高學(xué)生參與課堂的積極性.

問(wèn)題4 從集合｛1，2，3，4｝中任意選取3個(gè)數(shù)組成一個(gè)新集合，則可以得到多少個(gè)新集合？對(duì)新集合中的數(shù)進(jìn)行排序，得到一個(gè)三位數(shù)，這樣一共可以得到多少個(gè)三位數(shù)？其結(jié)果與排列數(shù)A的計(jì)算結(jié)果是否相同？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生在問(wèn)題的探索中體會(huì)組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系，為后面組合數(shù)公式的推導(dǎo)提供依據(jù).

2. “過(guò)程”階段

“過(guò)程”階段需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的反思抽象，提煉其本質(zhì)特征，形成“組合”的概念.

問(wèn)題5 問(wèn)題2和問(wèn)題3是排列問(wèn)題嗎？你是如何計(jì)算的？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)比分析讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有些問(wèn)題已經(jīng)難以利用已有的排列數(shù)公式解決，由此引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，調(diào)動(dòng)學(xué)生探索新知的積極性.

問(wèn)題6 以小組為單位，嘗試應(yīng)用學(xué)過(guò)的知識(shí)得到以上實(shí)驗(yàn)中的所有抽樣結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)進(jìn)一步操作與討論，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題2中的起始站有順序之分，屬于排列問(wèn)題，可以利用排列數(shù)公式得到結(jié)果. 而問(wèn)題3則是從3人中任意選取2人，并無(wú)先后順序之分，是一個(gè)同時(shí)選擇的問(wèn)題，所以不能應(yīng)用排列數(shù)公式來(lái)求解. 這樣通過(guò)小組合作進(jìn)一步引發(fā)認(rèn)知沖突，從而為接下來(lái)的探究活動(dòng)埋下伏筆.

問(wèn)題7 問(wèn)題4與問(wèn)題2和問(wèn)題3有哪些共同點(diǎn)，又有哪些區(qū)別呢？

設(shè)計(jì)意圖 歸納總結(jié)問(wèn)題的本質(zhì)特征，初步了解求組合數(shù)的基本方法，為接下來(lái)概念的抽象和公式的推導(dǎo)做鋪墊.

問(wèn)題8 結(jié)合上述問(wèn)題的解決，請(qǐng)思考排列與組合有何區(qū)別和聯(lián)系.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生提煉解決問(wèn)題的方法，感悟排列與組合之間的區(qū)別與聯(lián)系. 學(xué)生通過(guò)交流發(fā)現(xiàn)，也可以按照如下步驟求解排列數(shù)：先取出一個(gè)組合，然后對(duì)組合中的元素進(jìn)行排序，最后根據(jù)分步乘法原理完成計(jì)算.

3. “對(duì)象”階段

“對(duì)象”階段應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而幫助學(xué)生理解和掌握概念.

問(wèn)題9 你能列舉一些與上述特征相符合的生活實(shí)例嗎？結(jié)合實(shí)例的基本特征，你能否給組合下定義呢？

在教師的帶領(lǐng)下，師生通過(guò)有效互動(dòng)進(jìn)一步歸納總結(jié)問(wèn)題的本質(zhì)特征，得到組合的概念.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)列舉生活實(shí)例豐富學(xué)生的感性認(rèn)知，淡化數(shù)學(xué)的抽象感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例中進(jìn)行抽象概括，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)組合的認(rèn)識(shí).

問(wèn)題10 閱讀教材，說(shuō)一說(shuō)組合數(shù)的數(shù)學(xué)符號(hào)及其表示意義.

設(shè)計(jì)意圖 回歸教材，讓學(xué)生利用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)一步表征組合數(shù)，深化對(duì)組合數(shù)及其數(shù)學(xué)符號(hào)的理解.

問(wèn)題11 結(jié)合排列數(shù)公式的探究經(jīng)驗(yàn)，推導(dǎo)組合數(shù)公式.

問(wèn)題12 （1）從集合｛a，b，c，d｝中選取3個(gè)元素組成新集合，有多少種不同的選法？

（2）對(duì)于凸n（n≥3）多邊形，它有多少條對(duì)角線？

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題12是學(xué)生比較熟悉的問(wèn)題，易于調(diào)動(dòng)學(xué)生解決問(wèn)題的積極性. 同時(shí)通過(guò)問(wèn)題的解決促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化知識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

4. “圖示”階段

“圖示”階段需引導(dǎo)學(xué)生從不同角度反復(fù)理解對(duì)象，構(gòu)建全新的知識(shí)框架圖，促進(jìn)學(xué)生理解和內(nèi)化知識(shí).

問(wèn)題14 現(xiàn)有50支中性筆，其中黑色47支，紅色3支. 從50支中性筆中任意抽出3支. （1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3支筆中，恰好有1支是紅色的抽法有多少種？

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題13主要考查學(xué)生對(duì)組合數(shù)公式的掌握情況；問(wèn)題14主要考查學(xué)生是否真正理解組合數(shù)的意義，是否能夠靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.

問(wèn)題15 組合有什么樣的特征？它與排列存在怎樣的區(qū)別和聯(lián)系？

問(wèn)題16 什么樣的問(wèn)題可以用組合數(shù)公式來(lái)計(jì)算？

問(wèn)題17 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？你能將其與之前的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，繪制出知識(shí)框架圖嗎？

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)計(jì)上述三個(gè)問(wèn)題旨在引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步理解組合的概念以及組合數(shù)公式的特征，讓學(xué)生明晰組合數(shù)公式的應(yīng)用價(jià)值. 同時(shí)，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生繪制知識(shí)框架圖，將新知與舊知有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，形成全新的、高級(jí)的概念框架圖，可以提高學(xué)生的認(rèn)知水平.

5. 課后作業(yè)

略.

教學(xué)思考

筆者在APOS理論的指導(dǎo)下進(jìn)行了本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，將概念學(xué)習(xí)的四個(gè)階段應(yīng)用到知識(shí)點(diǎn)的各個(gè)層面，深化學(xué)生對(duì)概念的理解與掌握，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)和學(xué)習(xí)能力的提升.

在教學(xué)中，筆者從學(xué)生已有知識(shí)出發(fā)，結(jié)合教學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)排列相關(guān)知識(shí)，為新知學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備；然后給出具體練習(xí)引發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)沖突，讓學(xué)生通過(guò)具體問(wèn)題的解決逐漸抽象概括組合的特征，感受組合的概念；接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的過(guò)程，歸納總結(jié)組合的概念，明晰組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系；最后通過(guò)進(jìn)一步的歸納總結(jié)，將組合與排列有機(jī)地結(jié)合在一起，從而完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，完成新知的構(gòu)建.

總之，在概念教學(xué)中，教師要認(rèn)真研究教學(xué)內(nèi)容，善于將APOS理論與實(shí)踐教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成過(guò)程，由此讓學(xué)生全面、深刻地理解概念，有效提升概念教學(xué)質(zhì)量.