泰勒級(jí)數(shù)視域下函數(shù)極值判別的“原點(diǎn)”與“遠(yuǎn)點(diǎn)”

1.問(wèn)題呈現(xiàn)——于平凡處見(jiàn)不凡

隨著新高考的實(shí)施，若干年來(lái)超越函數(shù)、lnx與帶參二、三次函數(shù)的綜合題霸占?jí)狠S題位置的慣例被逐漸打破，函數(shù)導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)相結(jié)合的試題逐漸成為新高考?jí)狠S題的常客，2023年新高考Ⅱ卷壓軸題中的函數(shù)便是由帶參三角函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù)復(fù)合而成.

題1 （2023年新高考Ⅱ卷第22題）（1）證明：當(dāng)0

（2）已知函數(shù)f（x）=cosax－ln（1－x2），若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．

試題第（1）問(wèn)源于教材中對(duì)不等式sinx

2.解法探究——于無(wú)疑處仍有疑

對(duì)于任何復(fù)雜的問(wèn)題，解題的思維都是建立在概念理解的基礎(chǔ)上的，沒(méi)有概念的指引就是“盲人騎瞎馬”.對(duì)于函數(shù)極值的概念，普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)（人教A版）第90頁(yè)是以圖形為主用描述性定義給出的，根據(jù)函數(shù)極值的定義，函數(shù)極值點(diǎn)有如下判別法.

函數(shù)值判別法：如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的附近有定義，且左右兩側(cè)附近的函數(shù)值都滿足f（x）f（x0）），則函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極大（小）值.

一階導(dǎo)數(shù)判別法：如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的附近有定義，且在x0附近的左側(cè)f′（x）>0（f′（x）<0），右側(cè)f′（x）<0（f′（x）>0），則函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極大（?。┲?

說(shuō)明：基于高中生對(duì)函數(shù)的認(rèn)知，我們假定本文中的函數(shù)f（x）在極值點(diǎn)處都是n階可導(dǎo)的.

在學(xué)習(xí)中，學(xué)生處理極值問(wèn)題積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)普遍傾向于一階導(dǎo)數(shù)判別法，即認(rèn)為判別函數(shù)極值的關(guān)鍵是研究函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)左右的正負(fù)性，這種規(guī)范化的思維品質(zhì)是清晰嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?但作為壓軸題，題1在規(guī)范化解答路線上設(shè)置了兩處挑戰(zhàn)：一是函數(shù)中含有的三角函數(shù)，增加了函數(shù)的“波動(dòng)性”，進(jìn)而增加了對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷的復(fù)雜性；二是函數(shù)中含有的參數(shù)，增加了函數(shù)的“模糊性”，進(jìn)而增加了對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷的不確定性.

題意.

上述解法首先結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性），對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，將不確定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定性問(wèn)題來(lái)處理.其次結(jié)合試題逐步遞進(jìn)的特征，借助第（1）中的結(jié)論，利用放縮在導(dǎo)函數(shù)中實(shí)現(xiàn)“去三角化”來(lái)解決.雖然學(xué)生對(duì)于這樣的規(guī)范化解答能夠充分理解，但在實(shí)際求解過(guò)程中往往很難完整解答，甚至都無(wú)法給出最終答案，其根本原因是學(xué)生于無(wú)疑處仍有疑，其疑惑主要集中在以下兩點(diǎn)：一是解法1中參數(shù)a2與常數(shù)2進(jìn)行討論的根據(jù)從何而來(lái)？二是對(duì)于涉及函數(shù)極值的具體問(wèn)題，是否只能運(yùn)用一階導(dǎo)數(shù)判別法來(lái)處理，函數(shù)值判別法是否不具備實(shí)際可操作性？

針對(duì)以上疑惑，筆者通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)理論，回歸到函數(shù)極值判別最初的原點(diǎn)——函數(shù)值判別法，來(lái)揭開(kāi)解法1中參數(shù)討論依據(jù)的神秘面紗.

3.逐本溯源——于原點(diǎn)處現(xiàn)原形

在高等數(shù)學(xué)中，泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限項(xiàng)連加式——級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，這些相加的項(xiàng)由函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)求得，具體形式如下：

若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域（x0－δ，x0+δ）內(nèi)

以下是幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)在x0=0處的泰勒級(jí)數(shù).

4.行遠(yuǎn)升高——于遠(yuǎn)點(diǎn)處辟蹊徑

借由二階導(dǎo)數(shù)判別法，我們給出題1的另一解法.

在判別函數(shù)極值的思維之路上，我們從“函數(shù)值判別法”這一“原點(diǎn)”出發(fā)，行至了“二階導(dǎo)數(shù)判別法”這一“遠(yuǎn)點(diǎn)”，倘若函數(shù)在極值點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)也為0，則憑借泰勒級(jí)數(shù)這一相同原理通道，我們可以行至更遠(yuǎn)處，運(yùn)用高階導(dǎo)數(shù)判別法來(lái)處理.

高階導(dǎo)數(shù)判別法：如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的附近有定義，且f（k）（x0）=0 （k=1，2，3，…n－1），f（n）（x0）≠0，則（i）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極值，且當(dāng)f（n）（x0）<0 （f（n）（x0）>0）時(shí)取得極大（?。┲担唬╥i）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處無(wú)極值.

5.觸類旁通——于同源處相交匯

在歷屆高考中，以函數(shù)極值為命題背景的高考試題較為普遍.

題2 （2018年北京高考卷理科第18題）已知函數(shù)f（x）=［ax2－4a+1x+4a+3］ex.

（1）略；（2）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

由題2可以看出，對(duì)于不在點(diǎn)0處取得極值的函數(shù)，由泰勒級(jí)數(shù)運(yùn)用函數(shù)值判別法來(lái)判別極值時(shí)，可由平移思想，將函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0（x0≠0）處取得極值等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=f（x+x0）在點(diǎn)0處取得極值，這樣就避免了計(jì)算推導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)不同點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù).

題3 （2018年全國(guó)高考Ⅲ卷理科第21題）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）－2x.

（1）略；（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a.

由題3可以看出，利用高階導(dǎo)數(shù)判別法來(lái)判別極值，可能會(huì)面對(duì)多次的求導(dǎo)以及復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)的繁雜性.而根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)，運(yùn)用函數(shù)值判別法來(lái)判別極值，運(yùn)算過(guò)程整體可控，既能預(yù)見(jiàn)問(wèn)題結(jié)果，也能照見(jiàn)問(wèn)題由來(lái)，例如函數(shù)中的“－2x”項(xiàng)看似多余，其實(shí)有效抵消了函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)中的一次項(xiàng)，否則無(wú)論a取何值，x=0是都不會(huì)是函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）的極值點(diǎn).由此我們也可以依托泰勒級(jí)數(shù)來(lái)重建函數(shù)結(jié)構(gòu)，命制相似問(wèn)題.

6.解題反思——于尾聲處談心聲

高考試題是教師研究解題的重要素材.在研究命題者給出的參考答案時(shí)，有些導(dǎo)數(shù)壓軸題的解答過(guò)程總給人感覺(jué)如同“魔術(shù)師帽子里的兔子”那么神奇.它的解法是如此巧妙，是如何想到的呢？事實(shí)上，解題的方向和結(jié)果的預(yù)見(jiàn)有賴于對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的洞悉，先站在高處從命題者的視角得到答案，便能利用好數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，自始至終地監(jiān)控好解題.因此，我們應(yīng)該加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系的研究，提高自身知識(shí)儲(chǔ)備，才能站得高看得遠(yuǎn)，明晰數(shù)學(xué)知識(shí)的源與流，從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò).

參考文獻(xiàn)

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