二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽代數(shù)問題中的應(yīng)用

王榮軍 陳思洲

函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，蘊(yùn)含在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)階段中．高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中常出現(xiàn)二次問題，它們往往都有二次函數(shù)的背景，可巧妙地采用二次函數(shù)的方法找到問題的解答．本文通過實(shí)例予以分析．

例1 實(shí)數(shù)a，b，c≥1，滿足abc+2a2+2b2+2c2+ca-cb-4a+4b-c=28，求P=a+b+c的最大值．（2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷加試第三題）

a22017-98a2017+9801≥7400，取等條件為a1=a2=1，a2017=a2018=49．最后，考慮對完全平方項(xiàng)的放縮，即a1～a2018中等于k（1≤k≤49）的有xk項(xiàng)，其中xk≥2，根據(jù)x1+x2+…+x49=2018，由隔板法得到取得等號時(shí)解的組數(shù)為C49-12018-49-1=C481968.

例3 非負(fù)整數(shù)a1，a2，…，a100滿足：①存在正整數(shù)k≤100，使得a1≤a2≤…≤ak，ak+1=ak+2=…=a100=0；②a1+a2+a3+…+a100=100；③a1+2a2+3a3+…+100a100=2022，求a1+22a2+32a3+…+1002a100的最小值．（2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷加試第三題）

解析：參考答案的解法如下：

如果沒有觀察到問題的取等條件，則不清楚為何要討論a20的值，更為自然的解法如下：

記S=a1+22a2+32a3+…+1002a100．首先，暫時(shí)忽略“整數(shù)”的條件．注意到k≥21，猜想當(dāng)k=21時(shí)，S取到最小值，此時(shí)a1=a2=…=ak=0（1≤k≤19），討論如下：

①若k=19，則a20=78，a21=22，不符合題意；

注：本題可以擴(kuò)展為一般形式，并且在一般形式中，更容易發(fā)現(xiàn)上述系數(shù)a，b的本質(zhì)．

變式 非負(fù)實(shí)數(shù)a1，a2，…，an滿足：①存在正整數(shù)k≤n，使得a1≤a2≤…≤ak，ak+1=ak+2=…=an=0；②a1+a2+a3+…+an=n；③a1+2a2+3a3+…+nan=m（n2+n≤2m≤2n2）．求T=a1+22a2+32a3+…+n2an的最小值．

綜上可見，本文三道例題中所蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)知識并不深奧，其中的困難在于問題的思路與深邃的數(shù)學(xué)思想，這是數(shù)學(xué)競賽的魅力所在．